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第二学期第一次课第五章 §3实与复二次型的分类1复、实二次型的标准形：定理 复数域上的任一二次型在可逆变数替换下都可化为标准形其中是的秩. 复二次型的标准形是唯一的.证明 复数域C上给定二次型) ()设它在可逆线性变数替换XTZ下变为标准型 这相当于在C上n维线性空间V内做一个基变换 使对称双线性函数f，在新基下的矩阵成对角形，即 设中有r个不为零。只要把的次序重新排列一下，就可以使不为零的排在前面，而后面nr个全为零。因此，不妨设f的标准型为 ，f的矩阵为A=(),有 因T可逆，rD=r(A).故D中主对角线上非零元素个数rrDrAf的秩。因为在复数域内任意一个数都可以开平方，所以可以对上述标准型再做如下可逆线性变数替换其中为的任一平方根： 于是f变作 定理 实数域上的任一二次型在可逆变数替换下都可化为标准形其中正平方项的个数称为的正惯性指数，负平方项的个数称为的负惯性指数称为的符号差，是的秩. 实二次型的标准形是唯一的.证明 在实数域R上给定二次型 ()设f的秩为r，由上一定理的证明可知，存在R上可逆线性变数替换XTZ，使f化为标准型 其中为非零实数。按同样的道理，不妨设前p个: 为正数，而余下rp个：为负数。因为在R内任何正数均可开平方，故可做R内可逆线性变数替换 于是二次型化作 其中.现在证标准型的唯一性。标准型中的r等于f的秩，是唯一确定的，我们只需证明正平方项的个数p也是唯一确定的就可以了。设f有两个标准型 按命题2.2的推论，这说明在R上n维线性空间V内存在一组基，使当时 在V内又存在一组基，使当时， 现令M=L()，那么当时， (不全为零)。于是。又令NL。那么当时，有 于是。这说明。按维数公式，我们有 这说明，即。由于p，q地位对称，同理应有，于是pq。第二学期第二次课2正定二次型：正惯性指数等于变元个数的实二次型称为正定二次型；正定二次型的实对称矩阵称为正定矩阵；设A为n阶实对称矩阵，称A的r阶子式为方阵的顺序主子式。定理 设是实二次型，那么下述四条等价：i 正定；ii 的矩阵，其中为可逆阵；iii 对应的二次型函数R;iv 的矩阵的所有顺序主子式都大于0.证明 由命题2.2知i与ii等价。i与ii等价有一个很有用的推论：正定矩阵的行列式大于零。iiii：在V的某一组基下的解析表达式为：假设， 显然有R。iiii：设的标准型为 那么上式为在V的某一组基下的解析表达式。假设r<n,那么0，与假设矛盾。故rn。而假设p<r=n,那么1，与假设矛盾。于是p=r=n,即f正定。iiv：设f在基下矩阵为A。令ML。把f限制在M内，在M的基下它的矩阵为 因。由i与ii的等价性的推论知 >0.(iv):对n做数学归纳法。n=1时结论是显然的.现设对n-1个变元的实二次型命题成立.考察V的子空间M=L(),f限制在M内,在基下的矩阵为 其各阶顺序主子式>0.按归纳假设, .于是, .于是M内存在一组基,使f在此基下的矩阵为.将添加 那么与.故f在下的矩阵为 B与A合同,有 于是 令那么为V的一组基,且在此基下,f的矩阵为,即A合同于,从而f正定.最后，我们指出，n元实二次型可分为如下5类：1） 正定二次型：正惯性指数秩n；2） 半正定二次型：正惯性指数秩；3） 负定二次型：负惯性指数秩n；4） 半负定二次型：负惯性指数秩；5） 不定二次型：其他。第二学期第三次课第六章 带度量的线性空间§1欧几里得空间设f是实线性空间V上的一个正定、对称的双线性函数,那么():=称为向量的内积；具有内积的实线性空间称为欧几里得空间简称欧氏空间；对任意定义为向量的长度或模.时,称为单位向量.命题1.1(柯西-布尼雅可夫斯基不等式) 对欧氏空间V内任意两个向量,有 证明 (+t,+t)0对任意tR成立,而 (+t,+t)=(,)t+2t()+,故的夹角<> <>=如果()=0,那么称正交.设 称G为内积()在基下的度量矩阵.G是实正定二次型在这组基下的矩阵,一定是实对称矩阵,并且是正定的.命题1.2 设欧氏空间V内s个非零向量两两正交,那么它们线性无关.证明 假设两边用作内积,得,(i=1,2,s).如果n维欧氏空间V内有n个两两正交的单位向量,那么由命题1.2可知它们是线性无关的,从而是V的一组基,称为V的一组标准正交基.显然,内积在标准正交基下的度量矩阵是单位矩阵E.设是V的一组基,内积在此基下的度量矩阵为G.G正定,故存在实可逆阵T,使.现令()=(就是一组标准正交基.这说明标准正交基总是存在的.设R上n阶方阵T满足 那么称T是正交矩阵. 是V的一组标准正交基,令 ()=()T那么是一组标准正交基当且仅当T是正交矩阵.证明 必要性:内积在不同基下的度量矩阵合同,故 即,T是正交矩阵.也是一组基.设内积在此基下的度量矩阵为G,那么,从而是标准正交基.命题1.3给出了正交矩阵的一个等价定义:正交矩阵就是两组标准正交基间的过度矩阵.下面我们介绍标准正交基的求法,这个方法通常叫做施密特(Schmidt)正交化方法。把问题提得一般一些:给定V中一个线性无关的向量组 要求作出一个新向量组 满足:(1) L()=L()(2) 两两正交.具体做法如下: 不难看出满足所要求的条件. 称为M的正交补.显然也是V的子空间. 设是维欧氏空间的子空间，那么.证明 设,那么由正交补的定义得(.这说明,先将它扩为V的一组基,已经是两两正交的单位向量,故先正交化,再单位化后保持不变,得到,.显然与M中向量都正交,故.于是 V=L()+L()V从而.推论 维欧氏空间中的任一两两正交的单位向量组都可以扩大为的标准正交基.证明 设M=L(),在中取出一组标准正交基,那么,就是V的一组标准正交基.最后介绍一下欧氏空间同构的概念.设是两个欧氏空间,如果存在的一个映射,满足(1) 是的线性空间的同构映射(2) 保持内积关系.那么称是欧氏空间的同构映射,称同构.第六章 §2欧氏空间中特殊的线性变换1正交变换设V是n维欧氏空间，A都有(AA=那么称A是V内的一个正交变换.正交变换的四个等价表述: A是n维欧氏空间V内的一个线性变换,那么以下命题等价: (1) A是正交变换;(2) A把V的标准正交基变为标准正交基;(3) A在标准正交基下的矩阵为正交矩阵;(4) 对任意,|A.证明 (1)(2):设是V的一组标准正交基,那么由正交变换的定义:|A|=1(A A)=(,)=0 (ij)于是, A, A A是V的标准正交基. (2)(3): A在下的矩阵A恰是到A, A A的过渡矩阵,从而A是正交矩阵. (3)(4):设A在标准正交基下的矩阵为A,设=,那么 (A, A)=()A,()A) = =开方即得|A.(4)(1):如果A保持向量长度不变,那么(A A)=,(A,A)=(A(),A()=(,),展开: (A A)+2(AA+(A,A)=+2+利用前两个式子,得(AA=.证明 显然E;如果A,B,那么(AB AB)=(B,B)=,故AB;假设A,那么显然可逆,于是EEAA AAA A,从而A.于是构成群.由于正交矩阵的行列式只可能为1或-1,我们以此对正交变换进展分类:如果正交变换A在某一组基下的矩阵的行列式为1,那么称A为第一类正交变换;如果行列式为-1,那么称A为第二类正交变换.第二学期第五次课第六章 §2欧氏空间中特殊的线性变换(续)命题 正交矩阵的特征多项式的根的绝对值等于1.证明 设C是正交矩阵A的特征多项式的根,那么0.齐次线性方程组(E-A)X=0在C内有非零解向量=显然A=1从而|=1.推论 正交矩阵的特征值只能是1.命题 设A是维欧氏空间上的正交变换，假设A的特征多项式有一个根e，那么在内存在互相正交的单位向量，使得A A 证明见课本22-23页.命题 维欧氏空间V上的正交变换A的不变子空间M的正交补仍是不变子空间.证明 取V的一组标准正交基,使是M的标准正交基,而是A,，A仍是V的标准正交基,与A(i=1,2,r) 可知A(j=r+1,n).于是仍是不变子空间.定理 设A是维欧氏空间上的正交变换，那么A在的某组标准正交基下的矩阵呈准对角形，其主对角线由和如下的二阶子阵组成： 证明 对n做数学归纳法.第二学期第六次课第六章 §3 对称变换设A是n维欧氏空间V内的一个线性变换，如果对V，都有A,=(, A)那么称A是V内的对称变换.命题 维欧氏空间V上的线性变换A是对称变换当且仅当它在标准正交基下的矩阵A是实对称矩阵.证明 设=()X, =()Y,那么 A,=,(, A)=由A,=(, A)可得.命题 实对称矩阵A的特征根都是实数.证明 设是A的特征多项式在C内的根.那么存在n维非零复向量X,使AX=,从而;另一方面, .得到.命题 维欧氏空间V上的对称变换A的属于不同特征值的特征向量必正交.证明 A=,A=,于是()=(A,)=(,A)=()由于,故()=0.命题 维欧氏空间上V的对称变换A的不变子空间M的正交补仍是不变子空间.证明 M, ,因AM,有 0=A,=(, A),这说明A,故是不变子空间.定理 设维欧氏空间上的对称变换某组标准正交基下的矩阵呈对角形.证明 对维数n做数学归纳法.推论 设是阶实对称矩阵，那么存在阶正交矩阵，使得为对角阵.证明 把 A看作V上对称变换A在一组标准正交基下的矩阵,由上述定理, A在另一组标准正交基下的矩阵是对角阵.设过渡矩阵为T,那么易证是对角阵.推论 元实二次型经过适当的正交线性变数替换可以化为标准形.提示: 元实二次型的矩阵是实对称矩阵,由上一推论可得.最后介绍用正交矩阵将实对称矩阵化成对角形的计算方法亦即用正交线性变数替换将元实二次型化为标准形的计算方法。1) 计算特征多项式,并求出他的全部根(两两不同者) ;2) 对每个,求齐次线性方程组(E-A)X=0的一个根底解系,.它们是解空间的一组基.3在欧氏空间R内将,正交化,再单位化,得的一组标准正交基.此时 (j=1,2,) 即为V到的过渡矩阵,其列向量组应为 此时相应的对角矩阵D为 第二学期第七次课第六章 §3 酉空间V上的一个函数(,),如果满足:(i) (,)对第一个变量是线性的;(ii) ()=;(iii) V,(,)0,且(,)=0=0.那么称()为向量的内积，具有内积的复线性空间称为酉空间欧氏空间在复线性空间上的推广.|=称为酉空间中向量的长度, |=1时,称为单位向量.()=0时,称二向量正交.同欧氏空间类似,我们有如下命题:命题 酉空间中两两正交的非零向量组是线性无关的. 类似地,我们把n维酉空间V中由n个两两正交的单位向量组成的向量组称为V的一组标准正交基.标准正交基的求法: 施密特(Schmidt)正交化 设U是n阶复矩阵,如果,那么称U是一个酉矩阵. 是n维酉空间V的一组标准正交基,令 ()=()U那么是一组标准正交基当且仅当U是酉矩阵.证明 必要性:假设是标准正交基,那么()=.而U的第j个列向量为在下的坐标,故 ()=这表示,U为酉矩阵.充分性:假设U为酉矩阵,那么 ()=是标准正交基.设M是n维酉空间V的一个子空间,定义 称为M的正交补.显然也是V的子空间.命题 设是维酉空间的子空间，那么；证明 同欧氏空间.推论 维酉空间中的任一两两正交的单位向量组都可以扩大为的标准正交基.设是两个酉空间,如果存在的一个映射,满足(1) 是的线性空间的同构映射(2) 保持内积关系.那么称是酉空间的同构映射,称同构.酉空间V上的线性变换U如果满足(U,U)=()(对一切V),那么称U是一个酉变换正交变换在酉空间上的推广.酉变换的四个等价表述:命题 U是n维酉空间V上的线性变换,那么以下命题等价1) U是一个酉变换;2) V,有|U|=|;3) U把标准正交基变为标准正交基;4) U在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.证明 1)2).显然.2)3) 设是标准正交基,由假设知只用证(UU)=0 (ij时).V,有(U, U)=| U|=| |=(,).以=k+代入上式,在分别令k=1与I,可得(UU)=03)4) 由命题3.2可得.4)1) 设U在标准正交基U, U=,=,那么 U=U+U U=U+U于是 (U,U)=(,)即U是酉变换.命题 维酉空间上的酉变换的全体关于映射的复合构成群，称为维酉变换群，记为U(n).证明 与正交变换群类似.平行地，阶酉矩阵的全体对于矩阵的乘法构成群，称为阶酉群，也记为 U(n).第二学期第八次课设A是n维酉空间V内的线性变换,如果V内的线性变换A满足,V,有(A,)=(,A)那么称A是A的共轭变换. A为A的共轭变换当且仅当它们在标准正交基下的矩阵互为共轭转置. 共轭变换的五条性质: 1)E=E 2)(A)= A 3)(kA)=A 4)(A+B)=A+B 5)(AB)=BA如果A = A,那么称A是一个厄米特变换.设A是n阶复矩阵,如果=A,那么称A是一个厄米特矩阵.n个复变量的二次齐次函数 ()称为一个厄米特二次型.对称变换、实对称矩阵、实二次型的推广。酉变换和厄米特变换都是下面的正规变换的特殊情形.如果AA= A A,那么称A为一个正规变换.将酉变换的性质推广，有一般的结果：命题 酉空间V上的线性变换A的不变子空间M的正交补是共轭变换A的不变子空间.证明 M, ,有 (,A)=(A,)=0这说明A.命题 酉空间上的正规变换A的属于特征值的特征向量的是共轭变换A的属于特征值的特征向量.证明 按假设,有A=那么 (A-,A-)=(A-E), A-) =(,(A-E)(A-E) =(,(A-E)(A-E) =(,0)=0从而A=.命题 酉空间上的正规变换的属于不同特征值的特征向量互相正交.证明 设A=,A=那么 (,)=(A,)=(,A)=(,)=(,)必有(,)=0.定理 维酉空间上的正规变换在某组标准正交基下的矩阵是对角阵.证明 对维数n做数学归纳法.推论 维酉空间上的酉变换在某组标准正交基下的矩阵是对角阵.命题 厄米特变换的特征值都是实数.证明 假设A=,那么 =A=A=是实数.推论 维酉空间上的厄米特变换在某组标准正交基下的矩阵是实对角阵.定理 厄米特二次型在适当的酉变数替换下可以化为标准形其中都是实数.证明 f的矩阵A是一个厄米特矩阵,于是存在酉矩阵U,使 为实对角矩阵.令X=UY,即可.推广欧氏空间上的度量的概念，用以统一处理洛仑兹变换和辛变换数域上的维线性空间的任一满秩双线性函数都可以定义上的度量以与一组基的度量矩阵；在此度量下同样可定义一个线性变换的共轭变换和正交变换:设A是V上线性变换,如果存在线性变换A,使 f(A,)=f(,A) ,V那么称A是A的(关于f的)共轭变换. 如果线性变换A满足 f(A,A)=f(,) ,V那么称A为(关于f的)正交变换.在给定的基度量矩阵为下一个线性变换A矩阵为的共轭变换的矩阵，这是因为f(A,)=f(,A),从而如果A是正交变换，A的共轭变换等于A。(因为f(,)=f(A,A)=f(,AA)故f(,(AA-E)=0,由f非退化知AA= E.).第二学期第九次课第六章 §4四维时空空间与辛空间在狭义相对论中,用三个空间坐标和一个时间坐标来刻画一个物体的运动,称为四维时空空间.在R上规定一个特殊的度量f()= (其中=(,=(),称为四维时空空间的度量.令 在R内取定基 1，0，0，0， 0，1，0，0， 0，0，1，0， 0，0，0，1设(，)X, =(，)Y,那么f()=.如果R上的线性变换A关于上述内积是正交变换,那么称为广义洛仑兹变换. 设A是四维时空空间R上的一个线性变换,那么有:(i)A为广义洛仑兹变换它在基，下的矩阵A满足;(ii)实数域上4阶方阵A满足它满足;(iii)如果A为广义洛仑兹变换,设它在基，下的矩阵为,那么|1. 证明 (i) A为广义洛仑兹变换f(A,A)=f(,),而这又等价于. (ii)假设,那么,这说明,两边左乘I,得.反之,假设,那么得. (iii) 按(i),有,考察两边方阵的第四行第四列元素,得 即.向量( 如果满足 那么那么称为类时向量,假设还有那么称为正类时向量.假设,那么称A为洛仑兹变换.命题 广义洛仑兹变换是洛仑兹变换的充分必要条件是它在正类时向量上的作用封闭.证明 设A在基，下的矩阵为A,如果为正类时向量,那么A在，下的坐标为 因A为广义洛仑兹变换,故 =f(A,A)=f(,) =<0即A 由于,比拟两边第四行第四列元素,有 由柯西-布尼雅可夫斯基不等式,得 ()() <(即.现因为正类时向量,故.由此可知 命题得证.命题 洛仑兹变换所组成的集合L关于映射的复合构成群称为洛仑兹群.证明 (i)显然EL;(ii)假设A,BL,对R有 (AB,AB)=(B,B)=(,)故AB为一正类时向量,那么B是正类时向量,同理,AB也是正类时向量,故ABL. (iii)设AL,显然A可逆, 对R有 (,)=(AA,AA)=(A,A)于是A是广义洛仑兹变换. 现设为一正类时向量,假设AAL,故A(A)=不是正类时向量,矛盾. 由(i)、ii、iii可知,L是一个群.定义 设V是复数域C上n=2m维线性空间,f(的内积为()=f()具有这种内积的线性空间称为辛空间.假设()=0,那么称正交.设 = (i,j=1,2,，n)称为这组基的度量矩阵，它就是f在这组基下的矩阵.命题 设V是n=2m维辛空间,那么在V内存在一组基,其度量矩阵为,其中这样的基称为第一类辛基. 证明 对m作数学归纳法. 推论 设V是n=2m维辛空间,那么在V内存在一组基,其度量矩阵为 第二类辛基. 证明 设 通过计算,不难验证即为所求的基.定义 设V是n=2m维辛空间,AA满足(A,A)=(,) ,V那么称A是V内一个辛变换(偶数维辛空间上的正交变换.命题 偶数维辛空间上的线性变换A是辛变换的充分必要条件是A可逆且它的逆等于它的共轭变换.证明 如果A是辛变换,那么V,有 (A,A)=(,AA)=(,)从而(,(AA-E)=0,由于内积是满秩的,故(AA-E)=0对AA=E,A可逆且它的逆等于它的共轭变换.反之,假设A可逆且它的逆等于它的共轭变换,那么有 (A,A)=(,AA)=(,)A是辛变换. 设A是辛空间V内一个辛变换,又设 A在此组基下的矩阵为A,那么有.满足此条件的n=2m阶复方阵A称为一个2m阶辛矩阵.命题 维辛空间上所有辛变换构成群S，称为维辛变换群，所有的阶辛矩阵的全体构成群，称为阶辛群。证明 (i)显然ES;(ii)如果A,BS,那么(AB,AB)=(B,B)=(,),从而ABS.(iii) 如果AS,那么(,)=(AA,AA)=(A,A),从而AS.于是S是一个群.阶辛矩阵的全体构成群的证明作为练习.第二学期第十次课第七章 线性变换的Jordan标准型§1幂零线性变换的Jordan标准型A是数域K上n维线性空间V上的线性变换,如果存在正整数m,使A=0,那么称A是一个幂零线性变换.对数域K上n阶方阵A, 如果存在正整数m,使=0,那么称A为幂零矩阵.命题 幂零线性变换的特征值等于0.证明 设是V上幂零线性变换A的特征值,那么存在V中非零向量,使得 A=假设=0,那么 A=0从而=0, =0.设A,那么存在最小的正整数k,使得A0,但A=0.可以证明:向量组,A, A是线性无关的.令I()=L(,A, A),那么I()为A的一个不变子空间,且dim I()=k.称I()为A的限制在I()中,在基A,A,下的矩阵为 定义 形如 ,的准对角矩阵称为Jordan形矩阵,而主对角线上的小块方阵称为Jordan块.命题 数域上的维线性空间V上的幂零线性变换A在某组基下的矩阵可以成为Jordan形的充分必要条件是可以分解为A的循环不变子空间的直和.证明 必要性 设A在某组基下的矩阵可以成为Jordan形,那么V可分解为A的不变子空间的直和: 且在内存在一组基,使A限制在内在此基下的矩阵为 这说明=I(),即为A的循环不变子空间. 充分性 假设 ,在每个I()内选取基A,，A,.那么它们合并为V的一组基,在此组基下A的矩阵即为Jordan形矩阵.定理 数域上的维线性空间V上的幂零线性变换A在某组基下的矩阵可以成为Jordan形。证明 只用证V可以分解为A的循环不变子空间的直和.对n作数学归纳法.第二学期第十一次课第七章 §2一般线性变换的Jordan标准型定义 形如 ,的准对角矩阵称为Jordan形矩阵,而主对角线上的小块方阵称为Jordan块.定理 设A是数域上的维线性空间上的线性变换. 如果A的特征值全属于，那么A在的某组基下的矩阵为Jordan形，并且在不计Jordan块的意义下Jordan形是唯一的.证明:对n作数学归纳法.定理 设是数域上的阶方阵. 如果的特征值全属于，那么在上相似于Jordan形矩阵，并且在不计Jordan块顺序的意义下Jordan形是唯一的.证明:此定理就是上一定理用矩阵的语言表达出来.Jordan 标准形的计算方法:设A是数域上的维线性空间上的线性变换,为求出A的Jordan标准型(假设存在),可按如下步骤进展:1) 先求A在的一组基下的矩阵A; 2) 求出A的全部不同特征值(假设都属于数域K);3) 对每个,令,由公式 计算出以为特征值,阶为lA的Jordan形J的特征多项式容易看出:以为特征值的Jordan块的阶数之和等于特征值的重数,由此可知是否已找出全部特征值为的Jordan块;或者从等于J中以为特征值而阶l+1的Jordan块的个数这一点作出判断; 4)将所获得的Jordan块按任意次序排列成准对角形J,即为所求.第二学期第十二次课定义 设A是数域K上一个n阶方阵,g(x)是K上一个m次多项式.如果g(A)=0,那么g(x)称为方阵A的一个化零多项式.HamiltonCayley定理 设A是数域K上的n阶方阵,f是A的特征多项式,那么f(A)=0.证明 A在C内相似于Jordan形矩阵J,即有C上可逆阵T使.显然对任意正整数k,有 ,的重数Jordan块J的阶数.现在 对每个i,有f(J)=0,于是f(J)=0.设A是数域K上一个n阶方阵,A的首项系数为1的最低次化零多项式称为A的最小多项式.命题 设A是数域K上的n阶方阵, C上的n阶方阵,它在C内的最小多项式为(x),那么(x)与(x)次数一样.证明 (x)是A在C内的一个化零多项式,从而其次数应大于或等于(x),反之,设 ,(C, )那么应有=0设,那么上式可写成 上式是m+1个未知量C内有非零解(即(x)不全为零的系数).于是它在K内也有非零解.设,此时不妨设.于是有 ()故是A在K内一化零多项式,故mk(x)的次数.命题得证. 这个命题说明:A在K内的任一最小多项式也是A在C内的最小多项式.所以,只要把A看作C上的n阶方阵,决定出它在C内的所有最小多项式,那么A在K内的最小多项式也在其中了. 由方阵的Jordan 标准形可以用如下方法确定其最小多项式:命题 C内全部互不一样的特征值为,A在C内的Jordan标准型J中以为特征值的Jordan块的最高阶数为,那么A在K内的最小多项式是唯一的,它就是 证明 设A在C内的Jordan标准形为 ,那么有复可逆方阵T,使.对任意复系数多项式g(x),由于 =0故g(J)=0当且仅当所有g()=0.而g()=0当且仅当为g(x)的零点,且其重数的阶.设A的(也是J的)全部互不一样的特征值为,而J中以为特征值的Jordan块的最高阶数为,那么在C内,g(x)应表示为 其中,两两不同,且 (i=1,2,k).反之,假设g(x)满足上述条件,那么所有g( 这说明J的最小多项式是唯一的,从而A在K内的最小多项式也唯一,即为.第二学期第十四次课第八章 有理整数环§1 有理整数环的根本概念8.1.1 有理整数环的根本概念全体整数所组成的集合中有两种运算：加法和乘法，而且它们满足下面运算法那么：1） 加法满足结合律；2） 加法满足加换律；3） 有一个数0，是对任意整数，；4） 对任意整数，存在整数，使；5） 乘法满足结合律；6） 有一个数1，是对任意整数，7） 加法与乘法满足分配律：；8） 乘法满足加换律；9） 无零因子：如果，那么。我们把满足上述九条运算性质的代数系统称为有理整数环，并用代表它。“整除、“互素、“倍数、“因数、“最大公因数、“最小公倍数等概念在小学和中学已介绍，在这里就不再赘述。现在，我们从抽象的角度对“环这一代数对象作一概述。设是一个非空集合。如果在的元素之间定义了一种运算，称做加法，即对中任意两元素，都按某法那么对应于内的一个唯一确定的元素，记作，且满足如下运算法那么：（i） 结合律：；（ii） 中有一元素0，是对一切；（iii） 对中任一元素，有；（iv） 交换律：。又设内另有一种运算称作乘法，即对中任意两个元素，都按某个法那么对应于内一个唯一确定的元素，记作，且满足如下运算法那么：（v） 结合律：；（vi） 加法与乘法有两方面的分配律：那么成为一个环。如果一个环的乘法也满足交换律，那么称为交换环；如果环内存在一个元素，使，那么称为的单位元素，称为有幺元的环；如果环内存在两个非零元，使，那么称为左右零因子，这时称为有零因子环；如果环至少包含两个元素，可交换，有幺元，无零因子，那么称为一个整环；如果是一个整环，且对内任一非零元素都有逆元，那么称为一个域。8.1.2 整除性理论命题带余除法 对任意，唯一的存在两个整数，满足：证明 存在性 如果，考虑整数序列那么必落在该序列中的某两项之间，从而必存在，使得。令，那么有如果，我们有唯一性 设另外有使，那么进而得到|。如果，那么等式的左端，但另一方面，即可知等式的右端。这个矛盾说明，从而。定理得证。用辗转相除法求二整数的最大公因子给定整数且，那么由得。所以。同理可证，故。给定整数，做带余除法，。假设，那么。假设，那么再做带余除法因为，所以经有限步后必有。这时，这种算法叫Euclid算法，也叫辗转相除法。8.1.3 有理整数环的理想定义8.1理想的定义 设是的一个非空子集，且满足以下条件：（i） 假设，那么；（ii） 假设，那么对任意有，那么称为的一个理想。显然，单由0组成的子集0与自身都是理想，这两个理想称作平凡理想，0称为零理想。的其他理想称为非平凡理想。主理想的定义 任给，定义那么称为由生成的主理想。显然，(0)=0,(1)= 为平凡理想，其他理想均为非平凡主理想。关于理想，我们有以下简单的性质：1且；2。命题 有理整数环的理想都是主理想，即设是的一个理想，那么存在非负整数，使。证明 假设是零理想0，取=0即可。现设，于是中必有非零之整数，现令为中的最小正整数，他显然存在且唯一。此时对任意都有，于是。反之，设为中任意整数，按带余除法，存在，使。又因，由的最小性知。故，即。于是。主理想整环PID的定义 设为一交换环，如果中的理想皆为主理想，那么称为主理想环。如果同时又为整环即环至少包含两个元素，交换，有幺元，无零因子，那么称为主理想整环。现在我们来看一下理想的性质：给定的两个理想，那么1） 它们的交集也是的理想，称为此两理想的交；2） 定义那么也是的理想，称为的和。我们不难得到关于理想的两个重要结论：结论1 设是两个非零整数，是的最小公倍数，那么。结论2 设是两个不全为零的整数，那么，其中。作为结论2的推论，我们有一个重要的结果：命题 设是两个不全为零的整数，那么下面命题互相等价：i互素，即；ii有，使；(iii).8.1.4 因子唯一分解定理唯一分解整环的定义设为一整环即环至少包含两