第22章 二次根式导学案.doc

第1课时 二次根式的概念及其应用【学习目标】了解二次根式的概念及其应用【学习重点】二次根式有意义的条件及其应用【学习过程】 一、学习准备 1概念复习（1）如果x2 = a，那么a的平方根表示为 .一个正数有 个平方根，它们的关系是 ；0的平方根是 ；负数 平方根. 一个非负数a的 叫算术平方根，表示为 .0的算术平方根为 .2.课前练习（1）4的平方根为 ，4的算术平方根为 ；12的平方根为 ，2的算术平方根为 . （2）面积为5的正方形的边长为 ； 面积为S的正方形的边长为 .（3）已知反比例函数，那么它的图象在第一象限内横、纵坐标相等的点的坐标是_（4）在直角三角形ABC中，AC = 3，BC = 1，C = 90°，那么AB边的长是_ 二、教材解读很明显、，都是一些正数的算术平方根像这样一些正数的算术平方根式子，我们就把它称二次根式一般地，我们把形如（a0）的式子叫做二次根式其中，a可以是一个数，也可以是一个代数式. 二次根式的特征：有二次根号；被开方数a是非负数，即a0.若a0时，我们称无意义. 结果是非负数，即都0. （双重非负性）即时练习1：（1）判断下列各式，哪些是二次根式？ ，（x0，y0）是二次根式的有： （2）要修建一个面积为6.28平方米的圆形喷水池，它的半径为 .（3）甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的标准差S =_ 例1，当x是多少时，代数式+在实数范围内有意义？ 分析：这个代数式由两部分组成，第一部分是二次根式，第二部分是分式. 代数式要有意义，则二次根式的被开方数必须是非负数，分式的分母不能为0，且两个条件必须同时满足.解： 由题意得：且， 解之得：且. 即：当且时，代数式+在实数范围内有意义.例2，已知+0，求x - y的值. 分析：因为二次根式的结果都是非负数，而题中是两个二次根式的和为0，故两个根式的值都必须为0，结果才等于是0. 于是把二次根式的问题转化为方程的问题.解：由题意得：， 解之得：， 当时，则； 当时，则.即时练习2：（1）x取何值时，下列各二次根式有意义？； ； ； ； （2）在式子中，x的取值范围是_.（3）若有意义，则a的值为_变式：已知y =+5，求的值. （4）若+= 0，求a2012b2012的值三、当堂反思小结二次根式的特征：从形式上看，应含有 ；被开方数a的取值范围是 ；运算结果的取值是范围 . （双重非负性）本课时达标检测一、基础巩固 1.已知,则x为( ). A. x-3 B. x-3 C.x = -3 D. x的值不能确定2.下列式子中，是二次根式的是（ ）.A. - B. C. D. x 3. 下列式子中，不是二次根式的是（ ）. A. B. C. D.4写出使下列二次根式有意义的x的取值范围.（1）； （2）； （3）； （4）. 5.当x = 时，代数式有最小值，其最小值是 .6. 某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？二、知识拓展7.当x取 值时，x2在实数范围内有意义.8. 若，则 = . 9.已知y+,则= _.三、能力提升10若有意义，则= . 11. 在实数范围内分解因式：（1）x2 9 = x2 - （ ）2 = （2） x2 - 3 = x2 - ( ) 2 = (x _) (x _) （3）x4 16 = ( ) 2 - ( ) 2 = 12. 已知a、b为实数，且2= b4，求、的值第2课时 二次根式的性质【学习目标】理解二次根式的两个性质：（；，并化简二次根式.【学习重点】理解并掌握二次根式性质=，并运用于化简中.【学习过程】一、学习准备1.二次根式的特征有哪些？ .2.二次根式有意义，则x的取值范围是 .二、教材解读1.二次根式的性质1计算： = ； = ； = ；由上述练习可得二次根式的性质1：（0）； 反之，当0时，.例1，计算：（1）（3）2； （2）； （3）. 解：（1）（3）2 = 9（）2 = 9×5 = 45； （2） = . （3） = .即时练习1：（1）计算： ； ； ； ； ； .（2）计算： ； ； .2. 二次根式的性质2探究一：根据算术平方根的意义计算. ； ； ； ； .观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当 .探究二：根据算术平方根的意义计算. ； ； ； .观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当 .由以上两次探究，可得二次根式的性质2：=或.例2：当时，化简：-解：，, 由，运用不等式的性质可以得：,，.即：.原式 = （运用二次根式的性质，去根号得绝对值）= （去绝对值，若绝对值内小于零则去掉绝对值时变为相反数） =即时练习2：（1） ；= ；= ； （）.（2）化简下列各式：= ； = ； = ；= （x- 2）； .（3）若二次根式有意义，化简 . （4）若a、b为实数，且，求代数式的值.三、反思小结 二次根式的两个重要性质是： 本课时达标检测一、基础巩固1.计算 ： = ； = ； = ；= ； = . 2. 先化简再求值：当= 9时，求a +的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式 = +=+（1-）= 1；乙的解答为：原式 = +=+（-1）= 2-1 = 17两种解答中，_的解答是错误的，错误的原因是 .3.已知2 x 3，化简： .二、知识拓展4. 若是一个正整数，则正整数m的最小值是_5.填空：（1）-=_；（2）= ；（3）a、b、c为三角形的三条边，则_.6. 若-32时，试化简 +.（7题图）7. 边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为的正方形方孔若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面你会拼吗？试求出新的正方形边长三、能力提升8.把的根号外的适当变形后移入根号内，得（ ）.A. B. C. D.9. 已知1x1，化简：.(注意分段讨论) 第34课时 二次根式的乘法【学习目标】理解和掌握·或=·（a0，b0）,并把二次根式化为最简.【学习重点】利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的对二次根式进行化简.【学习过程】 一、学习准备 1.二次根式的性质： （； =2.先计算，再比较两式的大小.（1）×= ，= ，故× .（2） × = ， = ，故× .（3） × =_， =_，故× .二、教材解读1.二次根式的乘法法则通过学习准备中的计算，我们发现二次根式的乘法规律：·（a0，b0）.（即：算术平方根的积等于积的算术平方根）特别提示一：其中的a、 b都必须是正数. 错误应用：. 应怎样计算？ 特别提示二：两个二次根式之间是乘法关系. 错误应用：.应怎样计算？ 错误应用：.应怎样计算？ 例1，计算：（1）×； （2）×； （3）×； （4）×；解：（1）×； （2）× ； （3）× ； （4）×= .解题反思：对于被开方数是小数、分数、带分数的二次根式运算，运用乘法法则可以简化运算.即时练习1：（1）指出下列计算中的错误：×=××=2×=2. 你的计算是： （2）计算：×； 2×3； ·； ··.2.积的算术平方根在化简中的应用对于等式·，反过来也是成立的，即：=·（注意：a0，b0）.（即：积的算术平方根等于各因式算术平方根的积.）推广形式：如果，则.利用这个性质，可以对二次根式进行化简. 我们在运用勾股定理计算边长以及方差的计算时，我们经常会得到形如、这样的结果，如果还要作进一步的运算，如×，会产生大数，运算量较大.能不能有更好的计算方法呢？例2，化简：（1）； （2）； （3）； （4）. 解：（1）=；（2）；（3）；（4）.解题反思：以上计算实际上是对二次根式进行化简，使得结果变为较简单的形式，如果进一步进行二次根式的加减乘除运算，会减小运算量. 化解形如的二次根式时，被开方数可能有多种分解形式，记住一条原则：先分解出能开方的因数.即时练习2：计算或化简.（1）； （2）； （3）； （4）； （5）.3.最简二次根式当被开方数中不含有分母，并且被开方数中所有因数（或因式）幂的指数都小于2，这样的二次根式称为最简二次根式. 例3，计算：（1）×； （2）×； （3）.解：（1）×；（2）×；（3）方法一：， 方法二： （方法二运用了平方差公式，将被开方数进行分解，避免了大数的运算，很好的方法！）解题反思：当我们运算熟练后，化简二次根式的有些步骤就可以省略了.如= 2.当二次根式相乘后，有时还需要对二次根式进一步进行化简，结果要为最简二次根式.如.即时练习3：计算或化简.（1）； （2）×； （3）3×2； 例4，化简：（1）； （2）； （3）； 解：（1）=； （2）=； （3）=.解题反思：二次根式的化简，可以先乘后化简，也可以先化简后乘，方法多样.特别应注意的是：哪些数和字母能开方出来，哪些不能，能开出多少，还剩多少.开方后一定要检查一遍，是否漏写数或字母.即时练习4：化简.（1）； （2）； （3）.三、反思小结1二次根式的乘法公式是：· 或= （a0，b0）.2二次根式的运算结果，一般都要化为 .3.二次根式的乘法运算，你总结了哪些注意事项？ 本课时达标检测一、基础巩固 1. 下列二次根式中，最简二次根式( ).A. B. C. D. 2.下列各等式成立的是（ ）.A.4×2= 8 B.5×4= 20 C.4×3= 7 D.5×4= 203.二次根式的计算结果是 . 4.计算或化简： （1）； （2）； （3）；（4）6×（-2）； （5）； （6）.二、知识拓展5. 若直角三角形两条直角边的边长分别为cm和cm，那么此直角三角形斜边长是 .6.下列各式的计算中，不正确的是（ ）. A. ； B. ； C. =（-2）×（-4）=8；D. 7.计算：（1）； （2）； （3）；（4）； （4）； （4）.三、能力提升8.若，求的值.第5课时 二次根式的除法【学习目标】理解二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，能熟练进行二次根式的除法运算及化简.【学习重点】 掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质.【学习过程】 一、学习准备1.知识回顾：（1）二次根式的性质：= .（2）二次根式的乘法法则： · （a0，b0）.（3）积的算术平方根的性质：= （a0，b0）.（4）最简二次根式：二次根式的被开方数中不含 ，被开方数（或式）中所有因数（或因式）的指数都 .2.计算： （1）3×（-4）； （2）；二、教材解读1.算一算，比较大小，找规律：（1）=_，=_ ， ； （2）=_，=_， ；（3）=_， =_ ， ；2.二次根式的除法法则 一般地，有： ，其中a0，b0. （两个二次根式相除，可以先把被开方数相除.）上述公式逆用也成立. 商的算术平方根：，（a0，b0）.（商的二次根式，等于二次根式的商）例1，计算或化简：（1）； （2）； （3）； （4）.解：（1）=； （2）=；（3）=， 对比运算：=.（4）.解题反思：二次根式的乘法和除法的运算法则，都可以帮助我们化简二次根式. 根据需要可以把根号合在一起算，也可以把根号分开来算.方法多样，要灵活运用.即时练习1： （1）计算：=_ ； =_ ； = _ ； = ；（2）计算.张林同学是这样算的：，他的做法对吗？ （3）计算： ； ； ； 3分母有理化在计算时，小强是这样计算的：=；小英这是样计算的：=.小华认为小英的结果不对，你觉得呢？在二次根式的计算中，我们常常会遇到小英那样的问题，即分母中出现了根式. 这时一般要进一步化简，去掉分母中的根式，这个过程我们称为分母有理化.例2，化简：（1）； （2）； （3） .解：（1）=；（利用分式的基本性质，分子和分母同乘一个不为0的数，分式的值不变） （2）=，（原来小英的计算也是对的，不过步骤还差一点点！） （3） =.(利用了平方差公式，去掉分母的根号)解题反思：对于二次根式的运算结果，含根号的要化成最简二次根式；且二次根式中有分母，或者分母中有二次根式的，还要进一步分母有理化.即时练习2：（1）计算：=_； =_； =_； =_ （2）化简：； ； . （3） 已知x、y都是实数，且，求的值. 三、反思小结1.二次根式的乘除运算，有时需要把二个根号合在一个根号中来算，有时需要把一个根式分成两个根号来算，其目的都是为了化简二次根式.2.化简二次根式达到的要求：（1）凡根式都是最简二次根式；（2）分母中有根号或根号内有分母的都要分母有理化.本课时达标检测一、基础巩固1.化简的结果是（ ）. A B C D2.计算或化简： （1）； （2）； （3）； （4）-3；（5） ； （6） ； （7）； （8）. 3某液晶显示屏的对角线长为36cm，其长与宽之比为4：3，求该液晶显示器的面积.二、知识拓展4.计算：（1）； （2）； （3）. 5.如果，用含a、b的代数式表示和.三、能力提升6化简二次根式的结果是 .7.计算：（1）； （2）（a0,b0）. 8求（+）（）的值. 第6课时 二次根式的加减法【学习目标】1.了解同类二次根式的定义. 2.能熟练进行二次根式的加减运算.【学习重点】二次根式加减法的运算.【学习过程】一、学习准备1.什么是同类项？ 2.计算：（1）2x - 3x5x ； （2）2x2 - 3x25x2； （3）.二、教材解读 1.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.注意：判断一组式子是否为同类二次根式，只需看化为最简二次根式后的被开方数是否相同，与最简二次式前面的因式及符号无关.如、是同类二次根式；、是同类二次根式.例1，判定下列各组式子是否为同类二次根式.（1）； （2）.解：（1）， 是同类二次根式. （2），是同类二次根式.即时练习1：（1）试观察下列各组式子，哪些是同类二次根式： ； ； ； .与； 与； 与.（2）下列各数：其中：与是同类二次根式的有： ；与是同类二次根式的有： ；与是同类二次根式的有： .2.二次根式的加减 同类二次根式可以合并同类项，利用这个特征，我们可以对二次根式进行加减运算.同类二次根式的合并方法：把根号外系数或字母相加减，根指数和被开方数不变.注意：不是同类二次根式不能合并. 典型错误：.例2，计算：（1）； （2）； （3）.解：（1）=； （2）= = ； （3）=.即时练习2：计算.（1）2+3 ； （2）2-3+5； （3）；（4）+； （5）3-9+3. 三、当堂反思小结 1.判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断.2.二次根式的加减分三个步骤：化化成最简二次根式； 找找出同类二次根式；合合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并.本课时达标测试一、基础巩固1.下列二次根式中：；，与是同类二次根式的是（ ）. A.和 B.和 C.和 D.和2.下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）A.与 B.与 C.与 D.与3.计算：（1）； （2）； （3）； （4）+2+3.二、知识拓展4计算：（1）； （2）；（3）； （4）.三、能力提升5已知最简根式 与 是同类二次根式，则满足条件的 a，b的值（ ）.A不存在 B有一组 C有二组 D多于二组6. 如图所示，面积为48cm2的正方形的四个角是面积为3cm2的小正方形，现将这四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求：（1）这个长方体的高和底面边长分别是多少？ （2）这个纸盒的容积是多少？第7课时 二次根式的混合运算【学习目标】熟练应用二次根式的加减乘除法法、乘法公式进行二次根式的混合运算.【学习重点】熟练进行二次根式的混合运算.【学习过程】一、知识回顾 （1）二次根式的两个重要运算性质是： , （2）二次根式的乘法法则: , .（3）二次根式的除法法则: , .（4）二次根式的加减运算方法：先把各个二次根式 ，再将 合并. 二次根式的运算结果，根式都要求化成 ，根号内有分母或分母中有根号的要求结果要 .2计算：（1） ； （2）（2x2y3xy2）÷xy； （3）（2x3y）（2x -3y）； （4）（2x1）2 （2x1）2.二、教材解读 1.二次根式的混合运算 整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式 例1，计算： （1）（+）× ； （2）（+6）（3-）； （3）； （4）. 解：（1）（+）×=； （2）（+6）（3-）=； （3）=；（平方差公式同样适用） （4）=（完全平方公式也适用）即时练习1：计算.（1）（4-3）÷2； （2）； （3）. （4）··； （5）（2）（-2）；2.综合应用例2，如果最简二次根式 与 是同类二次根式，求m、n 的值. 解：由同次二次根式的定义，它们的被开方数相同，根指数相同，故得：得：，解之得： .即时练习2：已知二次根式与是同类二次根式，试写出三个a的可能值.（提示：，m是不为0的任何有理数）例3，化简：.分析：我们学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3 =（）2，5 =（）2，而，反之， ， =-1.即时练习3：化简：.本课时达标测试 一、基础巩固1.计算：（1） ； （2）（）×； （3）；（4）； （5）；二、知识拓展 2计算：（1） ； （2）（a0,b0）3.已知，求的值. 4. 若最简二次根式 与 是同类二次根式，求m、n的值.三、能力提升A5.计算： . 6化简：.ABCQP7题图7如图所示的RtABC中，B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动问：几秒后PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）