知识讲解_《推理与证明》全章复习与巩固（基础）（理）.doc

推理与证明全章复习与稳定编稿：李霞审稿：张林娟【深造目的】1.了解合情推理的含义，能使用归纳推理跟类比推理等进展庞杂的推理；操纵归纳推理的全然办法；体会它们的要紧性，并能使用它们进展一些庞杂的推理；2.了解合情推理跟归纳推理之间的联系跟差异；3.了解开门见山证明的两种全然办法：分析法跟综合理；了解分析法跟综合理的考虑过程跟特征；4.了解开门见山证明的一种全然办法：反证法；了解反证法的考虑过程、特征；5.了解数学归纳法的情理，能用数学归纳法证明一些庞杂的数学命题.【知识搜集】【要点梳理】要点一：有关推理不雅念归纳推理：又称归纳法，是从专门到一般、部分到全体的推理按照归纳东西是否完备，分为完好归纳法跟不完好归纳法完好归纳法是按照某类事物中的每一个东西或每一个子类的情况作出的关于该类事物的一般性结论的推理；不完好归纳法是按照某类事物中的一部分东西存在某种特色而作出该类事物都存在这一特色的一般性结论的推理由于仅列举了归纳东西中的一小部分，因此得出的结论与条件未必有肯定的联系，故其结论未必精确，必须通过实践的证明跟实践的检验类比推理：又称类比法，是由专门到专门的推理这是由两系统的已经清楚属性，通过比较、遥想而觉察未知属性的“开拓型“发散型思维办法跟归纳推理一样，能由已经清楚推测未知，推理的结论也不用定为真，有待进一步证明，素日情况下，类比的类似性越多，类比得出的结论就越可靠归纳推理：又称归纳法是从一般到专门的推理，是数学证明中的全然推理办法归纳推理的结论完好蕴涵于条件之中它是“封闭型的思维办法，只需条件真实，逻辑办法精确，那么结论肯定真实，但由它一般不克不迭取得攻破性进展故合情推理与归纳推理各有侧重，相反相成合情推理有助于觉察新事物、新结论、新法那么，归纳推理保证结论的可靠性，去伪存真要点说明：归纳推理更注重推理的办法例那么，稀有的有假言推理、关系推理、三段论推理三段论推理：其一般办法为：大年夜条件：一切M全然上P；小条件：S是M；结论：S是P要点二：有关证明办法综合理综合理是使用已经清楚条件跟某些数学定义、公理、定理等通过一系列的推实践证，最后推导出所要证明的结论成破的证明办法，是数学推理证明中的要紧办法即从已经清楚条件出发，通过逐步的逻辑推理，最后抵达待征结论或需求征询题假设要证明的命题是，那么证明步伐用标记表示为p(已经清楚)分析法分析法的确是从待征结论出发，一步一步探求下去，寻求结论成破的充分条件，最后抵达题设的已经清楚条件或已被证明的理想用分析法证明的逻辑关系：q(结论)(已经清楚)开门见山证法开门见山证法不是从正面判定论题的真实性，而是证明它的反论题为假或改证它的等价命题为真，开门见山抵达目的反证法的确是开门见山证法的一种反证法证题步伐为：(1)假设命题的结论不成破，即假设结论的反面成破(2)从谁人假设出发，通过推实践证得出冲突(3)由冲突揣摸假设不成破从而确信命题的结论成破反证法导出冲突稀有的有以下几多种情况：导出非p为真，即与原命题的条件冲突导出q为真，即与假设“非q为真冲突导出一个与定义、公理、定理等冲突的命题数学归纳法数学归纳法是证明一个与正整数n有关的命题时，常采用的一种办法，它是一种完好归纳法，其步伐为：第一步：证明n取第一个值时命题成破第二步：假设nk(k，kN+)时命题成破，证明nk+1时命题成破第三步：下结论，命题对从开始的一切自然数n都成破要点说明：1用数学归纳法证明与自然数n有关的命题时，假设证明恒等式或不等式应特不留心项及项数的变卦法那么；证明几多何命题时，要特不留心从nk到nk+1的几多何图形中几多何元素的变卦法那么；证明整除性命题时，要特不留心凑配项的变形技艺；证明与奇、偶数有关的命题要留心过渡时的特征，如一个命题对一切奇数n成破，应假设n2k-1时命题成破，推证n2k+1时命题成破或假设nk(k为奇数)时命题成破，推证nk+2时命题成破2“归纳一猜想证明的论题，要特不关注项的构陈法那么，作出公正的猜想后再证明【模典范题】典范一：合情推理与归纳推理例1.立体内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分不平行类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件_；充要条件_(写出你认为精确的两个充要条件)【思路点拨】由立体几多何图形的性质类比立体几多何图形的性质时要做到点类比线、线类比面、面类比体【分析】两组绝对正面分不平行；一组绝对正面平行且全等；对角线交于一点，底面是平行四边形(填任意两个即可)【总结升华】此题调查类比推理，其关键是操纵由立体几多何图形的性质类比立体几多何图形的性质时，元素间的对应关系举一反三：【变式1】在立体几多何中，ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为，把谁人结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如以下列图)，面DEC平分二面角ACDB且与AB订交于E，那么掉掉落的类比的结论是_【答案】.【变式2】将全体正整数排成一个三角形数阵，如以下列图：按照以上摆设法那么，数阵中第n(n3)行从左至右第3个数是_【答案】【分析】前n-1行共有正整数1+2+3+n-1个，即共有个，因此第n行第3个数是全体正整数中第个数，即例2.在数列中，nN+(1)证明数列是等比数列；(2)求数列的前n项跟；(3)证明不等式，对任意nN+皆成破【分析】(1)由题设得，nN+又，因此数列是首项为1，且公比为4的等比数列(2)由(1)可知，因此数列的通项公式为因此数列的前n项跟(3)对任意的nN+，0因此不等式，对任意nN+皆成破【总结升华】此题属于递推数列征询题，是高考调查的抢手解题的关键是转化为等差、等比数列举一反三：【变式】纸制的正方体的六个面按照其方位分不标记为上、下、东、南、西、北现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、不处朝上展平，掉掉落如以下列图的立体图形，那么标“的面的方位是()A南B北C西D下【答案】B【分析】将所给图形恢复为正方体，如以下列图，最上面为，最左面为东，最不处为上，将正方体改变后让东面指向东，让“上面向上可知“的方位为北典范二：开门见山证明与开门见山证明例3.设a0，b0，a+b1，求证：【分析】证法一(综合理)：a0，b0，a+b1，ab，4又4，8证法二(分析法)：a0，b0，要证8，只需证18，即证8，即证4，即证4，即证2由全然不等式可知，当a0，b0时，2成破，因此原不等式成破【总结升华】此题既可用综合理，也可用分析法来解，解题时应敏锐使用举一反三：【变式】设ab>0，求证：3a32b33a2b2ab2.【答案】证法一：3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(3a22b2)(ab)由于ab>0，因此ab0,3a22b2>0，从而(3a22b2)(ab)0，因此3a32b33a2b2ab2.证法二：要证3a32b33a2b2ab2，只需证3a2(ab)2b2(ab)0，只需证(3a22b2)(ab)0，ab>0.ab0,3a22b2>2a22b20，上式成破例4.设二次函数f(x)ax2bxc(a0)中的a、b、c都为整数，已经清楚f(0)、f(1)均为奇数，求证：方程f(x)0无整数根【思路点拨】考虑用反证法.【分析】假设方程f(x)0有一个整数根k，那么ak2bkc0f(0)c，f(1)abc都为奇数，ab必为偶数当k为偶数时，令k2n(nZ)，那么ak2bk4n2a2nb2n(2nab)必为偶数，与式冲突；当k为奇数时，令k2n1(nZ)，那么ak2bk(2n1)·(2naab)为一奇数与一偶数乘积，必为偶数，也与式冲突综上可知方程f(x)0无整数根【总结升华】反证法常用于开门见山证明艰辛或以否定办法出现的命题；涉及“全然上“都不是“至多“至多等办法的命题时，也常用反证法举一反三：【变式1】用反证法证明命题“是在理数时，假设精确的选项是()A假设是有理数B假设是有理数C假设或是有理数D假设是有理数【答案】D【变式2】已经清楚a、bR，|a|+|b|1，求证：方程的两根的绝对值都小于1【答案】假设是的根，且1，由得，因此，因此1，这与冲突，故两根绝对值都小于1典范三：数学归纳法例5.兴安盟二模已经清楚数列an的前n项跟Sn，1打算S1，S2，S3，猜想Sn的表达式并用数学归纳法证明；2设，数列bn的前n项跟为Tn，求证：【答案】1，；2【思路点拨】1使用已经清楚条件打算S1，S2，S3，猜想Sn的表达式，然后用数学归纳法证明步伐证明即可；2化简，使用裂项法求解数列的bn的前n项跟为Tn，即可证明【分析】1由于an=SnSn1n2，因此，由此拾掇得，因此有：，猜想：证明：当n=1时，猜想成破假设n=k时猜想成破，即，那么，因此当n=k+1时猜想成破，由nN*都成破2由1，因此：，又由于，因此【总结升华】本小题要紧调查使用数学归纳法处置关于数列征询题，虽存在着肯定的难度，但是检验大纲规那么调查内容，属于一道中档题，对考生的运算求解才干，化归与转化才干提出肯定恳求举一反三：【变式1】春武汉校级期末用数学归纳法证明某命题时，左式为n为正偶数，从“n=2k到“n=2k+2左边需增加的代数式为_【分析】n=2k时，左式为，n=2k+2时，左式为，从“n=2k到“n=2k+2左边需增加的代数式为故答案为：【变式2】求证：.【答案】(1)当n2时，左边，不等式成破(2)假设当nk(k2，kN*)时命题成破，即，那么当nk1时，因此当nk1时不等式也成破由(1)跟(2)可知，原不等式对一切n2，nN*均成破