2022年141正弦函数,余弦函数的图象性质 .pdf

1.4.1 正弦函数,余弦函数的图象【教材分析】正弦函数,余弦函数的图象是高中新教材人教A 版必修四的内容，作为函数，它是已学过的一次函数、二次函数、指数函数与对数函数的后继内容，是在已有三角函数线知识的基础上，来研究正余弦函数的图象与性质的，它是学习三角函数图象与性质的入门课，是今后研究余弦函数、正切函数的图象与性质、正弦型函数的图象的知识基础和方法准备。因此，本节的学习在全章中乃至整个函数的学习中具有极其重要的地位与作用。本节共分两个课时，本课为第一课时，主要是利用正弦线画出的图象，考察图象的特点，用“五点作图法”画简图，并掌握与正弦函数有关的简单的图象平移变换和对称变换；再利用图象研究正余弦函数的部分性质（定义域、值域等）【教学目标】1.学会用单位圆中的正弦线画出正余弦函数的图象，通过对正弦线的复习，来发现几何作图与描点作图之间的本质区别，以培养运用已有数学知识解决新问题的能力。2.掌握正余弦函数图象的“五点作图法”；3.渗透由抽象到具体的思想，使学生理解动与静的辩证关系，培养辩证唯物主义观点。【教学重点难点】教学重点：“五点法”画长度为一个周期的闭区间上的正弦函数图象教学难点：运用几何法画正弦函数图象。【学情分析】本课的学习对象为高二下学期的学生，他们经过近一年半的高中学习，已具有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力，思维活跃、想象力丰富、乐于尝试、勇于探索，学习欲望强的学习特点。【教学方法】1学案导学：见后面的学案。2新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑情境导入、展示目标合作探究、精讲点拨反思总结、当堂检测发导学案、布置预习【课前准备】1学生的学习准备：预习“正弦函数和余弦函数的性质”，初步把握性质的推导。2教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。3.教学手段：利用计算机多媒体辅助教学.【课时安排】1 课时【教学过程】一、预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。二、复 习导入、展示目标。1.创设情境：问题 1：三角函数的定义及实质？三角函数线的作法和作用？设置意图：把问题作为教学的出发点，引起学生的好奇，用操作性活动激发学生求知欲，为发现新知识创设一个最佳的心理和认识环境，关注学生动手能力培养，使教学目标与实验的意图相一致。学生活动：教师提问，学生回答，教师对学生作答进行点评多媒体使用：几何画板；PPT 问题 2：根据以往学习函数的经验，你准备采取什么方法作出正弦函数的图象？作图过程中有什么困难？设置意图：为学生提供一个轻松、开放的学习环境，有助于有效地组织课堂学习，有助于带动和提高全体学习的积极性、主动性，更有助于培养学生的集体荣誉感，以及他们的竞争意识学生活动：给每位同学发一张纸，组织他们完成下面的步骤：描点、连线。加入竞争机制看谁画得又快又好！2.探究新知：根据学生的认知水平,正弦曲线的形成分了三个层次：引导学生画出点问题一：你是如何得到的呢？如何精确描出这个点呢？问题二：请大家回忆一下三角函数线，看看你是否能有所启发？什么是正弦线？如何作出点展示幻灯片设置意图：由浅入深、由易到难,帮助学生体会从三角函数线出发，“以已知探求未知”的数学思想方法,培养学生的思维能力。通过对正弦线的复习，来发现几何作图与描点作图之间的本质区别，以培养运用已有数学知识解决新问题的能力。数形结合，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教学的重难点学生活动：引导学生由单位圆的正弦线知识，只要已知角x 的大小，就可以由几何法作出相应的正弦值来。（教师在引导学生分析问题过程中，积极观察学生的反映，适时进行激励性评价）多媒体使用：几何画板；PPT 问题三：能否借用点的方法，作出的图像呢？课件演示：正弦函数图象的几何作图法设置意图：使学生掌握探究问题的方法，发展他们分析问题和解决问题的能力，老师的点拨，学生探究实践，进一步加深学生对几何法作正弦函数图象的理解。通过课件演示让学生直观感受正弦函数图象的形成过程。并让学生亲自动手实践，体会数与形的完美结合。学生活动：一方面分组合作探究，展示动手结果，上台板演，同时回答同学们提出的问题。利用尺规作出图象，后用课件演示问题四：如何得到的图象？展示幻灯片设置意图：引导学生想到正弦函数是周期函数，且最小正周期是问题五：这个方法作图象，虽然比较精确，但不太实用，如何快捷地画出正弦函数的图象呢？学生活动：请同学们观察，边口答在的图象上，起关键作用的点有几个？引导学生自然得到下面五个：组织学生描出这五个点，并用光滑的曲线连接起来，很自然得到函数的简图，称为“五点法”作图。“五点法”作图可由师生共同完成设置意图：积极的师生互动能帮助学生看到知识点之间的联系，有助于知识的重组和迁移。把学生推向问题的中心，让学生动手操作，直观感受波形曲线的流畅美，对称美，使学生体会事物不断变化的奥秘。通过讲解使学生明白“五点法”如何列表，怎样画图象。小结作图步骤：1、列表 2、描点 3、连线思考：如何快速做出余弦函数图像？根据诱导公式cossin()2xx,还可以把正弦函数x=sinx的图象向左平移2单位即得余弦函数y=cosx 的图象.三、例题分析例 1、画出下列函数的简图：y1 sinx，0，解析：利用五点作图法按照如下步骤处理1、列表 2、描点 3、连线解：（1）按五个关键点列表：x 0 223 2Sin 0 0 1 0 1+Sin 1 2 1 0 1 描点、连线，画出简图。2-25O3222gx=sin xf x =1+sinx变式训练：cosx，0，解：按五个关键点列表：点评：目的有二：(1)巩固新知；(2)从层次上逐层深化、拾级而上，为往后学习三角函数图像的变换打下一定的基础。四、反思总结与当堂检测：1、五点（画图）法（1）作法先作出五个关键点，再用平滑的曲线将它们顺次连结起来。（2）用途只有在精确度要求不高时，才能使用“五点法”作图。（3）关键点横坐标：0 /2 3/2 22、图形变换平移、翻转等设置意图：进一步提升学生对本节课重点知识的理解和认识，并体会其应用。学生活动：学生分组讨论完成3、画出下列函数的简图：(1)y=|sinx|，（2）y=sin|x|x 0 223 2Cosx 1 0 1 0 1-Cosx-1 0 1 0-1 2-2510g x =cos xf x =-cos xO2322五、发导学案、布置预习思考：若从函数1.的图像变换分析的图象可由的图象怎样得到？2.可用什么方法得到的图像？1、“五点法”2、翻折变换六、板书设计正弦函数和余弦函数的图像一、正弦函数的图像例1 二、作图步骤1、列表 2、描点 3、连线练习：三、余弦函数教学反思学生的学习是一个积极主动的建构过程，而不是被动地接受知识的过程。由于学生已具备初等函数、三角函数线知识，为研究正弦函数图象提供了知识上的积累；因此本教学设计理念是：通过问题的提出，引起学生的好奇，用操作性活动激发学生求知欲，为发现新知识创设一个最佳的心理和认识环境，引导学生关注正弦函数的图象及其作法；并借助电脑多媒体使教师的设计问题与活动的引导密切结合，强调学生“活动”的内化，以此达到使学生有效地对当前所学知识的意义建构的目的，感觉效果很好。学生们大多数都能完成得很好，但学生对自己的评价还比较保守，表现不太自信，另外我应肯定一下普遍完成任务的所有同学，不只是肯定那几个高手。但有些同学还是忽视理论探讨，急于动手做，因此总会出现这样或那样的问题，如何让学生少走弯路，对知识理解透彻，在正确的理论引导下顺利完成任务，这是个值得研究的问题。九、学案设计(见下页)临清三中数学组编写人：侯英勇审稿人：庞红玲李怀奎1.4.1 正弦函数,余弦函数的图象课前预习学案一、预习目标理解并掌握作正弦函数图象的方法，会用五点法作正余弦函数简图二、复习与预习1正、余弦函数定义：_ 2正弦线、余弦线：_ 3.10.正弦函数y=sinx，x0，2 的图象中，五个关键点是：、.20.作cosyx在0,2 上的图象时,五个关键点是、.步骤：_，_，_.三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标（1）利用单位圆中的三角函数线作出Rxxy,sin的图象，明确图象的形状；（2）根据关系)2sin(cosxx，作出Rxxy,cos的图象；（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题；学习重难点：重点：“五点法”画长度为一个周期的闭区间上的正弦函数图象；难点：运用几何法画正弦函数图象。二、学习过程1.创设情境：问题 1：三角函数的定义及实质？三角函数线的作法和作用？问题 2：根据以往学习函数的经验，你准备采取什么方法作出正弦函数的图象？作图过程中有什么困难？2.探究新知：问题一：如何作出的图像呢？问题二：如何得到的图象？问题三：这个方法作图象，虽然比较精确，但不太实用，如何快捷地画出正弦函数的图象呢？组织学生描出这五个点，并用光滑的曲线连接起来，很自然得到函数的简图，称为“五点法”作图。“五点法”作图可由师生共同完成小结作图步骤：思考：如何快速做出余弦函数图像？例 1、画出下列函数的简图：y1 sinx，0，解析：利用五点作图法按照如下步骤处理1、列表 2、描点 3、连线变式训练：cosx，0，三、反思总结1、数学知识：2、数学思想方法：四、当堂检测画出下列函数的简图：(1)y=|sinx|，（2）y=sin|x|思考：可用什么方法得到的图像？课后练习与提高1.用五点法作2,0 xsinx,2y的图象.2.结合图象，判断方程xsinx的实数解的个数.3.分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x 的集合：1(1)sin;2x15(2)cos,(0).22xx1.4.2 正弦函数余弦函数的性质【教材分析】正弦函数和余弦函数的性质是普通高中课程标准实验教材必修中的内容，是正弦函数和余弦函数图像的继续，本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的性质。【教学目标】1.会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；会求含有xx cos,sin的三角式的性质；会应用正、余弦的值域来求函数)0(sinabxay和函数cxbxaycoscos2)0(a的值域2.在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯3.在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦【教学重点难点】教学重点：正弦函数和余弦函数的性质。教学难点：应用正、余弦的定义域、值域来求含有xx cos,sin的函数的值域【学情分析】知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，对于正弦函数余弦函数图像的学习使学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。心理特征：高一普通班学生已掌握三角函数的诱导公式，并了解了三角函数的周期性，但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。【教学方法】1学案导学：见后面的学案。2新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑情境导入、展示目标合作探究、精讲点拨反思总结、当堂检测发导学案、布置预习【课前准备】1学生的学习准备：预习“正弦函数和余弦函数的性质”，初步把握性质的推导。2教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。【课时安排】1 课时【教学过程】一、预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。二、复 习导入、展示目标。（一）问题情境复习：如何作出正弦函数、余弦函数的图象？生：描点法（几何法、五点法），图象变换法。并要求学生回忆哪五个关键点引入：研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？生：定义域、值域、单调性、周期性、对称性等提出本节课学习目标定义域与值域（二）探索研究给出正弦、余弦函数的图象，让学生观察，并思考下列问题：1.定义域正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R(或),().2.值域(1)值域因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度,所以1|cos|,1|sin|xx,即1cos1,1sin1xx也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是 1,1.(2)最值正弦函数Rxxy,sin当且仅当Zkkx,22时,取得最大值1当且仅当Zkkx,22时,取得最小值1余弦函数Rxxy,cos当且仅当Zkkx,2时,取得最大值1当且仅当Zkkx,2时,取得最小值13.周期性由)(,cos)2cos(,sin)2sin(Zkxkxxkx知:正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.定义：对于函数)(xf,如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有)()(xfTxf,那么函数)(xf就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.由此可知,)0,(2,4,2,4,2kZkk都是这两个函数的周期.对于一个周期函数)(xf,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做)(xf的最小正周期.根据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,0,2kZkk都是它的周期,最小正周期是2.4.奇偶性由xxxxcos)cos(,sin)sin(可知:xysin(Rx)为奇函数,其图象关于原点O对称xycos(Rx)为偶函数,其图象关于y轴对称5.对称性正弦函数sin()yx xR的对称中心是,0kkZ,对称轴是直线2xkkZ;余弦函数cos()yx xR的对称中心是,02kkZ,对称轴是直线xkkZ(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴(中轴线)的交点).6.单调性从2,2,sinxxy的图象上可看出:当2,2x时,曲线逐渐上升,xsin的值由1增大到1当2,2x时,曲线逐渐下降,xsin的值由1减小到1结合上述周期性可知:正弦函数在每一个闭区间)(22,22Zkkk上都是增函数,其值从1增大到1;在每一个闭区间)(22,22Zkkk上都是减函数,其值从1减小到1.余弦函数在每一个闭区间)(2,2Zkkk上都是增函数,其值从1增加到1;余弦函数在每一个闭区间)(2,2Zkkk上都是减函数,其值从1减小到1.三、例题分析例 1、求函数y=sin(2x+3)的单调增区间解析：求函数的单调增区间时，应把三角函数符号后面的角看成一个整体，采用换元的方法，化归到正、余弦函数的单调性解：令 z=2x+3，函数 y=sinz 的单调增区间为22k，22k 由22k2x+322k得512kx12k故函数 y=sinz 的单调增区间为512k，12k（）点评：“整体思想”解题变式训练1.求函数 y=sin(-2x+3)的单调增区间解：令 z=-2x+3，函数 y=sinz 的单调减区间为22k，322k故函数 sin(-2x+3)的单调增区间为 712k，12k（）例 2：判断函数33()sin()42f xx的奇偶性解析：判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，然后再看()fx与()fx的关系，对(1)用诱导公式化简后，更便于判断解：33()sin()42f xx=3cos4x，33()cos()cos44xxfx所以函数33()sin()42f xx为偶函数点评：判断函数的奇偶性时，判断“定义域是否关于原点对称”是必须的步骤变式训练2.2()lg(sin1 sinf xxx)解：函数的定义域为R，2()lgsin()1sinfxxx=2lg(sin1sin)xx=21lg(sin1 sin)xx=2lg(sin1sin)xx=()f x所以函数2()lg(sin1sinf xxx）为奇函数例 3.比较 sin2500、sin2600的大小解析：通过诱导公式把角度化为同一单调区间，利用正弦函数单调性比较大小解：y=sinx 在22k，322k（kZ），上是单调减函数，又2500sin2600点评：比较同名的三角函数值的大小，找到单调区间，运用单调性即可，若比较复杂，先化间；比较不同名的三角函数值的大小，应先化为同名的三角函数值，再进行比较变式训练3.cos914cos815、解：cos1514cos89由学生分析，得到结论，其他学生帮助补充、纠正完成。五、反思总结，当堂检测。教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。课堂小结：1、数学知识：正、余弦函数的图象性质，并会运用性质解决有关问题2、数学思想方法：数形结合、整体思想。达标检测：一、选择题1.函数2sin2yx的奇偶数性为（）.A.奇函数B.偶函数C既奇又偶函数D.非奇非偶函数2.下列函数在,2上是增函数的是（）A.y=sinxB.y=cosxC.y=sin2xD.y=cos2x3.下列四个函数中，既是0,2上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（）.A.sinyxB.sin2yxC.cosyxD.cos2yx二、填空题4.把下列各等式成立的序号写在后面的横线上。cos2x2sin3x2sin5sin60 xx2cos0.5x_5.不等式sin x22的解集是 _.三、解答题6.求出数1sin,2,232yxxx的单调递增区间.参考答案：1、A 2、D 3、A 4、5、52245kxk6、5,2 3六、发导学案、布置预习。如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线8x对称，求a 的值七、板书设计正弦函数和余弦函数的性质一、正弦函数的性质例1 二、余弦函数的性质例2 定义域、值域、单调、奇偶、周期对称例 3 八、教学反思（1）根据学生学习知识的发展过程，在推导性质的过程中让学生自己先独思考，然后小组交流，再来纠正学生错误结论，充分体现了学生的主体性，让学生活起来。（2）关注学生的表达，表现，学生的情感需求，课堂明显就活跃，学生的积极性完全被调动起来，很多学生想表达自己的想法。这对这些学生的后续学习的积极性是非常有帮助的。（3）判断题、例题的选择都是根据我们以往对学生的了解而设置的，帮助学生辨析，缩短认识这些知识的时间，减少再出现类似错误的人数，在学生学习困惑时给与帮助。九、学案设计(见下页)临清三中数学组编写人：桑立红审稿人：庞红玲李怀奎1.4.2 正弦函数余弦函数的性质课前预习学案一、预习目标探究正弦函数、余弦函数的周期性，周期，最小正周期；会比较三角函数值的大小,会求三角函数的单调区间.二、预习内容1._叫做周期函数，_叫这个函数的周期.2._叫做函数的最小正周期.3.正弦函数，余弦函数都是周期函数，周期是 _，最小正周期是 _.4.由 诱 导 公 式 _ 可 知 正 弦 函 数 是 奇 函 数.由 诱 导 公 式_ 可知，余弦函数是偶函数.5.正弦函数图象关于_对称，正弦函数是 _.余弦函数图象关于 _对称，余弦函数是_.6.正弦函数在每一个闭区间_上都是增函数，其值从 1 增大到 1；在每一个闭区间_上都是减函数，其值从1 减少到 1.7.余弦函数在每一个闭区间_上都是增函数，其值从 1 增大到 1；在每一个闭区间_上都是减函数，其值从1 减少到 1.8.正弦函数当且仅当x_时，取得最大值1,当且仅当x=_时取得最小值1.9.余弦函数当且仅当x _时取得最大值1；当且仅当x=_时取得最小值1.10.正弦函数sinx3y的周期是 _.11.余弦函数ycos2x的周期是 _.12.函数y=sinx+1 的最大值是 _,最小值是 _,y=-3cos2x的最大值是 _,最小值是 _.54sin45cos532sin125cos13.y=-3cos2x取得最大值时的自变量x 的集合是 _.14.把下列三角函数值从小到大排列起来为：_，三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标：会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；会求含有xx cos,sin的 三 角 式 的 性 质；会 应 用 正、余 弦 的 值 域 来 求 函 数)0(si nabxay和 函 数cxbxayco sc o s2)0(a的值域学习重难点：正弦函数和余弦函数的性质及简单应用。二、学习过程例 1、求函数y=sin(2x+3)的单调增区间解：变式训练1.求函数 y=sin(-2x+3)的单调增区间解：例 2：判断函数33()sin()42f xx的奇偶性解：变式训练2.2()lg(sin1 sinf xxx)解：例 3.比较 sin2500、sin2600的大小解：变式训练3.cos914cos815、解：三、反思总结1、数学知识：2、数学思想方法：四、当堂检测一、选择题1.函数2sin2yx的奇偶数性为（）.A.奇函数B.偶函数C既奇又偶函数D.非奇非偶函数2.下列函数在,2上是增函数的是（）A.y=sinxB.y=cosxC.y=sin2xD.y=cos2x3.下列四个函数中，既是0,2上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（）.A.sinyxB.sin2yxC.cosyxD.cos2yx二、填空题4.把下列各等式成立的序号写在后面的横线上。cos2x2sin3x2sin5sin60 xx2cos0.5x_5.不等式sin x22的解集是 _.三、解答题6.求出数1sin,2,232yxxx的单调递增区间.课后练习与提高一、选择题1y=sin(x-3)的单调增区间是（）A.k-6,k+56(k Z)B.2k-6,2k+56(kZ)C.k-76,k-6(k Z)D.2k-76,2k-6(kZ)2下列函数中是奇函数的是（）A.y=-|sinx|B.y=sin(-|x|)C.y=sin|x|D.y=xsin|x|3在(0,2 )内，使sinxcosx 成立的 x 取值范围是（）A.(4,2)(,54)B.(4,)C.(4,54)D.(4,)(54,32)二、填空题4Cos1,cos2,cos3的大小关系是 _.5=sin(3x-2)的周期是 _.三、解答题6求函数 y=cos2x-4cosx+3 的最值1.4.3 正切函数的图像与性质【教材分析】正切函数的图象和性质它前承正、余弦函数，后启必修五中的直线斜率问题。研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升，同时又为后续的学习奠定了基石。教材单刀直入，直接进入画图工作，没有给出任何提示。正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以类比的方式，让学生回忆正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。教材上直接圈定了区间（2,2），这样限制了学生的思维，我把空间留给学生，采用让学生自己选择周期，设计一个得到正切曲线的方法。这样，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力，而且，在此过程中，学生会注意到画正切曲线的细节。在得到图象后，单调性是一个难点，我设计了几个判断题帮助学生理解该性质，并用比大小的题型启发学生从代数和几何两种角度看问题。【教学目标】正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标：1.会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。2.首先学生自主绘图，通过投影仪纠正图像，投影完整的正确图象，然后再让学生观察，类比正弦，探索知识。3.在得到正切函数图像的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图像让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。【教学重点难点】教学重点：正切函数的图象及其主要性质。教学难点：利用正切线画出函数y=tanx 的图象，对直线x=2k，Zk是 y=tanx 的渐近线的理解，对单调性这个性质的理解。【学情分析】知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，而对正弦函数的研究又再一次做了一个模板，所以学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。但在画正切函数图象时，还有许多需要注意的地方，这又提升了学生分析问题的能力及严密认真的态度。心理特征：高一学生已经初步形成了是非观，具备了分辨是非的能力及语言表达能力。能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。但在处理问题时学生很容易“想当然”用事，考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。【教学方法】1学案导学：见后面的学案。2新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑情境导入、展示目标合作探究、精讲点拨反思总结、当堂检测发导学案、布置预习【课前准备】1学生的学习准备：预习“正切函数的图像与性质”，初步把握作图的方法与性质的推导。2教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。【课时安排】1 课时【教学过程】一、预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。二、复 习导入、展示目标。问题 1：就我们前面所学的内容中，正切函数与正余弦函数的有何区别？大家怎么知道正切函数的值域是R?通过单位圆中的正切线可以得到。那请同学们回忆正切线在每一个象限的画法。（设计意图：通过此问题确定本节课的一个基调：类比学习；通过此问题来复习我们已经研究过的正切函数的性质；通过比较让学生了解正切与正弦的区别，在画图像的时候注意区别；因为在作图时必须用正切线的知识，所以在此做一个相应的复习和准备工作，顺应学生的思维在知识链接处提问）问题 2：我们用什么样的方式得到正余弦函数的图像的？利用单位圆内的正弦线，得到在一个周期，即0，2 内的图象，再利用周期性得到在定义域内的图象。问题 3：请同学们根据所学知识设计一个研究正切函数图像与性质的方案。方案：第一步：画出正切函数的在一个周期内的图象；第二步：将图象向左、向右平移拓展到整个定义域上去；第三步：根据图象总结性质。三、合作探究、精讲点拨。请同学们解决方案的第一步，先画出y=tanx 在一个周期内的简图。给学生充足的时间与空间，发挥学生的主动性，这样不仅提高了学生的动手实践能力，还培养了学生对数学的兴趣。注：有的学生可能会想到利用函数的奇偶性来画图，很多学生会画出（0.）的图象，教师暂时不予评价，等待学生形成图象。教师用投影仪展示作图结果，学生之间相互评价，指出优点和不足之处，并鼓励学生阐述自己的观点。教师直接在投影仪上纠正学生错误的图像；并将（0，）的图象与2,2的图像进行比较来说明只是周期的选择不同，拓展到整个定义域上也是一致的。通过学生之间的点评与总结，引出渐近线，并请同学们总结出：要画出一个周期内的图象，首先，选择哪段区间较好，其次，在画图象的过程中应该注意什么？投影仪展示完整图像。目的是规范作图，理顺思路的作用，并画出在定义域上的图象。三角函数y=sinxy=cosxy=tanx定义域R R Zkkx,2值域 1,1 1,1R 周期性及周期22奇偶性奇偶奇（设计意图：在做好整体知识方法的铺垫后，学生完全有能力自己得到图象，并且通过交流发现自己的问题，所以整体做了一个这样的处理。而根据知识的发生发展和获得结论这个过程，在最后给学生展示标准的图象以留下正确和深刻的印象）总结正切函数的性质。分小组根据正切函数图象去验证正切函数已有的性质，并找出其它的性质（主要就指单调性，若学生提及对称性就一起分析，若学生不提也不加以讨论，因为高考要求没有对对称性的涉及）。一组总结后，其它各小组补充或改正。培养学生之间的团结协作能力及勇于探索的精神。有部分学生会得到正切函数在定义域上是单调增函数的结论，所以为了突破这个难点，另外又设计了三道判断题让学生小组讨论形成结果。判断下列语句是否正确：(1)y=tanx 在定义域上是单调增函数；（2）y=tanx 在第一象限是单调增函数；（3）8716，而 y=tanx 是单调增函数，87tan16tan在整体形成应该如何理解正切函数的单调性的基础上，再完成两个比大小的问题。不求值，判断下列各式的大小tan1380 tan1430，tan（134）tan（53）引导学生从数和形两个角度来完成，可以直接看图象，可以转化到同一个单调区间，也可以利用三角函数线来比大小。（设计意图：根据原来的教学经验，学生在后续使用这个性质的时候经常会认为正切在定义域上是单调增函数，或者对第一象限的认识就认为是02，所以准备这些辨析题就是让学生缩短这个反复讲解的过程，留下正确的印象，而比较大小是检验能否认识三角单调性的一个很好的工具，诱导公式的使用又将前后内容联系起来）四、例题分析例 1.讨论函数4tan xy的性质解析：考察正切函数图像，该图像可通过正切函数图像向左平移4单位得到解：定义域：zkkxRxx,4|且值域：R 奇偶性：非奇非偶函数单调性：在4,43kk上是增函数点评：本题考察了图像的平移变换，培养学生的作图能力与通过图像观察性质的能力变式训练1.求函数 ytan2x 的定义域、值域和周期解：要使函数ytan2x 有意义，必须且只须2x2，Z即 x42k，Z函数 ytan2x 的定义域为xR，x24k，Z（2）设2x，由 x24k，Z知2，Zytan的值域为（，）即y tan2x 的值域为（，）（3）由 tan2（x2）tan（2x）tan2xytan2x 的周期为2例 2.求函数 y2tan x1的定义域解析：通过图像解三角不等式解：tanx 1 且 x k 2，kZ，得 xk 4且 xk 2，kZ则定义域为 x|xR 且 xk 4且 x k 2，kZ 点评：通过本题培养学生数形结合的能力变式训练2.ytanx1解：tanx 10，即 tanx 1，得 k 4xk 2，kZ则定义域为 x|k 4xk 2，kZ 例 3.比较 tan27与 tan107的大小解析：通过诱导公式把角度化为同一单调区间，利用正切函数单调性比较大小解：tan107tan37 027372又 y tanx 在(0，2)上单调递增tan27tan37，则 tan27tan107点评：注意诱导公式的准确应用变式训练3.tan65与 tan(135)解：tan65 tan5，tan(135)tan135 tan350535 又 ytan x 在(0，)上单调递增tan5tan35，则 tan65tan(135)由学生分析，得到结论，其他学生帮助补充、纠正完成。五、反思总结，当堂检测。教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。课堂小结：1、数学知识：正切函数的定义与图像，定义域、值域和周期性、奇偶性、单调性。2、数学思想方法：数形结合。达标检测：1.函数)43tan(2xy的周期是()(A)32(B)2(C)3(D)62.函数)4tan(xy的定义域为()(A),4|Rxxx(B),4|Rxxx(C),4|ZkRxkxx(D),43|ZkRxkxx3.下列函数中,同时满足(1)在(0,2)上递增,(2)以 2为周期,(3)是奇函数的是()(A)xytan(B)xycos(C)xy21tan(D)xytan4.tan1,tan2,tan3 的大小关系是_.5.给出下列命题:(1)函数 y=sin|x|不是周期函数;(2)函数 y=|cos2x+1/2|的周期是/2;(3)函数 y=tanx 在定义域内是增函数;(4)函数 y=sin(5/2+x)是偶函数;(5)函数 y=tan(2x+/6)图象的一个对称中心为(/6,0)其中正确命题的序号是_(注:把你认为正确命题的序号全填上)6.求函数 y=lg(1-tanx)的定义域参考答案：1.C 2.D 3.C 4.tan2tan3tan1 5.(1)(4)(5)6.,24xkxkkZ设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。六、发导学案、布置预习。（1）y=|sinx|的周期变成了2,那 y=|tanx|变成了什么？（2）在书本 P34 有正切、余切的由来，请同学们仔细阅读，并想想为什么直阴影是余切，反阴影是正切？七、板书设计正切函数的图象及性质一、正切函数图像例1 1画出正切函数的在一个周期内的图象；例 2 2将图象向左、向右平移拓展到整个定义域上去；例 3 二、正切函数的性质根据图象总结性质八、教学反思（1）根据知识的前后联系在本节课设计时主要采取类比学习，学生自己动手绘图、自己研究性质、自己完成辨析、判断和例题的过程。在学生能够自己独立完成的地方，教师退到幕后起到一个推波助澜的作用和汇总学生意见，形成正确知识和方法的作用。（2）根据学生学习知识的发生发展成熟过程，在生成图象的过程中让学生自己先独立画，然后小组交流，再用投影仪来纠正学生错误图象，比较不同周期的图象，最后用投影仪展现定义域内的标准图象，充分体现了学生的主体性，让学生活起来。九、学案设计(见下页)临清三中数学组编写人：桑立红审稿人：庞红玲李怀奎1.4.3 正切函数的图像与性质课前预习学案一、预习目标利用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质二、预习内容1.画出下列各角的正切线：2.类比正弦函数我们用几何法做出正切函数xytan图象：3.把 上 述图 象 向左、右扩展，得到正切函数Rxxytan，且zkkx2的图象，称“正切曲线”4.观察正切曲线，回答正切函数的性质：定义域：值域：最值：渐近线：周期性：奇偶性单调性：图像特征：三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标：会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。学习重难点：正切函数的图象及其主要性质。二、学习过程例 1.讨论函数4tan xy的性质变式训练1.求函数 ytan2x 的定义域、值域和周期例 2.求函数 y2tanx1的定义域变式训练2.ytanx 1例 3.比较 tan27与 tan107的大小变式训练3.tan65与 tan(135)三、反思总结1、数学知识：2、数学思想方法：四、当堂检测一、选择题1.函数)43tan(2xy的周期是()(A)32(B)2(C)3(D)62.函数)4tan(xy的定义域为()(A),4|Rxxx(B),4|Rxxx(C),4|ZkRxkxx(D),43|ZkRxkxx3.下列函数中,同时满足(1)在(0,2)上递增,(2)以 2为周期,(3)是奇函数的是()(A)xytan(B)xycos(C)xy21tan(D)xytan二、填空题4.tan1,tan2,tan3 的大小关系是_.5.给出下列命题:（1）函数 y=sin|x|不是周期函数;(2)函数 y=|cos2x+1/2|的周期是/2;(3)函数 y=tanx 在定义域内是增函数;(4)函数 y=sin(5/2+x)是偶函数;(5)函数 y=tan(2x+/6)图象的一个对称中心为(/6,0)其中正确命题的序号是_(注:把你认为正确命题的序号全填上)三、解答题6.求函数 y=lg(1-tanx)的定义域课后练习与提高一、选择题1、tan(,)2yx xkkZ在定义域上的单调性为（）.A在整个定义域上为增函数B在整个定义域上为减函数C在每一个开区间(,)()22kkkZ上为增函数D在每一个开区间(2,2)()22kkkZ上为增函数2、下列各式正确的是（）.A1317tan()tan()45 B1317tan()tan()45C1317tan()tan()45 D大小关系不确定3、若tan0 x,则（）.A22,2kxkkZ B2(21),2kxkkZC,2kxkkZ D,2kxkkZ二、填空题4、函数tan2()tanxfxx的定义域为.5、函数sintanyxx的定义域为.三、解答题6、函数tan()4yx的定义域是（）.