多项式除以多项式名师优质资料.pdf

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多项式除以多项式名师优质资料.pdf

多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式一般用竖式进行演算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐（2）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止被除式=除式商式+余式如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例 1 计算)4()209(2xxx规范解法.5)4()209(2xxxx解法步骤说明：（1）先把被除式2092xx与除式4x分别按字母的降幂排列好（2）将被除式2092xx的第一项2x除以除式4x的第一项x，得xxx2，这就是商的第一项（3）以商的第一项x与除式4x相乘，得xx42，写在2092xx的下面（4）从2092xx减去xx42，得差205x，写在下面，就是被除式去掉xx42后的一部分（5）再用205x的第一项x5除以除式的第一项x，得55xx，这是商的第二项，写在第一项x的后面，写成代数和的形式（6）以商式的第二项5 与除式4x相乘，得205x，写在上述的差205x的下面（7）相减得差0，表示恰好能除尽（8）写出运算结果，.5)4()209(2xxxx例 2 计算)52()320796(2245xxxxxx规范解法名师归纳总结大肚能容，容学习困难之事，学习有成第 1 页，共 11 页)52()320796(2245xxxxxx163323xxx余29x注遇到被除式或除式中缺项，用0 补位或空出；余式的次数应低于除式的次数另外，以上两例还可用分离系数法求解如例2)52()320796(2245xxxxxx163323xxx余29x8什么是综合除法？由前面的问题4 我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1 时，情况比较特殊如：计算)3()432(3xxx因为除法只对系数进行，和x无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）还可以再简化方框中的数2、6、21 和余式首项系数重复，可以不写再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21 与商式的系数重复，也可以省略如果再把代数和中的“”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30 的形式：名师归纳总结大肚能容，容学习困难之事，学习有成第 2 页，共 11 页文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 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HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数 3 换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1例 1 用综合除法求12333234xxxx除以1x的商式和余式规范解法商式2223xxx，余式 10例 2 用综合除法证明910152235xxx能被3x整除规范证法这里)3(3xx，所以综合除法中的除数应是3（注意被除式按降幂排列，缺项补0）因余数是 0，所以910152235xxx能被3x整除当除式为一次式，而一次项系数不是1 时，需要把它变成1 以后才能用综合除法例 3 求723xx除以12x的商式和余数规范解法把12x除以 2，化为21x，用综合除法但是，商式2322xx，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2 倍，应当除以2 才是所求的商式；余数没有变商式43212xx，余数437为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下名师归纳总结大肚能容，容学习困难之事，学习有成第 3 页，共 11 页文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 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移到横线的下面，得到商的第一项的系数。（4）用 2 乘商的第一项的系数2，得 4，写在被除式的第二项的系数-7 的下面，同-7 相加，得到商的第二项系数-3。（5）用 2 乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0 的下面，同 0 相加，得到商的第三项的系数-6。（6）用 2 乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14 的下面，同 14 相加，得到商的第三项系数2。（7）用 2 乘商的常数项2，得 4，写在被除式的常数项4 的下面，同4 相加，得到余式 8。前面讨论了除式都是一次项系数为1 的一次式的情形。如果除式是一次式，但一次项系数不是1，能不能利用综合除法计算呢？名师归纳总结大肚能容，容学习困难之事，学习有成第 4 页，共 11 页文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 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ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 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nm再由1)(3()1)(2(pxxRxx，解得0p。13)(2xxxf。练习：1、综合除法分别求下面各式的商式和余式。（1）)2()76543(234xxxxx；（2）)4()81496(345xxxxx；（3）)()()(23axabcxcabcabxcbax；（4）)23()188859(334224yxyxxyyyxx；（5）)32()15151672(2234xXxxxx；（6）)253()712(23356xxxxxxx2、一个关于x 的二次多项式)(xf，它被 x-1 除余 2，被 x-3 除余 28，它可以被x+1 整除，求)(xf。3、一个整系数四次多项式)(xf，有四个不同的整数4321,，可使,1)(,1)(21ff1)(,1)(43ff，求证：任何整数都不能使1)(f。綜合除法：當除式g(x)=x a時，我們介紹綜合除法去求商式、餘式。【範例】：設f(x)=2x4+x2 5x，g(x)=x2，求f(x)除以g(x)的商式、餘式。解：2 x4+x2 5x =(2x3+4x2+9x+23)(x 2)+46 綜合除法的原理：設f(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0，g(x)=x b，若存在商式q(x)=c2x2+c1x+c0，餘式r(x)=d。由除法的定義：(a3x3+a2x2+a1x+a0)=(c2x2+c1x+c0)(xb)+d經比較係數可得：dbcacbcacbcaca0001112223bcadbcacbcacac0011022132上面的關係可寫成以下的形式：當f(x)除以g(x)=ax+b時，我們也可利用綜合除法求餘式r(x)、商式q(x)。)(,)(,)()(01200112230120123xrdcccxqbcabcabcaabbcbcbcaaaaxf式餘式商,46,23942461884)(205102名师归纳总结大肚能容，容学习困难之事，学习有成第 6 页，共 11 页文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 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的餘式等於f(ba)。f(a)的雙重意義：(1)多項函數 f(x)在 x=a 的函數值。(2)多項式 f(x)除以 x a 的餘式。範例：二次式ax2+bx4 以x+1 除之，得餘式3，以x1 除之，得餘式1，若以x2 除之，所得的餘式為。解：f(x)=ax2+bx4，f(-1)=3且 f(1)=1由此解得 a 與 b，再求 f(2)=18即為所得。範例：試求 1154 11472 11356 112+15 11+7 之值為。解：f(x)=x5-4x4-72x3-56x2+15x+7 利用綜合除法求f(11)=51範例：設二多項式f(x),g(x)以 2x23x 2 除之，餘式分別為3x+2,4x+7，則 f(x)+g(x)以 2x+1 除之，其餘式為何？Ans：192解：f(x)=(2x23x 2)p(x)+(3x+2)g(x)=(2x23x 2)q(x)+(-4x+7)f(x)+g(x)=(2x23x 2)(p(x)+q(x)+(-x+9)=(2x+1)(x-2)(p(x)+q(x)+(-x+9)F(x)=f(x)+g(x),F(12)=-(12)+9=192範例：f(x)=2x4+3x3+5x26，求 2x 1 除 f(x 3)的餘式。解：可令g(x)=f(x 3)，再利用餘式定理。Ans：1132範例：求多項式(x2+3x+2)3被 x2+2x+3 除之餘式為何？解：x2+3x+2=(x2+2x+3)+(x-1)(x2+3x+2)3=(x2+2x+3)+(x-1)3 =(x2+2x+3)3+3(x2+2x+3)2(x-1)+3(x2+2x+3)(x-1)2+(x-1)3求多項式(x2+3x+2)3被 x2+2x+3 除之餘式=求多項式(x-1)3被 x2+2x+3 除之餘式名师归纳总结大肚能容，容学习困难之事，学习有成第 7 页，共 11 页文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 ZT5G4S5Z6V5文档编码:CF6H3G8P7N8 HC5S6C1H2X2 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