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第7周习题课参考内容复合函数的微分一、多元复合函数的求导 1盘算以下函数的一阶偏导数，此中为曾经明白可微函数：1；2；3解：1，此中，；2，此中，；3，此中，。注：也可应用微分法盘算，以3为例：，但，比拟前面的系数便得论断。2设在点可微,.令，求剖析：用跟分不表现函数对于第一个变量跟第二个变量的偏导数，理清函数的复合关联.解：应用复合函数微分法那么求导数，此中，因而，将代入，并应用标题前提，,，失掉3设是函数，且，盘算=?解：由题设，且，因而因而二、高阶偏导数1设，且函数的二阶偏导数延续，求。剖析：求复合函数的偏导数时，起首要将函数的复合构造剖析清晰，寻出变量之间的关联，而后应用复合函数的链式法那么进展求导。在求二阶偏导数时，应特不留意复合函数的一阶导数依然依然复合函数，对其求导时仍要应用链式法那么。解：令，那么由复合函数的链式法那么，得，留意到还是的复合函数，得。注：求复合函数的高阶偏导数时，要特不留意对两头变量的各阶导数还是自变量的复合函数。罕见的过错是。2.设，的二阶偏导数延续，求.解：记，,，那么,；由于基本上认为两头变量，认为自变量的函数，因而，将以上两式代入前式得：.3.设满意Laplace方程，推导在极坐标变更，之下，满意的方程。解：起首由，解得由此得；进而盘算，；两式相加便失掉。法二：从另一个偏向盘算：，；因而，回想下面的论断可导出，三式相加得，综上失掉。4.思索3维Laplace微分算子在自变量正交变更后的方式。解：思索正交变更，为便于运算，以下采纳矩阵及其运算商定：，此中为正交矩阵，记，那么。这时，也即。应用矩阵的转置运算跟的正交性失掉。这阐明在自变量正交变更下Laplace算子的方式稳定。三多少何使用例1曾经明白为二元可微函数，写出曲面的切立体方程，证实一切切立体都与某个向量平行。证实：记，再记，任取曲面上一点，即曲面在点切立体的法向量为，因而切立体方程为；令，那么，也即曲面上恣意一点的切立体的法向与垂直，从而切立体与平行.四隐函数的求导 例1设函数由方程组断定，求.解：方程组有3个变量，2个方程，因而能够有1个自变量，断定2个函数，由题意取为自变量，为1元函数，两个方程对于自变量求导数，失掉解方程组得.例2函数由方程组断定，求=？解：函数关联剖析：5变量个数-3方程个数=2自变量个数依照题意为自变量，因而基本上的函数3个方程对应3个隐函数；进一步剖析前面2个方程：3变量-2方程=1自变量由于是自变量，因而基本上的1元函数。由第二个方程可知依附于，但不依附于；而第一个方程导出,，为盘算对于的导数，后两个方程对于求导得解得代入前式收拾失掉,.