2022年高中数学排列组合专题复习.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法 排列组合问题联系实际生动好玩,但题型多样,思路敏捷,因此解决排 列组合问题,第一要仔细审题,弄清晰是排列问题、组合问题仍是排列与组 合综合问题；其次要抓住问题的本质特点,采纳合理恰当的方法来处理；教学目标 1. 进一步懂得和应用分步计数原理和分类计数原理；2. 把握解决排列组合问题的常用策略; 能运用解题策略解决简洁的综合应用题；提高同学解决问题分析问题的才能3. 学会应用数学思想和方法解决排列组合问题 . 复习稳固1. 分类计数原理 加法原理 完成一件事,有 n 类方法,在第 1 类方法中有 m 种不同的方法,在第 2 类方法中有 m 种不同的方法, ,在第 n 类方法中有 m 种不同的方法,那么完成这件事共有：Nm 1m 2m n种不同的方法2. 分步计数原理乘法原理完成一件事,需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 m 种不同的方法,做第 2 步有 m 种不同的方法, ,做第 n 步有 m 种不同的方法,那么完成这件事共有：Nm 1m 2m n种不同的方法分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事；分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成大事的一个阶段,不能完成整个大事解决排列组合综合性问题的一般过程如下 :2. 怎样做才能完成所要做的事 , 即实行分步仍是分类 , 或是分步与分类同时进行, 确定分多少步及多少类；3. 确定每一步或每一类是排列问题 多少及取出多少个元素 . 有序 仍是组合 无序 问题, 元素总数是4. 解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必需把握一些常用的解 题策略例 1. 由 0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解: 由于末位和首位有特别要求 两个位置 . , 应当优先支配 , 以免不合要求的元素占了这名师归纳总结 C1 4A3 4C1 3第 1 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 先排末位共有 C 3 1然后排首位共有 C 4 1最终排其它位置共有 A 4 3由分步计数原理得 C C A 1 14 3288位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法 , 假设以元素分析为主 ,需先支配特别元素 , 再处理其它元素 . 假设以位置分析为主 , 需先满意特别位置的要求 , 再处理其它位置；假设有多个约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时仍要兼顾其它条件练习题 :7 种不同的花种在排成一列的花盆里, 假设两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法？例 2. 7 人站成一排 , 其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法 . 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排；由分步计数原理可得共有 A A A 5 22 2480 种不同的排法甲 乙 丙 丁要求某几个元素必需排在一起的问题 ,可以用捆绑法来解决问题 .即将需要相邻的元素合并为一个元素 ,再与其它元素一起作排列,同时要留意合并元素内部也必需排列. 练习题 : 某人射击 8 枪,命中 4 枪,4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为 20 例 3. 一个晚会的节目有 4 个舞蹈 ,2 个相声 ,3 个独唱 , 舞蹈节目不能连续出场 ,就节目的出场次序有多少种？解: 分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有 A 种,其次步将 4 舞蹈插入第一步排好的 6 个元素中间包含首尾两个空位共有种 A 不同的方法 ,由分步计数原理 , 节目的不同次序共有 A A 5 46 种元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两练习题：某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目 . 假如将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30 例 4.7 人排队 , 其中甲乙丙 3 人次序肯定共有多少不同的排法解: 倍缩法 对于某几个元素次序肯定的排列问题, 可先把这几个元素与其他元素一起进行排列 , 然后用总排列数除以这几个元素之间的2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 全排列数 , 就共有不同排法种数是：A 7 7 / A 3 3 空位法 设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 A 种方法,其余的三个位置甲乙丙共有 1 种坐法,就共有 A 种方法；摸索: 可以先让甲乙丙就坐吗 . 插入法 先排甲乙丙三个人 , 共有 1 种排法 , 再把其余 4 四人依次插入共有 方法定序问题可以用倍缩法,仍可转化为占位插练习题 :10 人身高各不相等 , 排成前后排,每排 增加,共有多少排法？C 10 55 人, 要求从左至右身高逐步例 5. 把 6 名实习生安排到 7 个车间实习 , 共有多少种不同的分法 解: 完成此事共分六步 : 把第一名实习生安排到车间有 7 种分法 . 把其次名 实习生安排到车间也有 7 种分依此类推 , 由分步计数原理共有 7 种不同的 排法答应重复的排列问题的特点是以元素为讨论对象,元素不受位置的约束,可以逐一支配各个元素的位置,一般地n 不同的元素没有限制地支配在m 个位置上的排列数为n m 种练习题：1某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单, 开演前又增加了两个 新节目 . 假如将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为 42 2. 某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人 , 他们到各自的一层下电梯 , 下电梯 的方法 7 8例 6. 8 人围桌而坐 , 共有多少种坐法 . 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人A 并从今位置把圆形展成直线其余7 人共有 8-1 ！种排法即 7！C1AmEDGBAABCDEFGHAFHnn3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 练习题： 6 颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈 120 例 7.8 人排成前后两排 , 每排 4 人, 其中甲乙在前排 , 丙在后排 , 共有多少排法 解:8 人排前后两排 , 相当于 8 人坐 8 把椅子 , 可以把椅子排成一排 . 个特别元素有 A 种, 再排后 4 个位置上的特别元素丙有 A 种, 其余的 5 人在 5个位置上任意排列有 A 种, 就共有 A A A 种前排 后排一般地 ,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研练习题：有两排座位,前排11 个座位,后排 12 个座位,现支配 2 人就座规定前排中间的 3 个座位不能坐,并且这 2 人不左右相邻,那么不同 排法的种数是 346 例 8. 有 5 个不同的小球 , 装入 4 个不同的盒内 , 每盒至少装一个球 , 共有多少 不同的装法 . 解: 第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有 C 种方法 . 再把 4 个元素 包含一个复合元素 装入 4 个不同的盒内有 A 种方法,依据分步计数原理装球的方法共有 C A 2 4 4解决排列组合混合问题 ,先选后排是最基本的指导思想 .此法与相邻元素捆绑策略相像吗 . 练习题：一个班有 6 名战士 , 其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不 同的任务 , 每人完成一种任务 , 且正副班长有且只有 1 人参与 , 就不同 的选法有 192 种例 9. 用 1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, 在两个奇数之间 , 这样的五位数有多少个？解：把, , , 当作一个小集团与排队共有 A 种排法,再排小集团内部共有 A A 种排法,由分步计数原理共有 A A A 种排法 . 1524小集团排列问题中,先整体后局部,再结合其它策略进行处理；练习题：. 方案展出 10 幅不同的画 , 其中 1 幅水彩画 , 幅油画 , 幅国画 , 排成一4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 行陈设 , 要求同一品种的必需连在一起,并且水彩画不在两端,那么共有陈设方式的种数为2 5A A A4 4A A A 种2. 5 男生和女生站成一排照像, 男生相邻 , 女生也相邻的排法有例 10. 有 10 个运发动名额,分给 7 个班,每班至少一个 , 有多少种安排方案？解：由于 10 个名额没有差异,把它们排成一排；相邻名额之间形成个 间隙；在个空档中选个位置插个隔板,可把名额分成份,对应地分给个班级,每一种插板方法对应一种分法共有七 班C 种分法；9一 班二 班三 班四 班五 班六 班将 n 个相同的元素分成m 份 n,m 为正整数 ,每份至少一个元素,可以用 m-1 块隔板,插入 n 个元素排成一排的n-1 个间隙中,全部分法数为m C n11练习题：1x10 个相同的球装 5 个盒中 , 每盒至少一有多少装法？4 C 92 .yzw100求这个方程组的自然数解的组数3 C 103例 11. 从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 10 的偶数 , 不同的 取法有多少种？这十个数字中取出三个数,使其和为不小于解：这问题中假如直接求不小于 10 的偶数很困难 , 可用总体剔除法；这十个数字中有 5个偶数 5 个奇数 , 所取的三个数含有 3个偶数的取法有 C ,只含有 1 个偶数的取法有 C C , 和为偶数的取法共有 C C 15 2 C ；再剔除和小于 10 的偶数共 9 种,符合条件的取法共有 C C 15 2C 5 39有些排列组合问题 ,正面直接考虑比较复杂 ,而它的反面往往比较简捷 ,可以先求出它的反面 ,再从整体中剔除 . 练习题：我们班里有 少有一人在内的43 位同学 , 从中任抽 5 人, 正、副班长、团支部书记至抽法有多少种 . 例 12. 6 本不同的书平均分成3 堆, 每堆 2 本共有多少分法？名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解: 分三步取书得C C C 种方法 , 但这里显现重复计数的现象, 不妨记6本书为 ABCDEF,假设第一步取AB,其次步取 CD,第三步取 EF 该分法记 为 AB,CD,EF, 就 C C C 2 22 2中 仍 有AB,EF,CD,CD,AB,EF,CD,EF,ABEF,CD,AB,EF,AB,CD 共有 A 33种取法 , 而这些分法仅是 AB,CD,EF一种分法 , 故共有 C C C2 222/ A 种分法；平均分成的组,不管它们的次序如何,都是一种情形,所以分组后要肯定要除以n A n 为均分的组数 防止重复计数；练习题：1 将 13 个球队分成 3 组, 一组 5 个队 , 其它两组 4 个队, 有多少分法？C C C5 444/ A 名同学分成 3 组, 其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分在同一组 , 有多少种不同的分组方法15403. 某校高二年级共有六个班级,现从外地转 的两个班级且每班安入 4 名同学,要支配到该年级排 2 名,就不同的支配方案种数为_2 2C C A2/A29062十三. 合理分类与分步策略例 13. 在一次演唱会上共10 名演员 , 其中 8 人能能唱歌 ,5 人会跳舞 , 现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目 , 有多少选派方法 解：10 演员中有 5 人只会唱歌, 2 人只会跳舞 3 人为全能演员；选上唱 歌人员为标准进行讨论只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有C C 种, 只会唱的 5 人中只有 1 人选上唱歌人员 C C C 种, 只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人员有 C C 种,由分类计数原理共有C C 23 2C C C 1 14 2 C C 种；解含有约束条件的排列组合问题,可按元素的性质进行分类,按大事发生的连续过程分步,做到标准明确；分步层次清晰,不重不漏,分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终；练习题：1. 从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参与某个座 谈会,假设这 4 人中必须既有男生又有女生,就不同的选法共有 34 2. 3 成人 2 小孩乘船游玩 ,1 号船最多乘 3 人, 2 号船最多乘 2 人,3 号船只能乘 1 人, 他们任选 2 只船或 3 只船, 但小孩不能单独乘一只船 , 这 3 人共6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 有多少乘船方法 . 27此题仍有如下分类标准：* 以 3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准* 以 3 个全能演员是否选上跳舞人员为标准* 以只会跳舞的 2 人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果例 14. 公路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯 , 现要关掉其中的 3盏, 但不能关掉相邻的 2 盏或 3 盏, 也不能关掉两端的 2 盏, 求满意条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在有3 C 5种6 盏亮灯的 5 个间隙中插入 3 个不亮的灯一些不易懂得的排列组合题假如能转化为特别熟识的模型,如占位填空模型,排队模型, 装盒模型等,可使问题直观解决练习题：某排共有 10 个座位,假设 4 人就坐,每人左右两边都有空位,那么不同的坐法有多少种？120例 15. 设有编号 1,2,3,4,5 的五个球和编号 1,2,3,4,5 的五个盒子 , 现将 5个球投入这五个盒子内 , 要求每个盒子放一个球, 并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同 , 有多少投法解：从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有C 种仍剩下 3 球 3 盒序号不能对应,利用实际操作法,假如剩下3,4,5 号球, 3,4,5号盒 3 号球装 4 号盒时,就 4,5 号球有只有 1 种装法,同理3 号球装 5 号盒时 ,4,5 号球有也只有 1 种装法 , 由分步计数原理有 2C 种 55 3 43 号盒 4 号盒 5 号盒对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果练习题：1. 同一寝室 4人, 每人写一张贺年卡集中起来, 然后每人各拿一张别人的贺年卡,就四张贺年卡不同的安排方式有多少种？ 9 2. 给图中区域涂色 , 要求相邻区 方法有 72 种域不同色 , 现有 4 种可选颜色 , 就不同的着色名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 13245十六. 分解与合成策略 例 16. 30030 能被多少个不同的偶数整除11× 13 分析：先把 30030分解成质因数的乘积形式30030=2× 3× 5 × 7 ×个组成乘积,依题意可知偶因数必先取22, 再从其余 5 个因数中任取假设干全部的偶因数为：1 C 5C3 C 54 C 5C555练习: 正方体的 8 个顶点可连成多少对异面直线解：我们先从8 个顶点中任取4 个顶点构成四体共有体共4 C 81258,每个四周体有 3 对异面直线 , 正方体中的 8 个顶点可连成 3 58 174对异面直线分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决 ,然后依据问题分解后的结构 ,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成 ,从而得到问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略十七. 化归策略例 17. 25 人排成 5× 5 方阵, 现从中选 3 人, 要求 3 人不在同一行也不在同一列, 不同的选法有多少种？解：将这个问题退化成 9 人排成 3× × 3 方队中选 3人的方法有 C C C 种；再从 5× 5 方阵选出 3× × 5 方队中选取 3 行 3 列有 C C 选法所以从5× 5 方阵选不在同一行也不在同一列的 3 人有 C C C C C 选法；处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题, 通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法,从而进下一步解决原先的问题练习题 : 某城市的街区由 12 个全等的矩形区组成其中实线表示公路,从 A走到 B的最短路径有多少种？ 3 C 735 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - BA例 18由 0,1,2,3,4,5 六个数字可以组成多少个没有重复的比 324105 大的数？解:N25 A 524 A 43 A 32 A 21 A 1297数字排序问题可用查字典法, 查字典的法应从高位向低位查, 依次求出其符合要求的个数 , 依据分类计数原理求出其总数；练习: 用 0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数, 将这些数字从小到大排列起来 , 第 71 个数是 3140 例 19 3人相互传球 , 由甲开头发球 , 并作为第一次传球 , 经过 5次传求后 , 球仍回到甲的手中 , 就不同的传球方式有 _ N10对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,树图会收到意想不到的结果练习: 分别编有 1,2,3,4,5 号码的人与椅,其中 i 号人不坐 i 号椅i1 , 2, 3 , 4, 5的不同坐法有多少种？N44例 20有红、黄、兰色的球各5 只, 分别标有 A、B、C、D、E 五个字母 , 现从中取 5 只, 要求各字母均有且三色齐备 , 就共有多少种不同的取法解: 红 1 1 1 2 2 3 黄 1 2 3 1 2 1 兰 3 2 1 2 1 1 取法 C 15C 14 C 5C 14 2C 5C 14 3C 5C 2 13 C 5C 23 2C 5C 32 1一些复杂的分类选取题 ,要满意的条件比较多 , 无从入手 ,常常显现重复遗漏的情形 ,用表格法 ,就分类明确 ,能保证题中须满意的条件 ,能到达好的效二十一：住店法策略解决“ 答应重复排列问题” 要留意区分两类元素：一类元素可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“ 客” ,能重复的元素看作“ 店” ,再9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 利用乘法原理直接求解 . 例 21. 七名同学争夺五项冠军,每项冠军只能由一人获得,获得冠军的可能 的种数有 . 分析：因同一同学可以同时夺得n 项冠军,故同学可重复排列,将七名同学看作 7 家“ 店” ,五项冠军看作 乘法原理得 7 5 种. 5 名“ 客” ,每个“ 客” 有7 种住宿法,由小结 本节课,我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习稳固；排列组 合历来是学习中的难点,通过我们平常做的练习题,不难发觉排列组合题的 特点是条件隐晦,不易挖掘,题目多变,解法特殊,数字巨大,难以验证；同学们只有对基本的解题策略娴熟把握；依据它们的条件 , 我们就可以选取 不同的技巧来解决问题 . 对于一些比较复杂的问题 , 我们可以将几种策略结 合起来应用把复杂的问题简洁化,举一反三,触类旁通,进而为后续学习打 下坚实的基础；10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页