高考数学(理)一轮复习讲义6.4数列求和.docx

§6.4数学归纳法最新考纲考情考向分析1.了解数学归纳法的情理.2.能用数学归纳法证明一些庞杂的数学命题.以了解数学归纳法的情理为主，会用数学归纳法证明与数列有关或与不等式有关的等式或不等式.偶尔在高考中以解答题方法出现，属初级题.数学归纳法一般地，证明一个与自然数相关的命题，可按以下步伐停顿：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N)时命题成破；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN)时命题成破的前提下，推出当nk1时命题也成破.只需完成这两个步伐，就可以断定命题对n取第一个值后面的有正整数成破.不雅观点方法微思索1.用数学归纳法证题时，证明当n取第一个值n0(n0N)时命题成破.由于n0N，因此n01.这种说法对吗？提示过错，n0也可以是2,3,4，.如用数学归纳法证明多边形内角跟定理(n2)时，初始值n03.2.数学归纳法的第一个步伐可以省略吗？提示不可以，数学归纳法的两个步伐相反相成，缺一弗成.3.有人说，数学归纳法是合情推理，这种说法对吗？提示过错，数学归纳法是一种证明与自然数有关的命题的方法，它是归纳推理.题组一思索辨析1.揣摸以下结论是否精确(请在括号中打“或“×)(1)一切与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(×)(2)用数学归纳法证明征询题时，归纳假设可以不用.(×)(3)不论是等式仍然不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项.(×)(4)用数学归纳法证明等式“12222n22n31，验证n1时，右边式子应为122223.()(5)用数学归纳法证明凸n边形的内角跟公式时，n03.()题组二讲义改编2.在使用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验n等于()A.1B.2C.3D.4答案C分析凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n3.3.已经清楚an称心an1anan1，nN，且a12，那么a2_，a3_，a4_，猜想an_.答案345n1题组三易错自纠4.用数学归纳法证明1aa2an1(a1，nN)，在验证n1时，等式右边的项是()A.1B.1aC.1aa2D.1aa2a3答案C分析当n1时，n12，右边1a1a21aa2.5.对于不等式<n1(nN)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n1时，<11，不等式成破.(2)假设当nk(k1，kN)时，不等式成破，即<k1，那么当nk1时，<(k1)1.当nk1时，不等式成破.那么上述证法()A.过程全部精确B.n1验证的不精确C.归纳假设不精确D.从nk到nk1的推理不精确答案D分析在nk1时，不使用nk时的假设，不是数学归纳法.6.用数学归纳法证明1232n2n122n1(nN)时，假设当nk时命题成破，那么当nk1时，左端增加的项数是_.答案2k分析使用数学归纳法证明1232n2n122n1(nN).当nk时，那么有1232k2k122k1(kN)，右边表示的为2k项的跟.当nk1时，那么右边1232k(2k1)2k1，表示的为2k1项的跟，增加了2k12k2k项.题型一用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明：(nN).证明当n1时，右边.右边.右边右边，因此等式成破.假设当nk(k1，kN)时等式成破，即有，那么当nk1时，.因此当nk1时，等式也成破.由可知对于一切nN等式都成破.思维升华用数学归纳法证明恒等式应留心(1)清楚初始值n0并验证当nn0时等式成破.(2)由nk证明nk1时，弄清右边增加的项，且清楚变形目标.(3)操纵恒等变形常用的方法：因式分析；添拆项；配方法.题型二用数学归纳法证明不等式例1等比数列an的前n项跟为Sn，已经清楚对任意的nN，点(n，Sn)均在函数ybxr(b>0且b1，b，r均为常数)的图象上.(1)求r的值；(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nN)，证明：对任意的nN，不等式···>成破.(1)解由题意得，Snbnr，当n2时，Sn1bn1r.因此anSnSn1bn1(b1).由于b>0且b1，因此n2时，an是以b为公比的等比数列.又a1S1br，a2b(b1)，因此当b，即b，解得r1.(2)证明由(1)及b2知an2n1.因此bn2n(nN)，所证不等式为···>.当n1时，左式，右式，左式>右式，因此结论成破.假设当nk(k1，kN)时结论成破，即···>，那么当nk1时，····>·，要证当nk1时结论成破，只需证，即证，由均值不等式得成破，故成破，因此当nk1时，结论成破.由可知，当nN时，不等式···>成破.思维升华用数学归纳法证明与n有关的不等式，在归纳假设使用后可使用比较法、综合理、分析法、放缩法等来加以证明，充分使用均值不等式、不等式的性质等放缩技艺，使征询题得以简化.跟踪训练1数学归纳法证明：对一切大年夜于1的自然数，不等式··>均成破.证明当n2时，右边1，右边.右边>右边，不等式成破.假设当nk(k2，且kN)时不等式成破，即··>.那么当nk1时，··>·>.当nk1时，不等式也成破.由知对一切大年夜于1的自然数n，不等式都成破.题型三归纳猜想证明命题点1与函数有关的证明征询题例2设函数f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的导函数.(1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN，求gn(x)的表达式；(2)假设f(x)ag(x)恒成破，务虚数a的取值范围.解由题设得g(x)(x0).(1)由已经清楚，得g1(x)，g2(x)g(g1(x)，g3(x)，可猜想gn(x).上面用数学归纳法证明.当n1时，g1(x)，结论成破.假设当nk(k1，kN)时结论成破，即gk(x).那么当nk1时，gk1(x)g(gk(x)，即结论成破.由可知，结论对nN恒成破.(2)已经清楚f(x)ag(x)恒成破，即ln(1x)恒成破.设(x)ln(1x)(x0)，那么(x)，当a1时，(x)0(当且仅当x0，a1时等号成破)，(x)在0，)上单调递增.又(0)0，(x)0在0，)上恒成破，当a1时，ln(1x)恒成破(当且仅当x0时等号成破).当a>1时，对x(0，a1，有(x)0，(x)在(0，a1上单调递减，(a1)<(0)0.即当a>1时，存在x>0，使(x)<0，ln(1x)不恒成破.综上可知，a的取值范围是(，1.命题点2与数列有关的证明征询题例3已经清楚数列an的前n项跟为Sn，a1，且Sn2an(n2).(1)打算S1，S2，S3，S4的值，猜想Sn的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论.(1)解S1a1，S22S2S1S2，S32S3S2S3，S42S4S3S4.由此猜想：Sn(nN).(2)证明当n1时，右边S1a1，右边.右边右边，原等式成破.当nk(k1，kN)时，假设Sk成破，那么当nk1时，Sk12Sk1Sk，得Sk22，Sk1，当nk1时，原等式也成破.综合得对一切nN，Sn成破.命题点3存在性征询题的证明例4是否存在a，b，c使等式2222对一切nN都成破，假设不存在，说明因由；假设存在，请用数学归纳法证明你的结论.解取n1,2,3，可得解得a，b，c.上面用数学归纳法证明2222.即证1222n2n(n1)(2n1)，当n1时，右边1，右边1，等式成破；假设当nk(k1，kN)时等式成破，即1222k2k(k1)·(2k1)成破，那么当nk1时，等式右边1222k2(k1)2k(k1)(2k1)(k1)2k(k1)(2k1)6(k1)2(k1)(2k27k6)(k1)(k2)·(2k3)，当nk1时等式成破；综合妥善nN时等式成破，故存在a，b，c使已经清楚等式成破.思维升华“归纳猜想证明属于探究性征询题的一种，一般要通过打算、不雅观看、归纳，然后猜想出结论，再用数学归纳法证明.在用这种方法处置征询题时，应保证猜想的精确性跟数学归纳法步伐的残缺性.跟踪训练2已经清楚正项数列an中，对于一切的nN均有aanan1成破.(1)证明：数列an中的任意一项都小于1；(2)探究an与的大小关系，并证明你的结论.证明(1)由aanan1，得an1ana.在数列an中，an>0，an1>0，ana>0，0<an<1，故数列an中的任何一项都小于1.(2)由(1)知0<a1<1，那么a2a1a2<，由此猜想an<.上面用数学归纳法证明：当n2，且nN时猜想精确.当n2时已证；假设当nk(k2，且kN)时，有ak<成破，那么，ak1aka2<2<，当nk1时，猜想精确.综上所述，对于一切nN，都有an<.1.假设f(n)1(nN)，那么f(1)的值为()A.1B.C.1D.非以上答案答案C分析等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大年夜分母为6n1，那么当n1时，最大年夜分母为5，应选C.2.已经清楚f(n)122232(2n)2，那么f(k1)与f(k)的关系是()A.f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2B.f(k1)f(k)(k1)2C.f(k1)f(k)(2k2)2D.f(k1)f(k)(2k1)2答案A分析f(k1)122232(2k)2(2k1)22(k1)2f(k)(2k1)2(2k2)2.3.使用数学归纳法证明不等式1<f(n)(n2，nN)的过程中，由nk到nk1时，右边增加了()A.1项B.k项C.2k1项D.2k项答案D分析令不等式的右边为g(n)，那么g(k1)g(k)1，其项数为2k112k12k12k2k.故右边增加了2k项.4.用数学归纳法证明123n2，那么当nk1时左端应在nk的基础上加上()A.k21B.(k1)2C.D.(k21)(k22)(k23)(k1)2答案D分析等式右边是从1开始的连续自然数的跟，直到n2.故nk1时，最后一项为哪一项(k1)2，而nk时，最后一项为哪一项k2，应加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.5.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)称心当f(k)k1成破时，总能推出f(k1)k2成破，那么以下命题总成破的是()A.假设f(1)<2成破，那么f(10)<11成破B.假设f(3)4成破，那么当k1时，均有f(k)k1成破C.假设f(2)<3成破，那么f(1)2成破D.假设f(4)5成破，那么当k4时，均有f(k)k1成破答案D分析当f(k)k1成破时，总能推出f(k1)k2成破，说明假设当kn时，f(n)n1成破，那么当kn1时，f(n1)n2也成破，因此假设当k4时，f(4)5成破，那么当k4时，f(k)k1也成破.6.用数学归纳法证明>，假设nk时，不等式成破，那么当nk1时，应推证的目标不等式是_.答案>分析不雅观看不等式中分母的变卦便知.7.已经清楚f(n)1(nN)，经打算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，那么其一般结论为_.答案f(2n)>(n2，nN)分析不雅观见解那么可知f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，故得一般结论为f(2n)>(n2，nN).8.用数学归纳法证明不等式>的过程中，由nk推导nk1时，不等式的右边增加的式子是_.答案分析不等式的右边增加的式子是.9.假设数列an的通项公式an，记cn2(1a1)·(1a2)(1an)，试通过打算c1，c2，c3的值，推测cn_.答案分析c12(1a1)2×，c22(1a1)(1a2)2××，c32(1a1)(1a2)(1a3)2×××，故由归纳推理得cn.10.用数学归纳法证明(n1)(n2)(n3)(nn)2n·1·3·5(2n1)(nN)时，从nk到nk1时右边需增乘的代数式是_.答案4k2分析用数学归纳法证明(n1)(n2)(n3)(nn)2n·1·3·5(2n1)(nN)时，从nk到nk1时右边需增乘的代数式是2(2k1).11.求证：>(n2，nN).证明当n2时，右边>，不等式成破.假设nk(k2，kN)时命题成破，即>.当nk1时，>>.当nk1时不等式亦成破.原不等式对一切n2，nN均成破.12.已经清楚点Pn(an，bn)称心an1an·bn1，bn1(nN)，且点P1的坐标为(1，1).(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于nN，点Pn都在(1)中的直线l上.(1)解由点P1的坐标为(1，1)知，a11，b11.因此b2，a2a1·b2.因此点P2的坐标为.因此直线l的方程为2xy10.(2)证明当n1时，2a1b12×1(1)1成破.假设nk(k1，kN)时，2akbk1成破，那么2ak1bk12ak·bk1bk1(2ak1)1，因此当nk1时，命题也成破.由知，对nN，都有2anbn1，即点Pn都在直线l上.13.破体内有n条直线，最多可将破体分成f(n)个地域，那么f(n)的表达式为()A.n1B.2nC.D.n2n1答案C分析1条直线将破体分成11个地域；2条直线最多可将破体分成1(12)4个地域；3条直线最多可将破体分成1(123)7个地域；n条直线最多可将破体分成1(123n)1个地域.14.用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN)能被9整除，要使用归纳假设证nk1时的情况，只需展开()A.(k3)3B.(k2)3C.(k1)3D.(k1)3(k2)3答案A分析假设当nk时，原式能被9整除，即k3(k1)3(k2)3能被9整除.当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k3)3展开，让其出现k3即可.15.已经清楚xi>0(i1,2,3，n)，我们清楚(x1x2)·4成破.(1)求证：(x1x2x3)9.(2)同理我们也可以证明出(x1x2x3x4)·16.由上述几多个不等式，请你猜想一个与x1x2xn跟(n2，nN)有关的不等式，并用数学归纳法证明.(1)证明方法一(x1x2x3)3·39(当且仅当x1x2x3时，等号成破).方法二(x1x2x3)332229(当且仅当x1x2x3时，等号成破).(2)解猜想：(x1x2xn)n2(n2，nN).证明如下：当n2时，由已经清楚得猜想成破；假设当nk(k2，kN)时，猜想成破，即(x1x2xk)k2，那么当nk1时，(x1x2xkxk1)(x1x2xk)(x1x2xk)xk11k2(x1x2xk)xk11k21k22221 k个k22k1(k1)2，因此当nk1时不等式成破.综合可知，猜想成破.