2022年高中数学应用题解题技巧.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 龙文学校 - 您值得信任的专业化个性化辅导学校龙文学校个性化辅导教案提纲老师：同学：时间: 年月日段一、 授课目的与考点分析：高中应用题专题复习 数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一,也是考生失分较多的一种题型；解答这类问题的要害是深刻懂得题意,学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化,这就需要建立恰当的数学 模型,这当中,函数,数列,不等式,排列组合是较为常见的模型,而三角,立几,解几等模型也应在复习时引起 重视；高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型,另外,估测运算型和信息迁移型也时有显现；当然,数 学高考应用性问题关注当前国内外的政治,经济,文化,紧扣时代的主旋律,凸显了学科综合的特色；二、授课内容：一、求解应用题的一般步骤：1、审清题意：仔细分析题目所给的有关材料,弄清题意, 理顺问题中的条件和结论,找到关键量, 进而明确其中的数量关系 等量或大小关系 2、建立文字数量关系式：把问题中所包含的关系可先用文字语言描述关键量之间的数量关系,这是问题解决的一把钥匙；3、转化为数学模型：将文字语言所表达的数量关系转化为数学语言,建立相应的数学模型 一般要列出函数式、三角式、不等式、数列、排列组合式、概率以及利用几何图形等进行分析 ,转化为一个数学问题；4、解决数学问题：利用所学数学学问解决转化后的数学问题,得到相应的数学结论；5、返本复原：把所得到的关于应用问题的数学结论,复原为实际问题本身所具有的意义；二、应用题的常见题型及计策 1、与函数、方程 组 、不等式 组 有关的题型 常涉及物价、路程、产值、环保、土地等实际问题,也经常涉及角度、长度、面积、造价、利润等最优化问题；解决这类问题一般要利用数量关系,特殊对函数最值、均值定理用得较多；2、与数列有关的问题列出有关解析式, 然后运用函数、 方程、不等式等有关学问和方法加以解决,常涉及到产量、产值、繁衍、利息、物价、增长率、植树造林、土地沙化等有关的实际问题；解决这类问题常构造等差数列、等比数列 无穷递增等比数列 ,利用其公式解决或通过递推归纳得到结论,再利用数列学问求解；3、与空间图形有关的问题 常与空间观测、面积、体积、地球的经纬度等问题有关；解决此类问题常利用立体几何、三角方面的有关学问；4、与直线、圆锥曲线有关的题型 常涉及定位、人造地球卫星、光的折射、反光灯、桥梁、线性规划等实际问题；常通过建立直角坐标系,运用解析几何学问来解决；5、与正、余弦定理及三角变换有关的题型 常涉及实地测量、运算山高、河宽、最大视角等；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 龙文学校 - 您值得信任的专业化个性化辅导学校6、与排列、组合有关的问题运用排列、组合等学问解决7、与概率、统计有关的应用问题一代数的应用题1求函数表达式：例 1建筑一个容积为48 米3,深为 3 米的长方体蓄水池,池壁每平方米的造价为a 元,池底每平方米的造价为2a元；把总造价y 表示为底的一边长x 米的函数,并指出函数的定义域；解：容积 =底面积× 高 = 48 底面积×3 = 48 底面另一边长：m =16x池壁造价 =池壁面积×a = 23x + 3m a = 6 x +16a = 6x +16axx池底造价 =底面积×2a =16 ×2a = 32a y = 6x +16 a + 32a x x > 0 2面积问题：摸索题：在上面的例 1 中,如何设计水池的长宽,使总造价最低？例 2. 有根木料长为 6 米,要做一个如图的窗框,已知上框架与下框架的高的比为 12,问怎样利用木料,才能使光线通过的窗框面积最大中间木档的面积可忽视不计 . 解：如图设 x, 就竖木料总长 = 3x + 4x = 7x, 三根横木料总长 = 6 7x x 6 7 x 窗框的高为 3x,宽为3 2x 即窗框的面积 y = 3x 6·7 x= 7x 2 + 6x 0 < x < 6 3 73 2 9配方： y = 7 x 0 < x < 2 7 7 当 x = 3 米时,即上框架高为 3 米、下框架为 6 米、宽为 1 米时,光线通过窗框面积最大 . 7 7 73利润问题： 1利润 =收入 成本2利润 =单位利润× 销售量例 3某工厂生产的产品每件单价是 80 元,直接生产成本是 60 元,该工厂每月其他开支是 50000 元. 假如该工厂计划每月至少获得 200000 的利润,假定生产的全部产品都能卖出,问每月的产量是多少？解：设每月生产 x 件产品,就总收入为 80x, 直接生产成本为 60x, 其他开支 50000 元,即知总成本为 60x + 50000 每月利润是：总收入 总成本 = 80x 60x + 50000 = 20x 50000 依题意有： 20x 5000200000 x12500 答：该工厂每月至少要生产 12500 件产品 . 例 4. 将进货单价为 8 元的商品按单价 10 元销售,每天可卖出 100 个；假设该商品的单价每涨 1 元,就每天销售量就削减 10 个；如何确定该商品的销售单价,使利润最大？分析：1每出售一个商品的利润=销售单价进货单价 = 10 8 = 2 x 次时,就每出售一个商品的利润= 2以单价 10 元为基础：单价每次涨1 元,当涨了x 元即可看成涨了2+ x 元 , 销售量为 100 10x 个名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 龙文学校 - 您值得信任的专业化个性化辅导学校 每个商品的利润y = 2 + x 100 10x = 10x2 + 80x + 200 = 10 x 42 + 360 即当 x = 4 时, y 有最大值 360 当每个商品的单价为14 元时,利润最大. 4与增长率相关的问题：要点增长率为正：原产量×1 + 增长的百分率 经过 x 年增长率为负：原产量×1 增长的百分率 经过 x 年例 5. 一种产品的年产量原先是 a 件,在今后 m 年内,方案使年产量每年比上一年增加 p%. 写出年产量随经过年数变化的函数关系式 . 解：设经过 x 年后,年产量为 y, 就 y = a 1 + p%x例 6. 某工厂总产值经过 10 年翻一番 2 倍,求每年比上一年平均增长的百分数 . 解：设原先总产值为 a, 平均增长率为 x,就经过 10 年的总产值为 a 1 + x 10即有： a 1+ x 10 = 2a 1+ x = 10 21取常用对数： lg 1 + x = lg 2 = 0. 0301 1 + x = 1. 072 x = 0.072 = 7.2% 10 每年比上一年平均增长 7.2%. 例 7. 电视机厂生产的电视机台数,假如每年平均比上一年增长 10.4%,那么约经过多少年可以增长到原先的 2 倍保留一位有效数字？普高课本代数上册 P. 97. 例 2解：设经过 x 年可以增长到原先的 2 倍,就lg 2 0 . 3010 1 + 10.4%x = 2 xlg1.104 = lg2 x 7lg 1 . 104 0 . 0429答：大约经过 7 年 . 5记数问题：例 8. 一个梯形两底边的长分别是 12cm 与 22cm, 将梯形的一条腰 10 等分,过每个分点画平行于梯形底边的直线,求这些直线夹在梯形两腰间的线段的长度的和 . 解：由平面几何学问可知：等腰梯形的上下底与夹在两腰之间的线段长度成等差数列 a1 = 12, a11 = 22 公差 d =a11a 119 13221 1532 个正方形的对角线为边画111 所求的线段长度的和为a2 + a3 + +a10 =a2a 1092例 9. 画一个边长2 厘米的正方形,再以这个正方形的对角线为边画第2 个正方形,以第第 3 个正方形,这样一共画了10 个正方形,求：（1）第 10 个正方形的面积（2）这 10 个正方形的面积的和解：1设 an 表示各正方形的面积名师归纳总结 a1 = 22 = 4, a2 = 222, a3 = 42 = 8 第 3 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 龙文学校 - 您值得信任的专业化个性化辅导学校 an 是公比为2 的等比数列厘米2第 10 个正方形的面积a10 = a1q 9 = 4 ×2 9 = 2048 厘米2 2这 10 个正方形的面积和S 10a 1 1q104 121040921q12例 10一个球从100 米高处自由落下,每次着地后又回到原高度的一半再落下. 当它第 10 次着地时,共经过了多少米？解：设球落下的高度依次为a1, a2, , a10 . 200 a1 = 100, a2 = 50, a3 = 25 an 是公比为1 的等比数列 2就球第 10 次落下时落下的路程为S 10100 1 121102557511282本球共经过的路程为S = 2S10 100 300 米6图表应用题 例 11中国人民银行某段时间内规定的整存整取定期储蓄的年利率如下表：存期1 年2 年3 年5 年年利率 %个人存款取得的利息应依法纳税20%. 现某人存入银行5000 元,存期 3 年,试问 3 年到期后,这个人取得的银行利息是多少？应纳税多少？实际取出多少？解：三年后连本带利一共有：5000 1 + 2.7%3元 银行利息一共有：5000 1 + 2.7%3元应纳税：元,实际取出的金额：5416.03 元例 12光明牛奶加工厂,可将鲜奶加工制成酸奶或奶片,该工厂的生产才能如表片的利润如表2. 表二：表一：1,在市场上销售鲜奶、酸奶、奶品种 每天加工吨数 品种 每吨获利润元酸奶 3 鲜奶 500 奶片 1 酸奶 1200 奶片 2000 光明牛奶加工厂现有鲜奶 9 吨,受人员限制,两种加工方式不行同时进行,受气温条件限制,这批鲜奶必需 4天内全部销售或加工完毕 . 为此,该厂设计了两种可行方案：方案一：尽可能多的制成奶片,其余直接销售鲜牛奶 . 方案二：将一部分制成奶片,其余制成酸奶销售,并恰好 4 天完成 . 你认为挑选哪种方案获利最多,为什么？解：方案一：四天制成奶片4 吨用去牛奶4 吨,其余 5 吨牛奶卖掉利润为： 4× 2000 +5×500 = 10500元名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 龙文学校 - 您值得信任的专业化个性化辅导学校方案二：设制做奶片所需牛奶x 吨,制做酸奶所需牛奶y 吨,就制做奶片共用x = x 天,制做酸奶共用 1y 天,依 3题意得：xy97.5 吨xy4,即制成奶片吨,酸奶3 利润为：×1200 = 12000元由上可知：其次种方案获得的利润大. 二三角的应用题1弧长问题例 13某蒸汽机上的飞轮直径为,每分钟按逆时针方向旋转 300 转,求：1飞轮每秒钟转过的弧度数 ; 2轮周上的一点每秒钟经过的弧长 . 解： 1 飞轮半径 r = 0.6m, 每秒钟逆时针旋转 5 转飞轮每秒钟转过的弧度数是 5× 2 = 10 2 轮周上一点每秒钟经过的弧长 l = 10 ×0.6 = 6 m 2电学例 14电流 I 随时间 t 变化的函数关系式是1求电流强度I 变化的周期与频率; I = Asin t. 设 = 100 rad /秒 ,A = 5 安培 . 2当 t = 0, 1, 1, 3, 1秒 时,求电流强度 I 200 100 200 50解： 1 周期 T =2 = 1, 频率 f = 15050 T 2 I = 5sin100 t I 0 = 0, I 1 = 5sin = 5, I 1 = 5sin = 0, 200 2 1003 3 1I = 5sin = 5, I = 5sin2 = 0 200 2 503利用三角函数解决有关面积问题例 15把一段半径为 R 的圆木锯成横截面为矩形的木料,怎样锯才能使横截面的面积最大？解：如图,设矩形对角线与一边的夹角为就矩形的长为2Rcos , 宽为 2Rsin. 2R 2Rsin 矩形面积S = 4R2sin cos = 2R2sin2当 = 45 时, Smax = 2R2, 即横截面为正方形时面积最大2Rcos三解析几何中的应用题例 16抛物线拱桥顶部距水面2 米时,水面宽4 米 . 当水面下降1 米时,水面的宽是多少？第 5 页,共 7 页解：如图建立直角坐标系,就抛物线方程为x2 = 2py y 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 龙文学校 - 您值得信任的专业化个性化辅导学校依题意知： x = 2 时, y = 2 代入方程得p = 1 x =3即抛物线方程为x2 = y, 当水面下降1 米时, y = 3 水面宽为 2x =233.5 米 例 17我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心 F2 为一个焦点的椭圆,近地点A 距地面 439 千米,B y F2 ·A x 远地点距地面2384 千米,地球半径大约为6371 千米,求卫F1 ·O 星的轨道方程 . 解：如图建立坐标系ac = |OA| | OF2| = |F2A| = 6371 + 439 = 6810 a + c = |OB| + |OF 2| = |F2B| = 6371 + 2384 = 8755 a = 7782.5, c = 972.5 b22340 米/秒,炮弹爆炸点在怎 M 即卫星的轨道方程是：x22y22177837722例 18在相距1400 米的 A、B 两哨所,听到炮弹爆炸声的时间相差3 秒,已知声速是样的曲线上？并求出轨迹方程. 解：设爆炸t 秒后 A 哨所先听到爆炸声,就B 哨所 t + 3 秒后听到爆炸声,爆炸点设为就 |MA| = 340t, |MB| = 340 t + 3 = 340t + 1020 两式相减： |MA| |MB| = 1020 |AB| = 1400> 1020 A y . P 往灾区有两条道路PA、 炮弹爆炸点的轨迹是以A、B 为焦点的双曲线以 AB 为 x 轴、 AB 中点为原点建立直角坐标系如图M A700, 0 , B 700, 0 c = 700 且 2a = 1020 a = 510 b2 =229900 O B x 炮弹爆炸的轨迹方程是：x2y21 x > 0 260100229900P 处紧急运往灾区例 19如图,某灾区的灾民分布在一个矩形地区,现要将救灾物资从PB,且 PA=110 公里, PB=150 公里, AB= 50 公里 . 为了使救灾物资尽快送到灾民手里,需要在灾区划分一条界线,使从 PA 和 PB 两条路线到灾民所在地都比较近 . 求出该界线的方程 . 解：要使沿 PA、PB 两条线路到救灾地点都比较近,有三种情形：1沿 PA 线路 2沿 PB 线路 3沿 PA、PB 线路都相同故分界线以第3种情形划分：即A M B |PA| + |MA| = |PB| + |MB| 110 + |MA| = 150 + |MB| |MA|MB| = 40, 即知分界线是以A、B 为焦点的双曲线AB = 50 2c = 50 c = 25, 2a = 40 a = 20 b 2 = 225 假设以 AB 为 x 轴、 AB 的中点为原点建立直角坐标系就分界线方程是：x2y21在矩形内的一段. P 第 6 页,共 7 页400225留意：确定分界线的原就是：从P 沿 PA、PB 到分界线上点的距离名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 龙文学校 - 您值得信任的专业化个性化辅导学校三、本次课后作业：四、同学对于本次课的评判：特殊中意中意一般差同学签字：五、老师评定：1、同学上次作业评判： 好较好 一般 差较好2、同学本次上课情形评判： 好 一般 差老师签字：主任签字：龙文学校教务处名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页