2012年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题.docx

2012年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题一. 填空题(共10小题,每小题6分,满分60分)1.已知非空集合,且满足:当时,有,则符合题意的集合共有 2.已知关于直线的对称点为，则园关于直线对称的园的标准方程为3.已知分段函数，若有且仅有三个实数解，则实数的取值范围是程4.设分别是方和的根，则20125.已知四面体中，则该四面体的体积是 406.定义，已知,其中表示集合中元素的个数,若,由的所有可能值构成的集合是,那么37.已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为，是侧棱的中点，一条折线从点出发，绕侧面一周到点，则这条折线长度的最小值是 8.已知函数的定义域是,若对于任意的,当时,都有,则称函数在D上为非减函数,设函数在上为非减函数,满足条件:;则9. （选做题）. (必修3）在6个产品中有4个正品和2个次品,现每次取出一个作检查(检查完后不放回),直到2个次品都找到为止,则恰好经过4次检查将2个次品全部找到的概率是 (必修4)如图1所示,在正方形ABCD中,E为AB的中点,P是以A为圆心,AB为半径的圆弧BD上的任意一点,设向量则的最小值是 10.已知,且函数存在整数零点,则符合题意的一切的取值构成的集合是 二、 （本题满分20分) 如图2所示,和是的两条切线,其中,为切点.在的延长线上取一点,的外接圆与的另一交点为,和的另一交点为,延长交于.过作于,连接.证明:(1)(2)证明:(1) 连接因为为切线,所以(2)连接,由(1)知,由于为的切线,则是的斜边中点,三.（本题满分20分) 如图3所示,已知单位正方体的棱长和上分别有动点Q,P.若直线PQ和BD交于点N,直线GQ和平面BDE交与点M,BE的中点是S,设AQ=，MN=y.(1)求证:D,M,S三点共线;(2)求y的最小值关于x的解析式.证明：(1)连接AF，DG.因为点Q在边AD上,所以直线GQ在平面ADGF内.又因为直线GQ和平面BDE交与点M,所以M是平面ADGF和平面BDE的交点.而BE的中点是S,故S是AF的中点,所以S是平面ADGF和平面BDE的交点.显然D是平面ADGF和平面BDE的交点,因此D,M,S三点共线.（2）过M作于，连接并延长交直线BC于点，取点为P，点为N，此时y=MN最小。连接DS（经过点M )并延长交GF的延长线于T，连接TE，则TEBD。记E（也就是T）到直线BD的距离为d。由于是边长为的正三角形，故，。四、（本题满分20分）（必修3）函数（1）求函数的值域；（2）若在区间上随机取一个数a，求方程有实数根的概率。解：。（2） 设f(x)=t，则在上有实根。由于两根之积为1，故该方程在上仅有一根。设，。故概率是 （必修4）已知对于任意的恒成立，利用此结论证明：（1）存在唯一的实数对，其中，使sin(cosc)=c,cos(sind)=d成立；（2）在（1）的条件下证明：c<d。 证明：（1）构造函数，因此由零点定理知：存在，由复合函数的单调性知在上单调递减。因此存在唯一的实数对，其中，使（2）由（1）中的唯一性知，而因此 五、（本题满分20分）函数 （1）求证：函数f(x)是定义在R上的奇函数；（2）对于任意实数，求的值。 解：（1）的定义域是R。是定义在R是的奇函数。（2） 因此在上显然递增。由于是定义在R的奇函数，因此函数在R上是递增的。