2022年高中数学专题：抽象函数常见题型解法.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的详细解析式,只给出了一些表达函数特点的式子的一类函数；由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一；一、定义域问题例 1. 已知函数fx2的定义域是 1,2,求 f x的定义域；的定义域；例 2. 已知函数fx的定义域是1,2,求函数flog13x 2二、求值问题例3. 已知定义域为fR的函数f x ,同时满意以下条件：f21,f61；5fxyfxy,求 f 3, f9的值；三、值域问题例 4. 设函数 fx定义于实数集上,对于任意实数 x、y,f x y f x f y 总成立,且存在 x 1 x 2,使得 f x 1 f x 2 ,求函数 f x 的值域；2解：令 x y 0,得 f 0 f 0 ,即有 f 0 0 或 f 0 1；假设 f 0 0,就 f x f x 0 f x f 0 0,对任意 x R 均成立,这与存在实数x 1 x 2,使得 f x 1 f x 2 成立冲突,故 f 0 0,必有 f 0 1；由于 f x y f x f y 对任意 x、y R 均成立,因此,对任意 x R,有x x x x x 2f x f f f f 02 2 2 2 2下面来证明,对任意 x R,f x 0设存在 x0 R,使得 f x 0 0,就 f 0 f x 0 x 0 f x 0 f x 0 0这与上面已证的 f 0 0 冲突,因此,对任意 x R,f x 0所以 f x 0评析：在处理抽象函数的问题时,往往需要对某些变量进行适当的赋值,这是一般向特别转化的必要手段；四、解析式问题名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 5. 设对满意x0,x1的全部实数x,函数fx满意fxfxx11x,求 fx的解析式；解：在fxfxx11x1 中以xx1代换其中 x,得：fxx1 fx112x12 x1再在 1中以 x 1 代换 x,得1 x 2f f x 3 x 1 x 13 2x x 1f x 1 2 3 化简得：2 x x 1 x 1评析：假如把 x 和 x 分别看作两个变量,怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键；通常情形下,给某些变量适当赋值,使之在关系中“ 消逝” ,进而保留一个变量,是实现这种转化的重要策略；五、单调性问题名师归纳总结 例6. 设f x 定 义 于 实 数 集 上 , 当x0时 ,fx1, 且 对 于 任 意 实 数x 、 y , 有第 2 页,共 5 页fxyfx fy,求证：fx 在 R 上为增函数；f02证明：在fxyfxfy中取xy0,得f0 假设f00,令x0,y0,就f x 0,与fx1冲突所以f00,即有f0 110当x0时,fx10；当x0时,x0,fx而fxfxf01所以fxf1x0又当x0时,f0 10- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以对任意xR,恒有fx0设fxx 1x 2,就x2x1x 10,fx2x1x1f1所以2fx 1x 2x1ffx2x 1所以yfx在 R 上为增函数；评析：一般地,抽象函数所满意的关系式,应看作给定的运算法就,就变量的赋值或变量及数值 的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联；六、奇偶性问题例7. 已 知 函 数fx xR,x0对 任 意 不 等 于 零 的 实 数x 、x2都 有fx 1x2fx1fx2,试判定函数fx的奇偶性；解：取x11,x21得：f1 f1 f 1 ,所以f 10又取x 1x21得：f 1 f1f1 ,所以f1 0再取x 1x,x21就fxf1 fx,即fxfx由于fx为非零函数,所以fx为偶函数；七、对称性问题例 8. 已知函数yf x 满意fx fx2002,求f1x f12002x的值；解：已知式即在对称关系式faxfax2b中取a0,b2002,所以函数yfx的图象关于点0,2002对称；依据原函数与其反函数的关系,知函数yf1 x的图象关于点 2002,0对称；所以f1x1001 f1 1001x02002x0将上式中的x 用x1001 代换,得f1xf1评析： 这是同一个函数图象关于点成中心对称问题,在解题中使用了下述命题：设 a、b 均为常数,函数yfx对一切实数x都满意faxfax2b,就函数yf x 的图象关于点 a,b成中心对称图形；八、网络综合问题名师归纳总结 例 9. 定义在 R 上的函数 fx满意： 对任意实数m,n,总有fmnfm fn,且当 x>0第 3 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 时, 0<fx<1；1判定 fx的单调性；名师归纳总结 2设Ax,y|fx2fy2f 1 , 1 0,第 4 页,共 5 页Bx,y|faxy21,aR ,假设AB,试确定 a 的取值范畴；解：1在fmn fm fn中,令m1,n0,得f1 f 1 f0 ,由于f所以f01；11,在fmnfm fn中,令mx,nx由于当x0时,0fx1所以当x0时x0,0fx1而fxfxf01所以fxf1x10又当 x=0 时,f0 10,所以,综上可知,对于任意xR,均有fx0；设x 1x 2,就x2x10,0fx2x11所以fx2fx 1x2x 1fx 1fx2x 1fx 1所以yfx在 R 上为减函数；2由于函数y=f x在 R 上为减函数,所以fx2fy2fx2y2f1 即有x2y21又faxy21f0,依据函数的单调性,有axy202由AB,所以直线axy20与圆面x2y21无公共点；因此有a2解得1a1；f x>0评析： 1要争论函数的单调性必定涉及到两个问题：一是f0的取值问题,二是- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 的结论；这是解题的关键性步骤,完成这些要在抽象函数式中进行；由特别到一般的解题思想,联想类比思维都有助于问题的摸索和解决；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页
