高考数学(理)一轮复习讲义13.1第1课时 绝对值不等式.docx

§13.2不等式选讲第1课时绝对值不等式最新考纲考情考向分析1.理解绝对值的几多何意思，并理解以下不等式成破的几多何意思及取等号的条件：|ab|a|b|(a，bR)；|ac|ab|bc|(a，b，cR).2.会运用绝对值的几多何意思求解以下典范的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.本节题目稀有的是解绝对值不等式、运用不等式恒成破求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是调查的抢手求解的一般方法是去丢掉绝对值，也可以借助数形结合求解在高考中要紧以解答题的方法调查，难度为中、高级.1绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a0a<0|x|<a(a，a)|x|>a(，a)(a，)(，0)(0，)R(2)|axb|c(c>0)跟|axb|c(c>0)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c(c>0)跟|xa|xb|c(c>0)型不等式的解法运用绝对值不等式的几多何意思求解，表达了数形结合的思想；运用“零点分段法求解，表达了分类讨论的思想；通过构造函数，运用函数的图象求解，表达了函数与方程的思想2含有绝对值的不等式的性质(1)假设a，b是实数，那么|a|b|a±b|a|b|.(2)假设a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成破不雅念方法微思索1绝对值三角不等式的向量方法及几多何意思是什么？提示当a，b不共线时，|a|b|>|ab|，它的几多何意思的确是三角形的单方之跟大年夜于第三边2用“零点分段法解含有n个绝对值的不等式时，需把数轴分成几多段？提示一般地，n个绝对值对应n个零点，n个零点应把数轴分成(n1)段题组一思索辨析1揣摸以下结论是否精确(请在括号中打“或“×)(1)假设|x|>c的解集为R，那么c0.(×)(2)不等式|x1|x2|<2的解集为.()(3)对|ab|a|b|当且仅当a>b>0时等号成破(×)(4)对|a|b|ab|当且仅当|a|b|时等号成破(×)(5)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成破()题组二讲义改编2不等式3|52x|<9的解集为()A2,1)4,7)B(2,1(4,7C(2，14,7)D(2,14,7)答案D分析由题意得即解得不等式的解集为(2,14,7)3求不等式|x1|x5|<2的解集解当x1时，原不等式可化为1x(5x)<2，4<2，不等式恒成破，x1；当1<x<5时，原不等式可化为x1(5x)<2，x<4，1<x<4；当x5时，原不等式可化为x1(x5)<2，该不等式不成破综上，原不等式的解集为(，4)题组三易错自纠4假设不等式|kx4|2的解集为x|1x3，那么实数k_.答案2分析|kx4|2，2kx42，2kx6.不等式的解集为x|1x3，k2.5已经清楚a，b，c是正实数，且abc1，那么的最小值为_答案9分析把abc1代入到中，得332229，当且仅当abc时，等号成破题型一绝对值不等式的解法例1(1)解不等式x|2x3|2.解原不等式可化为或解得x5或x.综上，原不等式的解集是.(2)(2017·世界)已经清楚函数f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.当a1时，求不等式f(x)g(x)的解集；假设不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求a的取值范围解当a1时，不等式f(x)g(x)等价于x2x|x1|x1|40.(*)当x<1时，(*)式化为x23x40，无解；当1x1时，(*)式化为x2x20，从而1x1；当x>1时，(*)式化为x2x40，从而1<x.因而f(x)g(x)的解集为.当x1,1时，g(x)2，因而f(x)g(x)的解集包含1,1等价于当x1,1时，f(x)2.又f(x)在1,1上的最小值必为f(1)与f(1)之一，因而f(1)2且f(1)2，得1a1.因而a的取值范围为1,1思想升华解绝对值不等式的全然方法(1)运用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值标志的一般不等式(2)当不等式中间均为正号时，可通过单方平方的方法，转化为解不含绝对值标志的一般不等式(3)运用绝对值的几多何意思，数形结合求解跟踪训练1已经清楚函数f(x)|x1|2|xa|，a>0.(1)当a1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)假设f(x)的图象与x轴围成的三角形的面历大年夜于6，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)>1化为|x1|2|x1|1>0.当x1时，不等式化为x4>0，无解；当1<x<1时，不等式化为3x2>0，解得<x<1；当x1时，不等式化为x2>0，解得1x<2.因而f(x)>1的解集为.(2)由题设可得，f(x)因而函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分不为A，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1)2>6，故a>2.因而a的取值范围为(2，)题型二运用绝对值不等式求最值例2(1)对任意x，yR，求|x1|x|y1|y1|的最小值；(2)关于实数x，y，假设|x1|1，|y2|1，求|x2y1|的最大年夜值解(1)x，yR，|x1|x|(x1)x|1，当且仅当0x1时等号成破，|y1|y1|(y1)(y1)|2，当且仅当1y1时等号成破，|x1|x|y1|y1|123，当且仅当0x1，1y1同时成破时等号成破|x1|x|y1|y1|的最小值为3.(2)|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大年夜值为5.思想升华求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种(1)运用绝对值的几多何意思(2)运用绝对值三角不等式，即|a|b|a±b|a|b|.(3)运用零点分区间法跟踪训练2已经清楚a跟b是任意非零实数(1)求的最小值；(2)假设不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成破，务虚数x的取值范围解(1)4，当且仅当(2ab)(2ab)0时等号成破，的最小值为4.(2)假设不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成破，即|2x|2x|恒成破，故|2x|2x|min.由(1)可知，的最小值为4，x的取值范围即为不等式|2x|2x|4的解集解不等式得2x2，故实数x的取值范围为2,2题型三绝对值不等式的综合运用例3(2017·世界)已经清楚函数f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)假设不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范围解(1)f(x)当x<1时，f(x)1无解；当1x2时，由f(x)1，得2x11，解得1x2；当x>2时，由f(x)1，解得x>2，因而f(x)1的解集为x|x1(2)由f(x)x2xm，得m|x1|x2|x2x.而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|2，当x时，|x1|x2|x2x.故m的取值范围为.思想升华(1)处置与绝对值有关的综合征询题的关键是去丢掉绝对值，化为分段函数来处置(2)数形结合是处置与绝对值有关的综合征询题的常用方法跟踪训练3设函数f(x)x|xa|.(1)当a2019时，求函数f(x)的值域；(2)假设g(x)|x1|，求不等式g(x)2>xf(x)恒成破时a的取值范围解(1)由题意得，当a2019时，f(x)由于f(x)在2019，)上单调递增，因而f(x)的值域为2019，)(2)由g(x)|x1|，不等式g(x)2>xf(x)恒成破，知|x1|xa|>2恒成破，即(|x1|xa|)min>2.而|x1|xa|(x1)(xa)|1a|，因而|1a|>2，解得a>1或a<3.即a的取值范围是(，3)(1，)1关于任意实数a，b，已经清楚|ab|1，|2a1|1，且恒有|4a3b2|m，务虚数m的取值范围解由于|ab|1，|2a1|1，因而|3a3b|3，因而|4a3b2|3a3b|36，即|4a3b2|的最大年夜值为6，因而m|4a3b2|max6.即实数m的取值范围为6，)2已经清楚函数f(x)|x1|x2|，g(x)x2xa.(1)当a5时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)假设不等式f(x)g(x)解集包含2,3，求a的取值范围解(1)当a5时，不等式f(x)g(x)等价于|x1|x2|x2x5，当x<1时，式化为x2x20，无解；当1x2时，式化为x23x40，得1x2；当x>2时，式化为x2x80，得2<x，因而f(x)g(x)的解集为.(2)当x2,3时，f(x)3，因而f(x)g(x)的解集包含2,3，等价于x2,3时g(x)3，又g(x)x2xa在2,3上的最大年夜值为g(3)6a，因而g(3)3，即6a3，得a3，因而a的取值范围为3，)3已经清楚f(x)|2xa|x2|.(1)当a2时，求不等式f(x)4的解集；(2)假设关于x的不等式f(x)3a23|2x|恒成破，求a的取值范围解(1)当a2时，由f(x)4，得2|x1|x2|4，当x1时，由2(1x)(2x)4，得4x1；当1<x<2时，由2(x1)(2x)4，得1<x<2；当x2时，由2(x1)(x2)4，得2x4.综上所述，f(x)4的解集为4,4(2)由不等式f(x)3a23|2x|，得|2xa|x2|3|x2|3a2，即|2xa|2x4|3a2，即关于x的不等式|2xa|2x4|3a2恒成破，而|2xa|2x4|(2xa)(2x4)|a4|，当且仅当(2xa)(2x4)0时等号成破，因而|a4|3a2，解得a43a2或a43a2，解得1a或a.因而a的取值范围是.4已经清楚函数f(x)|x1|.(1)解关于x的不等式f(x)1x2；(2)假设关于x的不等式f(x)<ax2|x1|的解集非空，务虚数a的取值范围解(1)由题意f(x)1x2可知，|x1|1x2，即x11x2或x1x21，因而x2x20或x2x0，即x2或x1或x1或x0，故原不等式的解集为x|x0或x1(2)f(x)<ax2|x1|等价于a>x2|x1|x1|，由于x2|x1|x1|因而当x1时，x2|x1|x1|的最小值为1.因而实数a的取值范围为(1，)5已经清楚函数f(x)|x2|2x1|.(1)解不等式f(x)2；(2)假设bR，不等式|ab|ab|f(x)对xR恒成破，求a的取值范围解(1)f(x)原不等式等价于或或解得x1或x<2或x2，综上所述，不等式的解集是.(2)bR，|ab|ab|f(x)对xR恒成破等价于(|ab|ab|)maxf(x)max.由于|ab|ab|(ab)(ab)|2|a|，因而|ab|ab|的最大年夜值为2|a|；当x时，f(x)；当<x<2时，5<f(x)<；当x2时，f(x)5，因而f(x)max，因而由原不等式恒成破，得2|a|，解得a或a.即a的取值范围是.6设f(x)|x1|2x1|.(1)求不等式f(x)x2的解集；(2)假设不等式称心f(x)|x|(|a2|a1|)对任意实数(x0)恒成破，务虚数a的取值范围解(1)按照题意可知，原不等式为|x1|2x1|x2，等价于或或解得x<1或1x或x>.综上可得不等式f(x)x2的解集为R.(2)不等式f(x)|x|(|a2|a1|)等价于(|a2|a1|)，由于3，当且仅当0时取等号，由于(|a2|a1|)，因而|a2|a1|6，解得a或a，故实数a的取值范围为.