2021年高中数学知识点总结新课标大纲版.pdf

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高中数学考点总结|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 1 页，共 17 页一.集合与简易逻辑1.注意区分集合中元素的形式.如：|lg x yx函数的定义域；|lg y yx函数的值域；(,)|lg x yyx函数图象上的点集.2.集合的性质：任何一个集合A是它本身的子集,记为AA.空集是任何集合的子集,记为A.空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为AB,在讨论的时候不要遗忘了A的情况如：012|2xaxxA,如果ARI,求a的取值.(答：0a)()UUUCABC AC BIU,()UUUCABC AC BUI；ABCABCIIII（）（）；ABCABCUUUU（）（）.ABAABBIUUUABC BC AUAC BIUC ABRU.ABU元素的个数：()()card ABcardAcardBcard ABUI.含n个元素的集合的子集个数为2n；真子集(非空子集)个数为21n；非空真子集个数为22n.3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如：已知函数12)2(24)(22ppxpxxf在区间 1,1上至少存在一个实数c,使0)(cf,求实数p的取值范围.(答：32(3,)4.原命题:pq；逆命题:qp；否命题:pq；逆否命题:qp；互为逆否的两个命题是等价的.如：“sinsin”是“”的条件.(答：充分非必要条件)5.若pq且qp,则p是q的充分非必要条件(或q是p的必要非充分条件).6.注意命题pq的否定与它的否命题的区别:命题pq的否定是pq；否命题是pq.命题“p或q”的否定是“p且q”；“p且q”的否定是“p或q”.如：“若a和b都是偶数，则ba是偶数”的否命题是“若a和b不都是偶数,则ba是奇数”否定是“若a和b都是偶数,则ba是奇数”.7.常见结论的否定形式二.函数1.映射f:AB是：“一对一或多对一”的对应；集合A中的元素必有象且A中不同元素在B中可以有相同的象；集合B中的元素不一定有原象(即象集B).一一映射f:AB：“一对一”的对应；A中不同元素的象必不同,B中元素都有原象.2.函数f:AB是特殊的映射.特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点,但与y轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母0;偶次根式被开方数非负;对数真数0,底数0原结论否定原结论否定是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有1n个小于不小于至多有n个至少有1n个对所有x,成立存在某x,不成立p或qp且q对任何x,不成立存在某x,成立p且qp或q|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 2 页，共 17 页文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 ZA9L1K1S1E10文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 ZA9L1K1S1E10文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 ZA9L1K1S1E10文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 ZA9L1K1S1E10文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 ZA9L1K1S1E10文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 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x的值域.5.求值域常用方法:配方法(二次函数类)；逆求法(反函数法)；换元法(特别注意新元的范围).三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；不等式法单调性法；数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域；判别式法（慎用）：导数法(一般适用于高次多项式函数).6.求函数解析式的常用方法：待定系数法(已知所求函数的类型)；代换(配凑)法；方程的思想-对已知等式进行赋值，从而得到关于()fx及另外一个函数的方程组。7.函数的奇偶性和单调性函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等；若()f x是偶函数,那么()()(|)f xfxfx；定义域含零的奇函数必过原点(0)0f)；判断函数奇偶性可用定义的等价形式：()()0f xfx或()()1()0)fxf xf x；复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个(如()0f x定义域关于原点对称即可).奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等.复合函数单调性由“同增异减”判定.（提醒：求单调区间时注意定义域）如：函数122log(2)yxx的单调递增区间是_.(答：(1,2)8.函数图象的几种常见变换平移变换：左右平移-“左加右减”（注意是针对x而言）；上下平移-“上加下减”(注意是针对()f x而言).翻折变换：()|()|f xf x；()(|)f xfx.对称变换：证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.证明图像1C与2C的对称性,即证1C上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在2C上,反之亦然.函数()yf x与()yfx的图像关于直线0 x(y轴)对称；函数()yf x与函数()yfx的图像关于直线0y(x轴)对称；若函数()yf x对xR时，()()f axf ax或()(2)fxfax恒成立,则()yf x图像关于直线xa对称；若()yf x对xR时,()()f axf bx恒成立,则()yf x图像关于直线2abx对称；函数()yf ax,()yf bx的图像关于直线2bax对称(由axbx确定)；函数()yf xa与()yf bx的图像关于直线2abx对称；函数()yf x,()yAf x的图像关于直线2Ay对称(由()()2f xAf xy确定)；函数()yf x与()yfx的图像关于原点成中心对称；函数()yf x,()ynf mx的图像关于点22(,)mn对称；函数()yf x与函数1()yfx的图像关于直线yx对称；曲线1C：(,)0f x y,关于yxa,yxa的对称曲线2C的方程为(,)0f ya xa(或(,)0fyaxa；曲线1C：(,)0f x y关于点(,)a b的对称曲线2C方程为：(2,2)0faxby.|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 3 页，共 17 页文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 ZA9L1K1S1E10文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 ZA9L1K1S1E10文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 ZA9L1K1S1E10文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 ZA9L1K1S1E10文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 ZA9L1K1S1E10文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 ZA9L1K1S1E10文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 ZA9L1K1S1E10文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 ZA9L1K1S1E10文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 ZA9L1K1S1E10文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 ZA9L1K1S1E10文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 ZA9L1K1S1E10文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 ZA9L1K1S1E10文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 ZA9L1K1S1E10文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 ZA9L1K1S1E10文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 ZA9L1K1S1E10文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 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x最小值.12.恒成立问题的处理方法：分离参数法(最值法)；转化为一元二次方程根的分布问题；13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；14.二次函数解析式的三种形式：一般式：2()(0)f xaxbxc a；顶点式：2()()(0)f xa xhk a；零点式：12()()()(0)f xa xxxxa.15.一元二次方程实根分布:先画图再研究0、轴与区间关系、区间端点函数值符号;16.复合函数：复合函数定义域求法：若()f x的定义域为,a b,其复合函数()f g x的定义域可由不等式()ag xb解出；若()f g x的定义域为,a b,求()f x的定义域，相当于,xa b时,求()g x的值域；复合函数的单调性由“同增异减”判定.17.对于反函数,应掌握以下一些结论：定义域上的单调函数必有反函数；奇函数的反函数也是奇函数；定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；周期函数不存在反函数；互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性；()yf x与1()yfx互为反函数,设()f x的定义域为A,值域为B,则有1()()f fxx xB,1()()ff xx xA.18.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：()()()0f ug x uh x(或0)()aub()0()0f af b(或()0()0f af b)；19.函数(0,)axbcxdycadbc的图像是双曲线：两渐近线分别直线dcx(由分母为零确定)和直线acy(由分子、分母中x的系数确定)；对称中心是点(,)dacc；反函数为bdxcxay；20.函数(0,0)bxyaxab：增区间为(,)bbaa,减区间为,0),(0bbaa.如：已知函数12()axxf x在区间(2,)上为增函数,则实数a的取值范围是_(答：12(,).三.数列1.由nS求na,1*1(1)(2,)nnnS naSSnnN注意验证1a是否包含在后面na的公式中,若不符合要|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 4 页，共 17 页文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 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ZA9L1K1S1E10单独列出.如：数列na满足111534,nnnaSSa，求na(答：14(1)3 4(2)nnnan).2.等差数列1nnnaaad(d为常数)112(2,*)nnnaaannN21122(,)(,)nnddaanb ad badSAnBn ABa；3.等差数列的性质：()nmaanm d,mnaamnd；mnlkmnlkaaaa(反之不一定成立)；特别地,当2mnp时,有2mnpaaa；若na、nb是等差数列,则nnkatb(k、t 是非零常数)是等差数列；等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即232,mmmmmSSSSSL L仍是等差数列；等差数列na,当项数为2n时,SSnd偶奇,1nnSaSa奇偶；项数为21n时,(*)nSSaanN偶中奇,21(21)nnSna,且1SnSn奇偶；()(21)nnnnAaBbf nfn.首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n 项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式100nnaa(或100nnaa).也可用2nSAnBn的二次函数关系来分析.若,()nmam an mn,则0mna；若,()nmSm Sn mn,则()mnSmn；若()mnSS mn,则 Sm+n=0；S3m=3(S2m Sm)；mnmnSSSmnd.4.等比数列121111(0)(2,*)nnnnnnnnaaaq qaaannNaa q.5.等比数列的性质n mnmaa q,nnmmaqa；若na、nb是等比数列，则nka、nna b等也是等比数列；111111(1)1111(1)(1)(1)(1)nnnnqqaaaaaqqqqnaqnaqSqqq；mnlkmnlka aa a(反之不一定成立)；mnm nmnnmSSq SSq S.等比数列中232,mmmmmSSSSSL L(注：各项均不为0)仍是等比数列.等比数列na当项数为2n时,SSq偶奇；项数为21n时,1SaSq奇偶.6.如果数列na是等差数列,则数列naA(naA总有意义)是等比数列；如果数列na是等比数列,则数列log|(0,1)anaaa是等差数列；若na既是等差数列又是等比数列,则na是非零常数数列；如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新数列的公差是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项；三个数成等差的设法：,ad a ad；四个数成等差的设法：3,3ad ad ad ad；三个数成等比的设法：,aqa aq；四个数成等比的错误设法：33,aaqqaq aq(为什么？)7.数列的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式.已知nS(即12()naaaf nL)求na用作差法：11,(1),(2)nnnSnaSSn.|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 5 页，共 17 页文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 ZA9L1K1S1E10文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 ZA9L1K1S1E10文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 ZA9L1K1S1E10文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 ZA9L1K1S1E10文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 ZA9L1K1S1E10文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 ZA9L1K1S1E10文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 ZA9L1K1S1E10文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 ZA9L1K1S1E10文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 ZA9L1K1S1E10文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 ZA9L1K1S1E10文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 ZA9L1K1S1E10文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 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nnn；11(1)!(1)!nnnn常见放缩公式：21211112()2()nnnnnnnnn.9.“分期付款”、“森林木材”型应用问题这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决.利率问题：单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金p元,每期利率为r,则n期后本利和为：(1)2(1)(1 2)(1)()nn nSprprpnrp nrL(等差数列问题）；复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)p元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分n期还清.如果每期利率为r（按复利），那么每期等额还款x元应满足：12(1)(1)(1)(1)nnnprxrxrxrxL(等比数列问题).四.三角函数1.终边与终边相同2()kkZ；终边与终边共线()kkZ；终边与终边关于x轴对称()kkZ；终边与终边关于y轴对称2()kkZ；终边与终边关于原点对称2()kkZ；终边与终边关于角终边对称22()kkZ.2.弧长公式：|lr；扇形面积公式：21122|Slrr扇形；1弧度(1rad)57.3.3.三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀：“一全二正弦,三切四余弦”.注意：3tan15cot752；3tan75cot152；4.三角函数同角关系中(八块图)：注意“正、余弦三兄妹sincosxx、sincosxx”的关系.如2(sincos)12sincosxxxx等.5.对于诱导公式,可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；(注意：公式中始终视为锐角)6.角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*|欢.|迎.|下.|载.第 6 页，共 17 页文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 ZA9L1K1S1E10文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 ZA9L1K1S1E10文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 ZA9L1K1S1E10文档编码:CP9Q10H7I1J1 HZ3Y4K3B5R7 ZA9L1K1S1E10文档编码:CP9Q10H7I1J1 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