板块二 专题一 第2讲.docx

第2讲三角函数的图象与性质考情考向分析1.以图象为载体，考察三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.题型以填空题为主；解答题中常与向量结合，中高级难度抢手一三角函数的图象例1(1)(2019·镇江模拟)假设函数f(x)2sin(x)的图象过点(0，)，且关于点(2,0)对称，那么f(1)_.答案1分析函数f(x)2sin(x)的图象过点(0，)，2sin，即sin，0<<，又函数图象关于点(2,0)对称，2sin0，即2k，kZ，k，kZ，0<<1，f(x)2sin，f(1)2sin2sin1.(2)已经清楚函数f(x)Asin(x)(A>0，>0，|<)的局部图象如以下图，那么f(2019)_.答案1分析依照函数f(x)Asin(x)(A>0，>0，|<)的局部图象，可得A2，2，.再依照图象通过点，可得×2k，kZ，令k1，可得，f(x)2sin，f(2019)2sin2sin1.思维升华(1)已经清楚函数yAsin(x)(A>0，>0)的图象求分析式时，常采纳待定系数法，由图中的最高点、最低点或特不点求A；由函数的周期判定；判定常依照“五点法中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为攻破口，能够从图象的升落寻准第一个零点的位置(2)在图象变卦过程中务必分清是先相位变卦，依然先周期变卦变卦只是相关于其中的自变量x而言的，假设x的系数不是1，就要把那个系数提取后再判定变卦的单位长度数跟倾向跟踪练习练习1(1)(2019·南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港七市调研)将函数y2sin3x的图象向左平移个单位长度掉掉落yf(x)的图象，那么f的值为_答案分析f(x)2sin32sin，那么f2sin.(2)函数f(x)Asin(x)的局部图象如以下图，那么_；函数f(x)在区间上的零点为_答案2分析从题图中能够察觉，相邻的两个最高点跟最低点的横坐标分不为，从而求得函数的最小正周期为T2，依照T可求得2.再结合题中的条件能够求得函数的分析式为f(x)2sin，令2xk(kZ)，解得x(kZ)，结合所给的区间，拾掇得出x.抢手二三角函数的性质例2已经清楚函数f(x)(cosxsinx)22sin2x.(1)求函数f(x)的最小值，并写出f(x)获得最小值时自变量x的取值聚拢；(2)假设x，求函数f(x)的单调增区间解(1)f(x)3cos2x2sinxcosxsin2x2sin2xsin2xcos2xsin2x22cos2，当2x2k，即xk(kZ)时，f(x)取最小值0，故函数f(x)的最小值是0，f(x)获得最小值时自变量x的取值聚拢是.(2)f(x)2cos2，令2k2x2k2(kZ)，得kxk(kZ)，又x，当k1时，x；当k0时，x，故函数f(x)在上的单调增区间是跟.思维升华(1)讨论三角函数的单调性，可先将函数化为yAsin(x)B的方法，设tx，然后运用ysint的性质求解(2)三角函数的最值咨询题，可运用yAsin(x)的有界性或化为关于sinx，cosx的二次函数求解跟踪练习练习2(1)将函数f(x)cos(>0)的图象向左平移个单位长度，掉掉落函数yg(x)的图象，假设yg(x)在上为增函数，那么的最大年夜值为_答案6分析f(x)sinx(1cosx)2sin，g(x)f 2sin2sinx，又g(x)在上为增函数，×，6，故的最大年夜值为6.(2)已经清楚函数f(x)sin(2x)，其中为实数，假设f(x)对xR恒成破，且f >f()，那么f(x)的单调递增区间是_答案(kZ)分析由于f(x)对xR恒成破，即1，因此k(kZ)由于f >f()，因此sin()>sin(2)，即sin<0，因此2k(kZ)，因此f(x)sin，令2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，因此函数f(x)的单调递增区间是(kZ)抢手三图象、性质的综合运用例3(1)已经清楚函数f(x)3sin(>0)跟g(x)3cos(2x)的图象的对称中心完好一样，假设x，那么f(x)的取值范围是_答案分析由两三角函数图象的对称中心完好一样，可知两函数的周期一样，故2，因此f(x)3sin，当x时，2x，因此sin1，故f(x).(2)已经清楚函数f(x)Asin(x)的最小值为3，假设点是函数yf(x)图象的对称中心，直线x是函数yf(x)图象的对称轴，且f(x)在区间上单调，那么实数取最大年夜值时，函数f(x)_.答案3sin分析由题意得，A3.又，可得0<11，又由于点是函数yf(x)图象的对称中心，直线x是函数yf(x)图象的对称轴，因此k··，即2k1(kN)，由得是小于或等于11的正奇数，因此的最大年夜值为11.因此当11时，f 0，可得，故实数取最大年夜值时，f(x)3sin.思维升华三角函数的图象能够表达三角函数的所有性质，在解题中要灵敏运用如函数yAsin(x)的对称轴肯定通过图象的最高或最低点，对称中心的横坐标肯定是函数的零点跟踪练习练习3(1)假设函数f(x)sin(2x)cos(2x)(0<<)的图象关于对称，那么函数f(x)在上的最小值是_答案分析由于f(x)sin(2x)cos(2x)2sin，由题意，知f2sin0，又0<<，因此，因此f(x)2sin2x，又f(x)在上是减函数，因此函数f(x)在上的最小值为f 2sin.(2)已经清楚函数f(x)2sin(x)，f(x1)2，f(x2)0，假设|x1x2|的最小值为，且f 1，那么f(x)的单调递增区间为_答案，kZ分析由f(x1)2，f(x2)0，且|x1x2|的最小值为，可知，T2，又f 1，那么±2k，kZ，0<<，f(x)2sin.令2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ.故f(x)的单调递增区间为，kZ.1(2018·江苏，7)已经清楚函数ysin(2x)的图象关于直线x对称，那么的值为_答案分析由题意得f sin±1，k，kZ，k，kZ.，取k0，得.2已经清楚函数f(x)sin(x)cos(x)，0.假设f(x)是奇函数，那么f 的值为_答案1分析函数为奇函数，那么f(0)sincos2sin0，因此k，k(kZ)，令k1，可得，故f(x)sincos，f sincos1.3(2018·北京，11)设函数f(x)cos(0)假设f(x)f 对任意的实数x都成破，那么的最小值为_答案分析f(x)f 对任意的实数x都成破，当x时，f(x)获得最大年夜值，即f cos1，2k，kZ，8k，kZ.0，当k0时，获得最小值.4(2019·世界理，11改编)关于函数f(x)sin|x|sinx|有下述四个结论：f(x)是偶函数；f(x)在区间上单调递增；f(x)在，上有4个零点；f(x)的最大年夜值为2.其中所有精确结论的编号是_答案分析f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sinx|f(x)，f(x)为偶函数，故精确；当<x<时，f(x)sinxsinx2sinx，f(x)在上单调递减，故不精确；f(x)在，上的图象如以下图，由图可知函数f(x)在，上只需3个零点，故不精确；ysin|x|与y|sinx|的最大年夜值都为1且能够同时取到，f(x)能够取到最大年夜值2，故精确综上，精确结论的编号是.5(2017·江苏，16)已经清楚向量a(cosx，sinx)，b(3，)，x0，(1)假设ab，求x的值；(2)记f(x)a·b，求f(x)的最大年夜值跟最小值以及对应的x的值解(1)由于a(cosx，sinx)，b(3，)，ab，因此cosx3sinx.假设cosx0，那么sinx0，与sin2xcos2x1冲突，故cosx0.因此tanx.又x0，因此x.(2)f(x)a·b(cosx，sinx)·(3，)3cosxsinx2cos.由于x0，因此x，从而1cos，因此，当x，即x0时，f(x)获得最大年夜值3；当x，即x时，f(x)获得最小值2.A组专题通关1已经清楚函数f(x)sincos，那么函数f(x)在上的值域为_答案分析函数f(x)sincossin·sinsin2cos，x，4x，f(x)，故函数f(x)在的值域为.2(2019·江苏省如皋中学模拟)已经清楚函数f(x)atanxbsinx1，且f 7，那么f _.答案5分析设g(x)atanxbsinx，那么g(x)为奇函数，且f(x)g(x)1.f g17，g6.f g1g1615.3将函数ysin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数单调增区间是_答案，kZ分析把函数ysin的图象向右平移个单位长度得函数g(x)sinsin2x的图象，由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，故函数的单调增区间为，kZ.4已经清楚函数f(x)2sin(>0)的最大年夜值与最小正周期一样，那么函数f(x)在1,1上的单调递增区间为_答案分析由于函数f(x)的最大年夜值为2，因此最小正周期T2，解得，因此f(x)2sin，当2kx2k，kZ，即2kx2k，kZ时，函数f(x)单调递增，令k0，得函数f(x)在1,1上的单调递增区间是.5已经清楚直线yn与函数f(x)msinxcosx的图象相邻两个交点的横坐标分不为x1，x2，那么m_.答案1分析依题意f(x)sin(x)，由已经清楚x为函数f(x)msinxcosx的图象的一条对称轴，函数获得最大年夜值或最小值，将x代入函数分析式，得±m，解得m1.6已经清楚函数f(x)sin2xcos2x，将yf(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度掉掉落函数yg(x)的图象，那么g的值为_答案3分析由题意得f(x)sin2xcos2x2sin，将yf(x)的图象向左平移个单位长度掉掉落函数y2sin2sin2x，再将函数y2sin2x向上平移1个单位长度掉掉落函数yg(x)的图象，即g(x)2sin2x1，因此g2sin13.7.已经清楚函数f(x)sinx2cos21(>0)，将f(x)的图象向右平移个单位长度，所得函数g(x)的局部图象如以下图，那么的值为_答案分析f(x)sinx2cos21sinxcosx2sin，那么g(x)2sin2sin.由题图知T2，2，g(x)2sin，那么g2sin2sin2，即22k，kZ，k，kZ.又0<<，的值为.8已经清楚不等式3sincoscos2m0对任意的x恒成破，那么实数m的取值范围是_答案，)分析由3sincoscos2m0，得sincosm0，因此msincossin.令t，由于x，因此t，因此sint，因此m.9已经清楚函数f(x)2sin(xR)(1)假设0，且f()2，求的值；(2)先将yf(x)的图象上所有点的横坐标延伸到原本的(纵坐标波动)，再将掉掉落的图象上所有点向右平行挪动(>0)个单位长度，掉掉落的图象关于直线x对称，求的最小值解(1)由于f(x)2sin，由f()2，得sin，即2k或2k，kZ.因此2k或2k，kZ，又0，故.(2)将yf(x)图象上所有点的横坐标延伸到原本的(纵坐标波动)，掉掉落y2sin的图象，再将y2sin图象上所有点向右平移个单位长度，掉掉落y2sin的图象由于ysinx的图象关于直线xk(kZ)对称，令2x2k，kZ，解得x，kZ.由于y2sin的图象关于直线x对称，令，kZ，解得，kZ.由>0可知，当k1时，获得最小值.10已经清楚函数f(x)2sinx(sinxcosx)a的图象通过点，aR.(1)务实数a的值及函数f(x)的单调递增区间；(2)假设当x时，不等式f(x)m恒成破，务实数m的取值范围解(1)f(x)2sinx(sinxcosx)a2sin2x2sinxcosxa1cos2xsin2xasin1a.由于函数f(x)的图象通过点，因此sin1a1，解得a1.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，因此f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)由(1)知f(x)sin，由于x，因此2x.当2x，即x0时，f(x)min1.由于f(x)m恒成破，因此mf(x)min，即m1.因此实数m的取值范围是(，1B组才能进步11.如图，已经清楚A，B分不是函数f(x)sinx(>0)在y轴右侧图象上的第一个最高点跟第一个最低点，且AOB，那么该函数的周期是_答案4分析设函数的周期为T，由图象可得A，B，那么·30，解得T4.12假设将函数f(x)sin(2x)cos(2x)(其中0<<)的图象向左平移个单位长度，平移后的图象关于点对称，那么函数g(x)cos(x)在上的最小值是_答案分析由题意得f(x)sincos2sin，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度所得图象对应的分析式为y2sin2sin，由于平移后的图象关于点对称，因此2×k，kZ，故k，kZ，又0<<，因此.因此g(x)cos，由x得x，因此当x或x，即x或x时，函数g(x)获得最小值，且最小值为.13.如图，函数f(x)Asin(x)与坐标轴的三个交点P，Q，R称心P(2,0)，PQR，M为QR的中点，PM2，那么A的值为_答案分析由题意设Q(a,0)，R(0，a)(a>0)那么M，由两点间间隔公式，得PM2，解得a18，a24(舍去)，由此得826，即T12，故，由P(2,0)及|，得，代入f(x)Asin(x)，得f(x)Asin，从而f(0)Asin8，得A.14已经清楚函数f(x)sinxcosxcos2x1b.(1)假设函数f(x)的图象关于直线x对称，且当0,3时，求函数f(x)的单调增区间；(2)在(1)的条件下，当x时，函数f(x)有且只需一个零点，务实数b的取值范围解f(x)sin2xcos2xbsinb.(1)函数f(x)的图象关于直线x对称，2·k(kZ)，解得3k1(kZ)，0,3，1，f(x)sinb，由2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，函数f(x)的单调增区间为(kZ)(2)由(1)知，f(x)sinb，x，2x，当2x，即x时，函数f(x)单调递增；当2x，即x时，函数f(x)单调递减又f(0)f ，当f >0f 或f 0时，函数f(x)有且只需一个零点，即sinb<sin或1b0，解得2<b或b，b的取值范围为.