高考数学(理)一轮复习讲义9.5 第2课时 直线与椭圆.docx

第2课时直线与椭圆题型一直线与椭圆的位置关系1假设直线ykx1与椭圆1总有大年夜众点，那么m的取值范围是()Am>1Bm>0C0<m<5且m1Dm1且m5答案D分析方法一由于直线ykx1恒过点(0,1)，因此点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，那么0<1且m5，故m1且m5.方法二由消去y拾掇得(5k2m)x210kx5(1m)0.由题意知100k220(1m)(5k2m)0对一切kR恒成破，即5mk2m2m0对一切kR恒成破，由于m>0且m5，m1且m5.2已经清楚直线l：y2xm，椭圆C：1.试征询当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的大年夜众点；(2)有且只需一个大年夜众点；(3)不大年夜众点解将直线l的方程与椭圆C的方程联破，得方程组将代入，拾掇得9x28mx2m240.方程根的判不式(8m)24×9×(2m24)8m2144.(1)当>0，即3<m<3时，方程有两个差异的实数根，可知原方程组有两组差异的实数解这时直线l与椭圆C有两个不重合的大年夜众点(2)当0，即m±3时，方程有两个一样的实数根，可知原方程组有两组一样的实数解这时直线l与椭圆C有两个互相重合的大年夜众点，即直线l与椭圆C有且只需一个大年夜众点(3)当<0，即m<3或m>3时，方程不实数根，可知原方程组不实数解这时直线l与椭圆C不大年夜众点思想升华研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线跟椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程形成的方程组解的个数(2)关于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线跟椭圆有交点题型二弦长及中点弦征询题命题点1弦长征询题例1歪率为1的直线l与椭圆y21订交于A，B两点，那么|AB|的最大年夜值为()A2B.C.D.答案C分析设A，B两点的坐标分不为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，那么x1x2t，x1x2.|AB|x1x2|···，当t0时，|AB|max.命题点2中点弦征询题例2已经清楚P(1,1)为椭圆1内肯定点，通过P引一条弦，使此弦被P点平分，那么此弦所在的直线方程为_答案x2y30分析方法一易知此弦所在直线的歪率存在，设其方程为y1k(x1)，弦所在的直线与椭圆订交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)由消去y得，(2k21)x24k(k1)x2(k22k1)0，x1x2，又x1x22，2，解得k.经检验，k称心题意故此弦所在的直线方程为y1(x1)，即x2y30.方法二易知此弦所在直线的歪率存在，设歪率为k，弦所在的直线与椭圆订交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么1，1，得0，x1x22，y1y22，y1y20，k.经检验，k称心题意此弦所在的直线方程为y1(x1)，即x2y30.思想升华(1)处置直线与椭圆的位置关系的相关征询题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联破，运用根与系数的关系，处置相关征询题涉及中点弦的征询题时用“点差法处置，屡屡会更庞杂记取必须检验(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么|AB|(k为直线歪率)(3)运用公式打算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下停顿的，不要忽略判不式跟踪训练1已经清楚椭圆E：1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到通过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，AB是圆M：(x2)2(y1)2的一条直径，假设椭圆E通过A，B两点，求椭圆E的方程解(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bxcybc0，那么原点O到该直线的距离d，由dc，得a2b2，解得离心率.(2)方法一由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2.依题意，圆心M(2,1)是线段AB的中点，且|AB|.易知，AB与x轴不垂直，设其方程为yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1x2，x1x2，由x1x24，得4，解得k，从而x1x282b2.因此|AB|x1x2|，由|AB|，得，解得b23，故椭圆E的方程为1.方法二由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2，依题意，点A，B关于圆心M(2,1)对称，且|AB|，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x4y4b2，x4y4b2，两式相减并结合x1x24，y1y22，得4(x1x2)8(y1y2)0，易知AB与x轴不垂直，那么x1x2，因此AB的歪率kAB，因此直线AB的方程为y(x2)1，代入得x24x82b20，因此x1x24，x1x282b2，因此|AB|x1x2|.由|AB|，得，解得b23，故椭圆E的方程为1.题型三椭圆与向量等知识的综合例3已经清楚椭圆C：1(a>b>0)，e，其中F是椭圆的右中心，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A，B，线段AB的中点横坐标为，且(其中>1)(1)求椭圆C的标准方程；(2)务虚数的值解(1)由椭圆的焦距为2，知c1，又e，a2，故b2a2c23，椭圆C的标准方程为1.(2)由，可知A，B，F三点共线，设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)假设直线ABx轴，那么x1x21，不符合题意；当AB所在直线l的歪率k存在时，设l的方程为yk(x1)由消去y得(34k2)x28k2x4k2120.的判不式64k44(4k23)(4k212)144(k21)>0.x1x22×，k2.将k2代入方程，得4x22x110，解得x.又(1x1，y1)，(x21，y2)，即1x1(x21)，又>1，.思想升华一般地，在椭圆与向量等知识的综合征询题中，破体向量只起“背景或“结论的感染，几乎都不会在向量的知识上设置阻碍，所调查的中心内容仍然是分析几多何的全然方法跟全然思想跟踪训练2已经清楚椭圆C的两个中心分不为F1(1,0)，F2(1，0)，短轴的两个端点分不为B1，B2.(1)假设F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；(2)假设椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C订交于P，Q两点，且，求直线l的方程解(1)F1B1B2为等边三角形，那么椭圆C的方程为3y21.(2)易知椭圆C的方程为y21，当直线l的歪率不存在时，其方程为x1，不符合题意；当直线l的歪率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，由得(2k21)x24k2x2(k21)0，由已经清楚得>0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，那么x1x2，x1x2，(x11，y1)，(x21，y2)，由于，因此·0，即(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1k2(x11)(x21)(k21)x1x2(k21)(x1x2)k210，解得k2，即k±，故直线l的方程为xy10或xy10.1假设直线mxny4与O：x2y24不交点，那么过点P(m，n)的直线与椭圆1的交点个数是()A至多为1B2C1D0答案B分析由题意知，>2，即<2，点P(m，n)在椭圆1的内部，故所求交点个数是2.2已经清楚椭圆1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是xy50，弦的中点坐标是M(4,1)，那么椭圆的离心率是()A.B.C.D.答案C分析设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分不代入椭圆方程，由点差法可知yMxM，代入k1，M(4，1)，解得，e，应选C.3已经清楚椭圆1以及椭圆内一点P(4,2)，那么以P为中点的弦所在直线的歪率为()A.BC2D2答案B分析设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1x28，y1y24，两式相减，得0，因此，因此k.应选B.4已经清楚F1(1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个中心，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|3，那么C的方程为()A.y21B.1C.1D.1答案C分析设椭圆C的方程为1(a>b>0)，那么c1.由于过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且|AB|3，因此，b2a2c2，因此a24，b2a2c2413，椭圆的方程为1.5(2018·锦州质检)通过椭圆y21的一个中心作倾歪角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点设O为坐标原点，那么·等于()A3BC或3D±答案B分析依题意，当直线l通过椭圆的右中心(1,0)时，其方程为y0tan45°(x1)，即yx1.代入椭圆方程y21并拾掇得3x24x0，解得x0或x.因此两个交点坐标为A(0，1)，B，因此·(0，1)·.同理，直线l通过椭圆的左中心时，也可得·.6设F1，F2分不是椭圆y21的左、右中心，假设椭圆上存在一点P，使()·0(O为坐标原点)，那么F1PF2的面积是()A4B3C2D1答案D分析()·()··0，PF1PF2，F1PF290°.设|PF1|m，|PF2|n，那么mn4，m2n212,2mn4，mn2，mn1.7直线ykxk1与椭圆1的位置关系是_答案订交分析由于直线ykxk1k(x1)1过定点(1，1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必订交8椭圆：1(a>b>0)的左、右中心分不为F1，F2，焦距为2c.假设直线y(xc)与椭圆的一个交点M称心MF1F22MF2F1，那么该椭圆的离心率等于_答案1分析直线y(xc)过点F1(c,0)，且倾歪角为60°，因此MF1F260°，从而MF2F130°，因此MF1MF2.在RtMF1F2中，|MF1|c，|MF2|c，因此该椭圆的离心率e1.9已经清楚椭圆C：1(a>b>0)的左中心为F，椭圆C与过原点的直线订交于A，B两点，连接AF，BF，假设|AB|10，|AF|6，cosABF，那么椭圆C的离心率e_.答案分析设椭圆的右中心为F1，在ABF中，由余弦定理可解得|BF|8，因此ABF为直角三角形，且AFB90°，又由于歪边AB的中点为O，因此|OF|c5，连接AF1，由于A，B关于原点对称，因此|BF|AF1|8，因此2a14，a7，因此离心率e.10已经清楚直线MN过椭圆y21的左中心F，与椭圆交于M，N两点直线PQ过原点O与MN平行，且PQ与椭圆交于P，Q两点，那么_.答案2分析不妨取直线MNx轴，椭圆y21的左中心F(1,0)，令x1，得y2，因此y±，因此|MN|，现在|PQ|2b2，那么2.11(2018·呼跟浩特质检)设F1，F2分不是椭圆E：1(a>b>0)的左、右中心，E的离心率为，点(0,1)是E上一点(1)求椭圆E的方程；(2)过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，且2，求直线BF2的方程解(1)由题意知，b1，且e2，解得a22，因此椭圆E的方程为y21.(2)由题意知，直线AB的歪率存在且不为0，故可设直线AB的方程为xmy1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得(m22)y22my10，那么y1y2，y1y2，由于F1(1,0)，因此(1x2，y2)，(x11，y1)，由2可得，y22y1，由可得B，那么或，因此直线BF2的方程为yx或yx.12设椭圆1(a>b>0)的左中心为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分不为椭圆的左、右顶点，过点F且歪率为k的直线与椭圆交于C，D两点，假设··8，O为坐标原点，求OCD的面积解(1)过中心且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，因此.由于椭圆的离心率为，因此，又a2b2c2，可解得b，c1，a.因此椭圆的方程为1.(2)由(1)可知F(1,0)，那么直线CD的方程为yk(x1)联破消去y得(23k2)x26k2x3k260.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，因此x1x2，x1x2.又A(，0)，B(，0)，因此··(x1，y1)·(x2，y2)(x2，y2)·(x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k268，解得k±.从而x1x2，x1x20.因此|x1x2|，|CD|x1x2|×.而原点O到直线CD的距离为d，因此OCD的面积为S|CD|×d××.13正方形ABCD的四个顶点都在椭圆1上，假设椭圆的中心在正方形的内部，那么椭圆的离心率的取值范围是()A.B.C.D.答案B分析设正方形的边长为2m，椭圆的中心在正方形的内部，m>c，又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆1上，1>e2，即e43e21>0，e2<2，0<e<，应选B.14已经清楚椭圆1(a>b>0)短轴的端点为P(0，b)，Q(0，b)，长轴的一个端点为M，AB为通过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，假设PA，PB的歪率之积等于，那么点P到直线QM的距离为_答案b分析设A(x0，y0)，那么B点坐标为(x0，y0)，那么·，即，由于1，那么，故，那么，不妨取M(a,0)，那么直线QM的方程为bxayab0，那么点P到直线QM的距离为db.15平行四边形ABCD内接于椭圆1，直线AB的歪率k12，那么直线AD的歪率k2等于()A.BCD2答案C分析设AB的中点为G，那么由椭圆的对称性知，O为平行四边形ABCD的对角线的交点，那么GOAD.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么有两式相减得，拾掇得k12，即.又G，因此kOG，即k2，应选C.16过椭圆1(a>b>0)上的动点M作圆x2y2的两条切线，切点分不为P跟Q，直线PQ与x轴跟y轴的交点分不为E跟F，求EOF面积的最小值解设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意知PQ歪率存在，且不为0，因此x0y00，那么直线MP跟MQ的方程分不为x1xy1y，x2xy2y.由于点M在MP跟MQ上，因此有x1x0y1y0，x2x0y2y0，那么P，Q两点的坐标称心方程x0xy0y，因此直线PQ的方程为x0xy0y，可得E跟F，因此SEOF·|OE|OF|，由于b2ya2xa2b2，b2ya2x2ab|x0y0|，因此|x0y0|，因此SEOF，当且仅当b2ya2x时取“，故EOF面积的最小值为.