高考数学(文)一轮复习讲义 第6章高考专题突破3第2课时 数列的综合问题.docx

第2课时数列的综合征询题题型一数列与函数例1数列an的前n项跟为Sn，2Snan12n11，nN，且a1，a25，19成等差数列(1)求a1的值；(2)证明为等比数列，并求数列an的通项公式；(3)设bnlog3(an2n)，假设对任意的nN，不等式bn(1n)n(bn2)6<0恒成破，试务虚数的取值范围解(1)在2Snan12n11，nN中，令n1，得2S1a2221，即a22a13，又2(a25)a119，那么由解得a11.(2)当n2时，由得2anan1an2n，那么1，又a25，那么1.数列是以为首项，为公比的等比数列，1×n1，即an3n2n.(3)由(2)可知，bnlog3(an2n)n.当bn(1n)n(bn2)6<0恒成破时，即(1)n2(12)n6<0(nN)恒成破设f(n)(1)n2(12)n6(nN)，当1时，f(n)n6<0恒成破，那么1称心条件；当<1时，由二次函数性质知不恒成破；当>1时，由于对称轴n<0，那么f(n)在1，)上单调递减，f(n)f(1)34<0恒成破，那么>1称心条件，综上所述，实数的取值范围是1，)思维升华数列与函数的交汇征询题(1)已经清楚函数条件，处置数列征询题，此类征询题一般使用函数的性质、图象研究数列征询题；(2)已经清楚数列条件，处置函数征询题，解题时要留心数列与函数的外延联系，操纵递推数列的稀有地法跟踪训练1(2018·葫芦岛模拟)已经清楚数列an称心a11，2an1an，数列bn称心bn2log2a2n1.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设数列bn的前n项跟为Tn，求使得2Tn4n2m对任意正整数n都成破的实数m的取值范围解(1)由a11，an0，an是首项为1，公比为的等比数列，ann1.bn2log22n2n2.(2)由(1)得，Tnn23n，m2n26n对任意正整数n都成破设f(n)2n26n，f(n)2n26n22，当n1或2时，f(n)的最大年夜值为4，m4.即m的取值范围是4，)题型二数列与不等式例2已经清楚数列an中，a1，其前n项的跟为Sn，且称心an(n2)(1)求证：数列是等差数列；(2)证明：S1S2S3Sn<1.证明(1)当n2时，SnSn1，拾掇得Sn1Sn2Sn·Sn1(n2)，2，从而构成以2为首项，2为公差的等差数列(2)由(1)可知，(n1)×22n，Sn.当n1时，Sn<1，方法一当n2时，Sn<·，S1S2S3Sn<1<1.原不等式得证方法二当n2时，<，S1S2S3Sn<，<<1.原命题得证思维升华数列与不等式的交汇征询题(1)函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特不赋值得出数列中的不等式；(2)放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩掉掉落跟踪训练2已经清楚数列an为等比数列，数列bn为等差数列，且b1a11，b2a1a2，a32b36.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设cn，数列cn的前n项跟为Tn，证明：Tn<.(1)解设数列an的公比为q，数列bn的公差为d，由题意得1d1q，q22(12d)6，解得dq2，因此an2n1，bn2n1.(2)证明由于cn，因此Tn，由于>0，因此Tn<.又由于Tn在1，)上单调递增，因此当n1时，Tn取最小值T1，因此Tn<.题型三数列与数学文化例3我国古代名著九章算术中有如斯一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重多少多何意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从新到尾，每一尺的重量构成等差数列，征询中间三尺共重多少多斤()A6斤B7斤C8斤D9斤答案D分析原征询题等价于等差数列中，已经清楚a14，a52，求a2a3a4的值由等差数列的性质可知a2a4a1a56，a33，那么a2a3a49，即中间三尺共重9斤思维升华我国古代数学涉及等差、等比数列的征询题特不多，处置这类征询题的关键是将古代理论征询题转化为古代数学征询题，操纵等差、等比数列的不雅念、通项公式跟前n项跟公式跟踪训练3中国人在特不早就开始研究数列，中国古代数学著作九章算术、算法统宗中都有大批古人研究数列的记载现有数列题目如下：数列an的前n项跟Snn2，nN，等比数列bn称心b1a1a2，b2a3a4，那么b3等于()A4B5C9D16答案C分析由题意可得b1a1a2S2×221，b2a3a4S4S2×42×223，那么等比数列bn的公比q3，故b3b2q3×39.1(2018·包头模拟)设数列an的前n项跟为Sn，且Snan1.(1)求数列an的通项公式；(2)假设f(x)x，设bnf(a1)f(a2)f(an)，求数列的前n项跟Tn.解(1)由Snan1得Sn1an11，两式相减得，Sn1Snan1an，即an1an1an，即(n1)，因此数列an是公比为的等比数列，又由a1a11得a1，因此ana1qn1n.(2)由于bnf(a1)f(a2)f(an)12n，因此2，因此Tn22.2已经清楚等差数列an的公差d0，a10，其前n项跟为Sn，且a22，S3，S4成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)假设bn，数列bn的前n项跟为Tn，求证：Tn2n<.(1)解由a10得an(n1)d，Sn，由于a22，S3，S4成等比数列，因此S(a22)S4，即(3d)2(d2)·6d，拾掇得3d212d0，即d24d0，由于d0，因此d4，因此an(n1)d4(n1)4n4.(2)证明由(1)可得Sn12n(n1)，因此bn22，因此Tn2n2n1，因此Tn2n<.3已经清楚二次函数f(x)ax2bx的图象过点(4n，0)，且f(0)2n，nN，数列an称心f，且a14.(1)求数列an的通项公式；(2)记bn，求数列bn的前n项跟Tn.解(1)f(x)2axb，由题意知b2n，16n2a4nb0，a，那么f(x)x22nx，nN.数列an称心f，又f(x)x2n，2n，2n，由累加法可得2462(n1)n2n，化简可得an(n2)，当n1时，a14也符合，an(nN)(2)bn2，Tnb1b2bn22.4已经清楚xn是各项均为正数的等比数列，且x1x23，x3x22.(1)求数列xn的通项公式；(2)如图，在破体直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，Pn1(xn1，n1)掉掉落折线P1P2Pn1，求由该折线与直线y0，xx1，xxn1所围成的地域的面积Tn.解(1)设数列xn的公比为q.由题意得因此3q25q20，由已经清楚得q>0，因此q2，x11.因此数列xn的通项公式为xn2n1.(2)过P1，P2，Pn1向x轴作垂线，垂足分不为Q1，Q2，Qn1.由(1)得xn1xn2n2n12n1，记梯形PnPn1Qn1Qn的面积为bn，由题意得bn×2n1(2n1)×2n2，因此Tnb1b2bn3×215×207×21(2n1)×2n3(2n1)×2n2，那么2Tn3×205×217×22(2n1)×2n2(2n1)×2n1，由，得Tn3×21(2222n1)(2n1)×2n1(2n1)×2n1.因此Tn.5(2019·盘锦模拟)假设正项数列an的前n项跟为Sn，首项a11，点P(，Sn1)在曲线y(x1)2上(1)求数列an的通项公式an；(2)设bn，Tn表示数列bn的前n项跟，假设Tna恒成破，求Tn及实数a的取值范围解(1)由Sn1(1)2，得1，因此数列是以为首项，1为公差的等差数列，因此(n1)×1，即Snn2，由公式an得an因此an2n1.(2)由于bn，因此Tnb1b2bn，显然Tn是关于n的增函数，因此Tn有最小值(Tn)minT1×.由于Tna恒成破，因此a，因此a的取值范围是.6已经清楚各项均不相当的等差数列an的前三项跟为9，且a1，a3，a7恰为等比数列bn的前三项(1)分不求数列an，bn的前n项跟Sn，Tn；(2)记数列anbn的前n项跟为Kn，设cn，求证：cn1>cn(nN)(1)解设数列an的公差为d，那么解得或(舍去)，因此ann1，Sn.又b1a12，b2a34，因此bn2n，Tn2n12.(2)证明由于an·bn(n1)·2n，因此Kn2·213·22(n1)·2n，因此2Kn2·223·23n·2n(n1)·2n1，得Kn2·2122232n(n1)·2n1，因此Knn·2n1.那么cn，cn1cn>0，因此cn1>cn(nN)