知识梳理_平面向量的数量积及应用_基础.doc

平面向量的数量积及运用编稿：李霞审稿：孙永钊【考大年夜纲求】1理解平面向量数量积的含义及其物理意思，理解平面向量的数量积与向量投影的关系，操纵数量积的坐标表达式，会停顿平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积揣摸两个平面向量的垂直关系.2会用向量方法处置某些庞杂的平面几多何征询题，会用向量方法处置庞杂的力学征询题与其他一些理论征询题.【知识搜集】平面向量数量积及运用平面向量的数量积平面向量的运用平面向量的坐标运算【考点梳理】考点一、向量的数量积1.定义：已经清楚两个非零向量跟，它们的夹角为q，我们把数量叫做跟的数量积或内积，记作，即.规那么：零向量与任一向量的数量积为0.要点说明：1两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与余弦值决定.2在运用数量积公式解题时，肯定留心两向量夹角范围0°q180°.不的，由于向量具无倾向性，肯定要寻准q是哪个角.2.平面向量的数量积的几多何意思我们规那么叫做向量在倾向上的投影，当q为锐角时，为正值；当q为钝角时，为负值；当q=0°时，；当q=90°时，；当q=180°时，.的几多何意思：数量积等于的长度与在倾向上的投影的乘积.要点说明：在倾向上的投影是一个数量，它可正、可负，也可以等于0.3.性质：1(2)当与同向时，；当与反向时，.特不地(3)(4)4.运算律设已经清楚向量、跟实数，那么向量的数量积称心以下运算律：(1)(交换律)(2)(3)要点说明：事前，由不用定能推出，这是由于对任何一个与垂直的向量，都有；事前，也不用定能推出，由于由，得，即与垂直.也的确是向量的数量积运算不称心消去律.对于实数，有，但对于向量来说，不用定相当，这是由于表示一个与共线的向量，而表示一个与共线的向量，而与不用定共线，因此与不用定相当.5.向量的数量积的坐标运算已经清楚两个非零向量，那么；假设，那么；假设，那么，这的确是平面内两点间的距离公式；假设，那么6.要紧不等式假设，那么考点二、向量的运用1向量在几多何中的运用证明线段平行，包括相似征询题，常用向量平行共线的充要条件；证明垂直征询题，常用垂直的充要条件；求夹角征询题；运用夹角公式：.平面向量的夹角求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模或.2向量在物理中的运用向量的加法与减法在力的分析与分析中的运用；向量在速度的分析与分析中的运用.【模典范题】典范一、数量积的不雅念例1已经清楚，分不称心以下条件，求与.(1)；(2)；(3)夹角为【分析】(1)事前，分两种情况：假设同向，那么，。假设反向，那么，。(2)事前，。(3)当的夹角为时，.【总结升华】照旧是一个向量，它们的模按照公式即为本身数量积的平方根.数量积运的确是一样向量与数量标桥梁.举一反三：【变式1】已经清楚向量与的夹角为，且，那么的值为【答案】0；【分析】.【变式2】已经清楚向量与的夹角为120°，那么_【答案】7【分析】,.【变式3】两个非零向量、互相垂直，给出以下各式：；.其中精确的式子有A2个B3个C4个D5个【答案】B【分析】显然精确；由向量运算的三角形法那么知与长度相当，但倾向差异，因此差错；精确；由向量数量积的运算律可知精确；只需在时，与才互相垂直，差错，故精确，应选B.例2.2016北京高考已经清楚向量，那么与夹角的大小为_.【答案】30°【分析】，因此，按照数量积公式，得故与夹角的大小为30°。【总结升华】考察平面向量数量标角度征询题，留心运用数量积的运算性质及夹角的范围，公式公正的选用有助于分析处置征询题.举一反三：【变式1】假设向量称心，与的夹角为，那么2【答案】B；【分析】，故。【变式2】假设，且与的夹角为钝角，那么实数k的取值范围是。A.B.2，+¥C.D.【答案】A；【分析】与的夹角为钝角，且与不克不迭反向，即且故【高清课堂：平面向量的数量积及运用401196例1】【变式3】假设，且，那么向量与的夹角为A300B600C1200D1500【答案】C例3.假设、均为单位向量，且，的最大年夜值为_【答案】【分析】由于、均为单位向量，且，设=1，0，=0，1，,故的最大年夜值为.【总结升华】考察平面向量数量积跟模的征询题，考察我们运用知识分析处置征询题的才干.留心此题是转换为代数运算求最值征询题.举一反三：【变式】已经清楚、是平面内两个互相垂直的单位向量，假设向量称心，那么的最大年夜值是A1B2CD【答案】C【分析】，的最大年夜值为.应选C.典范二、数量积的综合运用例4.淮北二模在平面直角坐标系中，已经清楚Acosx，1，Bl，sinx，XR，求|AB|的最小值；设，将函数fx的图象上所有点的横坐标伸长到原本的2倍纵坐标波动，掉掉落函数gx的图象求函数gx的对称中心【分析】|AB|=|AB|的最小值为=1；=cosxsinx=cosx+，将函数fx的图象上所有点的横坐标伸长到原本的2倍纵坐标波动，掉掉落函数gx=cosx+，令x+=k+，可得x=2k+，函数gx的对称中心为2k+，0kZ【总结升华】平面向量有几多何跟代数两种方法，并通过平面直角坐标系将它们联系起来，因此可以说，向量理论上是分析几多何的内容，它把数形特不好地结合在一起，这正是数学深造中的一个要紧思想方法，因此在处置数学征询题时被广泛运用.高考中，除了对平面向量本身的不雅念、运算加以考察外，更要紧的是他与其他知识的联系，即用向量来处置代数、几多如许综合征询题，从而考察老师综合处置征询题的才干.举一反三：【变式1】浦东新区一模在ABC中，角A，B，C所对的边分不为a，b，c，且b=c，A的平分线为AD，假设1当m=2时，求cosA的值；2事前，务虚数m的取值范围【分析】1由题意得，=+；故+=2；故2=3；故cosA=；2=|cosA=；故m=+=+=+；，21，；故1；在+2【变式2】平面上O，A，B三点不共线，设，那么OAB的面积等于ABCD【答案】C【分析】，应选C.