各高校自主招生数学试题.docx
自主招生试题特点：试题难度高于高考，有的达到竞赛难度，试题灵活，毫无规律可寻，但各个学校有自己命题风格。一般说来，各高校对后续性的知识点：如，函数、不等式、排列组合等内容相对占比例稍高。应试策略：1、注重基础：一般说来，自主招生中，基础题目分数比例大约占60-70% 2、适当拓展知识面，自主招生中，有不少内容是超出教材范围 3、对考生自己所考的院校历届真题争取尽量弄到手，并进行分析。方程的根的问题：1. 已知函数，且没有实数根那么是否有实数根？并证明你的结论（08交大）2. 设，试证明对任意实数：（1）方程总有相同实根；（2）存在，恒有（07交大）3.（06交大）设4. （05复旦）在实数范围内求方程：的实数根5.（05交大）的三根分别为a,b,c，并且a,b,c是不全为零的有理数，求a,b,c的值6. 解方程：求方程（n重根）的解(09交大)凸函数问题1. (2009复旦)如果一个函数f(x)在其定义区间内对任意x，y都满足，则称这个函数时下凸函数，下列函数（1） （2）（3）（）（4）中是下凸函数的有-。A(1)(2) B. (2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)2. （06复旦）设x1,x2（0，），且x1x2，下列不等式中成立的是： (1)（tanx1+tanx2）>tan; (2) （tanx1+tanx2）<tan; (3)（sinx1+sinx2）>sin; (4) （sinx1+sinx2）<sinA (1),(3) B(1),(4) C(2),(3) D(2),(4)3.（09，清华）证明：柯西不等式1(03交大)已知，x+2y1，则的最小值是_2. 已知2x+3y+4z=10，求x2+y2+z2的最小值。3P为ABC内一点，它到三边BC、CA、AB的距离分别为，S为ABC的面积，求证：（09南大）4. 给定正整数n和正常数a，对于满足不等式的所有等差数列a1,a2,a3,和式的最大值=_.（07复旦）A.; B.; C.; D.5. （07复旦）当a和b取遍所有实数时，则函数所能达到的最小值为_.A.1; B.2; C.3; D.4.基础题1. 求的单调区间及极值.(2007年清华)2.设正三角形边长为，是的中点三角形，为除去后剩下三个三角形内切圆面积之和.求.(2007年清华)3. 圆内接四边形ABCD中，AB1，BC2，CD3，DA4，求ABCD的外接圆半径(北大2009)4. 已知一公差为正整数无穷项等差数列，其中有3项：13，25，41求证：2009为数列中一项（2009，北大）5. 求最小正整数，使得为纯虚数，并求出(06,清华)6. 已知为非负数，求的最值(06,清华)7. 已知为等差数列，为等比数列，求的值(06,清华)8. 比较及的大小并说明理由（04复旦） 9. 求证：边长为1的正五边形对角线长为（08北大）.10. 四面体ABCD中,AB=CD,AC=BD,AD=BC。（1）求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形。（2）设底面为BCD，设另外三个面及面BCD所形成的二面角为，。求证：cos+cos+cos=1。11.（09清华）（1）证明：（2）已知x，y，z>0，a，b，c是x，y，z的一个排列。求证：。12. 求所有3项的公差为8的自然数数列，满足各项均为素数。13. 求所有满足的非直角三角形（这里表示不超过的最大整数）(2009年南京大学自主招生试题)14. 求由正整数组成的集合，使中的元素之和等于元素之积(06，清华)。15. 的整数部分为A，小数部分为B。（1）求A,B； （2）求；（3）求。（09，清华）16（09复旦）.定义全集X的子集AX的特征函数为这里，表示A在X中的补集。那么，对A，BX，下列命题中不准确的是_.AAB，XB，Xc. ，XD. +，X17（09复旦）.半径为R的球内部装4个有相同半径r的小球，则小球半径r的最大可能值是_。A B. C. D中等题18. 给出一个整系数多项式，使有一个根为（2009清华）19.通信工程中常用n元数组表示信息，其中或1，设，表示和中相对应的元素不同的个数（）问存在多少个5元数组 使得；（）问存在多少个5元数组 使得；（）令，求证：（08交大）20证明：若f（f（x）有唯一不动点，f（x）也有唯一不动点（09交大）21. 已知，ABC是正三角形，且B、C在双曲线一支上.(1)求证B、C关于直线对称；(2)求ABC的周长.(07,清华)22. 是否存在实数x，使均为有理数？(09，北大)23对于集合，称M为开集，当且仅当，使得.判断集合及是否为开集，并证明你的结论.(2007年清华)。 25定义在R上的函数， n=2,3,(1) 求；(2) 是否存在常数M>0，有（05复旦）26已知线段长度为，两端均在抛物线上，试求的中点到轴的最短距离和此时点的坐标（07交大）27有限条抛物线及其内部能否覆盖整个平面？并证明。（抛物线内部指焦点所在的一侧）（09清华）28 数列满足，且，其中求证：； 求证：。29.(03交大)求证：为最简分式30.（04复旦）若存在，使任意（为函数的定义域），都有，则称函数有界问函数在上是否有界？31对于集合，称M为开集，当且仅当，使得. 判断集合及是否为开集，并证明你的结论.(2007年清华)。32已知六边形AC1BA1CB1中AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,A+B+C=A1+B1+C1 求证：ABC 面积是六边形AC1BA1CB1的一半（08，北大）较难题33定义闭集合S，若，则，(1) 举一例，真包含于R的无限闭集合(2) 求证对任意两个闭集合S1,S2R，存在，但（03复旦）34排球单循坏赛，南方球队比北方球队多9支，南方球队总得分是北方球队的9倍。 求证：冠军是一支南方球队（胜得1分 败得0分）(08北大)35已知满足：对实数有，且，求证恒为零 (05清华)(可用以下结论：若，为一常数，那么)36已知对x，恒成立，求a+b的最大值(09北大)37某次考试共有333名学生做对了1000道题，做对3道及以下为不及格，6道及以上为优秀，考场中每人做题数目不全同奇偶问：不及格者及优秀者哪个多？(09北大)38. 已知(08北大)39。证明:正整数列是常数列的充要条件是其满足性质p:对数列中任意2n项,存在一种方法将这2n项分为两类(每类n个数)，使得两类数之和相等.（09清华）406 / 6
