2022年高中数学数列专题练习.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学数列专题练习精编版1. 已知数列a nnN是等比数列 , 且a n0,a 12,a 38.1 求数列a n的通项公式 ; 2 求证 :11111；a 1a2a3an3 设bn2log2an1, 求数列b n的前 100 项和. 2. 数列a n 中,a 18,a42,且满意a n2an1常数 C1 求常数 C 和数列的通项公式；2 设T 20|a 1|a2|a20|,求S 2n 3 T n|a 1|a2|a n|, nN3. 已知数列a =n 2 ,n 为奇数；n 为偶数；,2n1,1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4 . 已知数列an的相邻两项anan1是关于 x 的方程x22nxbn0nN * 的两根 , 且a 11. 9 千元,1 求证 : 数列an12n是等比数列 ; 32 求数列b n的前 n 项和S . 5. 某种汽车购车费用10 万元,每年应交保险费、养路费及汽油费合计汽车的修理费平均为第一年2 千元,其次年 4 千元,第三年 6 千元, ,各年的修理费平均数组成等差数列, 问这种汽车使用多少年报废最合算即使用多少年时,年平均费用最少？6. 从社会效益和经济效益动身,某地投入资金进行生态环境建设,并以此进展旅行产业,依据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年削减 1 ,本5年度当地旅行业收入估量为 400 万元,由于该项建设对旅行业的促进作用,估量今后的旅行业收入每年会比上年增加 1 . 41 设 n 年内 本年度为第一年 总投入为 an万元,旅行业总收入为 bn 万元,写出an, bn的表达式；2 至少经过几年,旅行业的总收入才能超过总投入？2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7. 在等比数列 ann N* 中,已知 a11,q0设 bn=log2an,且 b1b3b5=6,b1b3b5=01 求数列 a n 、b n 的通项公式 an、bn；2 假设数列 b n 的前 n 项和为 Sn,试比较 Sn与 an的大小8. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 an 是 Sn与 2 的等差中项, 数列 bn 中,b1=1,点 Pbn,bn+1在直线 x- y+2=0 上；1求 a1和 a2的值；2求数列 an , bn 的通项 an 和 bn；3设 cn=an· bn,求数列 cn 的前 n 项和 Tn；9. 已知数列an的前n 项和为S a 11且S nS n1a n11,数列b n满意42b 1119且3 nb n1n n2且nN4求 a n 的通项公式；求证：数列 b n a n 为等比数列 ; 求 b n 前 n 项和的最小值3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 10. 已知等差数列a n的前 9 项和为 1531求 a ；2假设 a 2 8,从数列 an 中,依次取出其次项、 第四项、第八项, ,第 2 n项,按原先的次序组成一个新的数列 cn,求数列 cn 的前 n 项和 Sn . 11. 已知曲线 C ：y e 其中 e为自然对数的底数在点 xP 1, e 处的切线与 x 轴交于点 Q ,过点 Q 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 1P ,曲线 C 在点 1P 处的切线与 x 轴交于点 Q ,过点 Q 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 P , ,依次下去得到一系列点 1P 、P 、 、P ,设点 P 的坐标为 x n , y nn N *分别求 x 与 y 的表达式；n求 x y i 112. 在数列 a n中,a 1 2 , a n 1 a n n 1 2 2 n n N , 0 （1） 求证：数列an2n 是等差数列；n（2） 求数列an的前 n 项和S ；4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 13. 在等差数列a n中,公差 d 0 ,且a 56,1求 a 4 a 的值2当 a 3 3 时,在数列 a n 中是否存在一项 a m 正整数,使得 a 3, 5,a m 成等比数列,假设存在,求 m 的值；假设不存在,说明理由3假设自然数 n , n , n , , n , , t 为正整数 满意 5 < 1n < 2n < < tn <, 使得 a , a ,a n 1 , ,a , t 成等比数列, 当 a 3 2 时, 用 t 表示 tn214. 已知二次函数 f x ax bx满意条件 : f 0 f 1 ; f x 的最小值为1 . 8 求函数 f x 的解析式 ; f n 设数列 a n 的前 n项积为 T , 且 T n 4 , 求数列 a n 的通项公式 ; 5 在 的条件下 , 假设 5 f a n 是 b 与 a 的等差中项 , 试问数列 b n 中第几项的值最小 . 求出这个最小值 . 15. 已知函数 f x=x 24,设曲线 yf x在点 xn,f xn处的切线与 x轴的交点为 xn+1, 0 n N +,用 xn表示 xn+1；5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 假设 x1=4,记 an=lgx n2,证明数列a 成等比数列,并求数列nx x n2的通项公式；假设 x14,bnxn2,Tn是数列 bn的前 n 项和,证明 Tn<3. 数列专题练习参考答案1. 解： 1 设等比数列a n的公比为 q . a q3 1,q284,分就由等比数列的通项公式ana qn1得a 32又a n0,q22 分3 分 . 数列a n的通项公式是a n2n 21n 221111a 1a 2a3an1111111212n222 2232n1,122116分,n 2n1,1117分,2n111118分.a 1a 2a3an3由b n2log2n 212n19 分,又b nb n12n12n112常数数列b n是首项为 3, 公差为 2的等差数列11分,数列b n的前 100 项和是S 10010031009921020022解：1 C ,an102n6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2T n|a 1|a 2|a5|a 6|an| = a 1 a 2 a 5 a 6 +a 7 a n =2 a 1 a 2 a 5 a 1 a 2 a 5 + a 6 +a 7 a 20 =2S 5S 20 =2609 nn 2 , n 5 3 T n409 n n 2, n 53. 解：S n a 1 a 2 a 3 a 2 n a 1 a 3 a 5 a 2 n1 a 2 a 4 a 6 a 2 n （2 12 32 52 2 -1 3 7 11 214 n3 n n n -1）414 224 n1 2n 2 n34 . 解：证法 1: a na n 1 是关于 x 的方程 x 22 nx b n 0 n N * 的两根 , na n a n 1 2 ,b n a n a n 1 .由 a n a n 1 2 n , 得 a n 1 12 n 1a n 12 n , 3 3故数列 a n 12 n 是首项为 a 1 2 1 , 公比为 1的等比数列 . 3 3 3证法 2: a na n 1 是关于 x 的方程 x 22 nx b n 0 n N * 的两根 , na n a n 1 2 ,b n a n a n 1 .a n 1 13 2 n 1 2 n a n 13 2 n 1 a n 13 2 n1 , 1 n 1 n 1 na n 2 a n 2 a n 23 3 3故数列 a n 12 n 是首项为 1a 2 1, 公比为 1的等比数列 . 3 3 32 解: 由1 得 a n 1 2 n 1 1 n 1, 即 a n 1 2 n1 n. 3 3 3b n a n a n 1 12 n1 n2 n 11 n 197 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 122n12n1. 9S n a 1 a 2 a 3 a n1 2 2 2 2 3 2 n 1 1 21 n3n1 2 n 12 1 1 . 3 25. 解：修理费0.2 0.4 0.6 0.2 n0.2 n 1 n0.1 n 20.1 .4 分2总费用100.9 n 0.1 n 20.1 n10 0.1 n 2n .6 分2平均费用 10 0.1 n n0.1 n 101n n2 1 3.9 分当 n 10 时,汽车报废最合算 .10 分6. 解： 1 第 1 年投入为 800 万元,第 2 年投入为 800× 1 1 万元,5第 n 年投入为 800× 1 1 n1万元,所以, n 年内的总投入为5nan=800+800× 1 1 + +800× 1 1 n1= 800× 1 1 k15 5 k 1 5=4000× 1 4 n5第 1 年旅行业收入为 400 万元,第 2 年旅行业收入为 400× 1+ 1 , ,第4n 年旅行业收入 400× 1+ 1 n1万元 . 所以, n 年内的旅行业总收入为4nbn=400+400× 1+ 1 + +400× 1+ 1 k1= 400× 5 k1. 4 4 k 1 4=1600× 5 n142 设至少经过 n 年旅行业的总收入才能超过总投入,由此 bnan0,即：1600× 5 n1 4000× 1 4 n0,令 x= 4 n,4 5 58 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 代入上式得： 5x27x+20. 解此不等式,得 x2 ,或 x1 舍去. 即 54 5n2 ,5. 由此得 n5. 至少经过 5 年,旅行业的总收入才能超过总投入7. 7. 解1 由题设 有 a n a q n 1 , a 1 1, q 0, 数列 a n 是单调数列 , 又b n log 2 a n , bb b 1 3 5 0 及 a 1 1 知 必有 a 5 1, 即 b 5 0.6由 b 1 b 3 b 5 6 及 b 5 0, 得 b 1 b 3 6, 即 log 2 a a 1 3 6, a a 1 3 2 64,即 a 2 264, a 2 8. a 5 a q 38 q 31, q 1. 由 a 2 a q 得 a 1 16.2a n a q n 116 1 n 12 5 n；b n log 2 a n 5 n . 6 分 2 2 由 1 知 , b n 5 n S n n b 1 b n n 9 n .2 2当 时 , S n0, a n 0, a n S n ;当 n 1 或 时 , S 4 4 或 7; a n 16 或 8, a n S n ;当 n 3 4 5 6 7 8 时 , S n 9 10 10 9 7 4, a n 4 2 1、 、 、1 1 1, a n S n .2 4 8综上所述 当 n 1 或 或 时 有 a n S n ;当 n 3 4 5 6 7 8 时 有 a n S n .13 分 8. 解：1 an是 Sn 与 2 的等差中项分Sn=2an-2 a1=S1=2a1-2 ,解得 a1=2 · · ·3a1+a2=S2=2a2-2 ,解得 a2=4 2 Sn=2an-2 ,Sn-1=2an-1-2 ,又 SnSn-1=an,n2 ,nN*an=2an-2 an-1,an 0,an12 n2 ,nN*n,即数列 an 是等比树立 a1=2, an=2an点P bn,bn+1 在直线 x-y+2=0 上,bn- bn+1+2=0,bn+1- bn=2,即数列 bn 是等差数列,又 b1=1,bn=2n-1,· · · 8 分n,3 cn=2n-12nTn=a1b1+ a2b2+· · · ·anbn=1× 2+3× 2 2+5× 2 3+· · · · +2n-122Tn=1× 2 2+3× 2 3+· · · ·+2n-32 n+2n-12 n+1因此： - Tn=1× 2+2× 2 2+2× 2 3+· · ·+2× 2 n-2 n-12n+1,9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 即：- Tn=1× 2+23+2 4+· · · · +2 n+1-2 n-12n+1,· ·14Tn=2n-32n+1+6 分9. 解： 1 由 2 S n 2 S n 1 2 a n 1 1 得 2 a n 2 a n 1 1 , a n a n 1 1 2 分2a n a 1 n 1 d 1n 1 4 分2 42 3 b n b n 1 n , b n 1b n 1 1n , 3 3b n a n 1 b n 1 1 n 1 n 1 1 b n 1 1 n 1 1 b n 1 1 n 3 ; 3 3 2 4 3 6 4 3 2 4b n 1 a n 1 b n 1 1 n 1 1 b n 1 1 n 32 4 2 4由上面两式得 b n a n 1 , 又 b 1 a 1 119 1 30b n 1 a n 1 3 4 4数列 b n a n 是以 -30 为首项 ,1 为公比的等比数列 . 8 分33 由2 得 b n a n 30 1 n 1,b n a n 30 1 n 1 1n 130 1 n 13 3 2 4 3b n b n 1 1 n 1 30 1 n 1 1 n 1 1 30 1 n 22 4 3 2 4 3= 1 30 1 n 21 1 1 20 1 n 20,b n 是递增数列 11 分2 3 3 2 3当 n=1时, b 1 119<0；当 n=2时, b 2 3 10 <0；当 n=3 时, b 3 5 10 <0；4 4 4 3当n=4 时, b 4 7 10 >0,所以 , 从第 4 项起的各项均大于 0, 故前 3 项之和4 9最小. 且 S 3 1 1 3 5 30 10 10 41 1 13 分4 3 1210. 解：1S 9 9 a 1 a 9 9 2 a 5 9 a 5 153 a 5 17 52 2分S n2设数列a n的公差为 d,就a22na 12d812na 15 12a 5a 14 d17d3an3n2 9 分n3·2n6a2a4a8a2 n3 248分10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 11. 解：yx e ,曲线 C ：yx e 在点P1, e 处的切线方程为yee x1,即 yex 此切线与 x 轴的交点Q 的坐标为0,0 ,点1P 的坐标为0,1 2 分点P 的坐标为x n,y nn,* N ,ye x ne x nxx n, 4曲线 C ：yx e 在点P nx ny n处的切线方程为分令y0,得点Q n1的横坐标为x n1xn1 8数列nx是以 0 为首项,1为公差的等差数列xn1n ,yn1 n en* N 分n 11n enx yix y 1x y 2x y3.x yni1Se12 e23 e344e. 11n eneSe02e13 e24e3. 12 n en 212得到：1e S1e1e2.2 en 1Se1 111n ene1 2n e1 14 分12. 解：1由a n1aa nn12n 2 ,nN*,0,可得an12n1n2n1n12n n所以an是首项为 0,公差为 1 的等差数列 . n2解：由于a n2nn1即a nn1nn 2 ,nN*n1T n2设T nT n21234n2n1n1n 得32223nnn1n1 1,当1时n4nn1n1n1n1111 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - T n2n1n11n1n1n2n2n1212113. 解：1在等差数列a n中,公差 d 0 ,且a 56,N 7就2a 5a 4a , a 4a612 3 分2在等差数列a n中,公差 d 0 ,且a 56,a 33就a 12 d3 d=3 , a 10 ,a n3n1na 14 d622又 a 52a am就363 a , 12=3m1 , m=92分3在等差数列a n中,公差 d 0 ,且a 56,a 32就a 12 d2 d=2 , a 12 ,a n2n4 ,nNa 14 d6nN 又由于公比qa563 , 首项a 32, a n tt 2 31a23又由于a nt2 n t4 , 2n t4t 2 31 , n tt 31212 分: 1 ab0a11 , 故f x 1x21x. 2 分2由题知 : a0 , 解得b22b2124a82 T na a 2a n4n2n , 2, n1 7 分25n12n1T n1a a 2a n142 n5a nT n14n1n2, 4T n5又a 1T 11满意上式 . 所以a nnN512 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3 假设 5 f a n是b 与a 的等差中项 , 就 25 f anbna , 从而 10 1a n 2 1a n b n a , 得 b n 5 a n 26 a n 5 a n 3 2 9 . 2 2 5 5n 1由于 a n 4 n N 是 n 的减函数 , 所以5当 a n 3 , 即 n 3 n N 时, nb 随 n 的增大而减小 , 此时最小值为 3b ; 5当 a n 3 , 即 n 4 n N 时, nb 随 n 的增大而增大 , 此时最小值为 4b . 5又 a 3 3a 4 3 , 所以 b 3 b , 5 52 2 2即数列 b n 中 b 最小, 且 b 3 5 46 4 224 . 12 分5 5 12515. 解：由题可得 f ' 2 x 所以曲线 y f x 在点 x n , f x n 处的切线方程是：y f x n f ' x n x x n 即 y x n 24 2 x n x x n 2令 y 0,得 x n 4 2 x n x n 1 x n 2即 x n 4 2 x x n 1明显 x n 0,x n 1 x2 nx22 2由 x n 1 x n 2,知 x n 1 2 x n 2 2 x n 2,同理 x n 1 2 x n 22 x n 2 x n 2 x n 2 x n故 x n 1 2 x n 2 2从而 lg x n 1 22lg x n 2,即 a n 1 2 a 所以,x n 1 2 x n 2 x n 1 2 x n 2数列 a n 成等比数列故 a n 2 n 1a 1 2 n 1lg x 1 22 n 1lg 3即 lg x n 22 n 1lg 3x 1 2 x n 22 n 1从而 xx nn 22 3 2 n 1所以 nx 233 2 n 11 12 n 1由知 x n 232 n 1 1,3 12 n 1b n x n 23 2 n 411 0bb nn 1 33 2 n1 13 2 n 111 3 2 1n 13 12 1 1 13当 n 1 时,明显 T 1 b 1 2 3当 n 1 时,b n 1b n 1 1 2b n 2 1 n 1b 13 3 3T n b 1 b 2 b n b 1 1b 1 1 n 1b 1 b 1 1 13 n3 3 1 n33 3 1 1 3313 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 综上,T n3nN*14 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 14 页