第十三章 波动光学.ppt

第十三章第十三章 波动光学波动光学第十三章 波动光学 13.8信息光学13.9光的偏振态13.10偏振光的获得和检测13.11旋光现象和电磁场的光效应13.12光的吸收色散和散射第十三章 波动光学 13-1光波及其相干条件第十三章 波动光学 一、光波我们曾经用下式表示一列沿x方向传播的平面简谐波波函数y=Acos（tkx+j）,（13-1）第十三章 波动光学 当然也可以用上式来表示光波，它代表了一列无限延续的平面单色光波。单色光就是单一波长的光。但是，这种理想的单色光在实际问题中是很难实现的。我们知道，所谓单色光（monochromaticlight）是光源中原子的特定能量状态发生变化而引起的能量辐射。在普通单色光源发出的光波中，包含了一段段有限长的、而各段之间无固定相位关系的大量余弦波，每一段这样的余弦波都称为波列（wavetrain）。每一个波列是与光源中一个原子的能量状态的变更相对应，当它从特定较高能态跃迁到特定较低能态时，就发出一个波列。发出一个波列之后，这个原子一般不再立即发光。但它若从外界吸收了能量，并由低能态到达高能态，当它再次发生由高能态到低能态的跃迁时，它就会再发出一个波列。就光源中某一个原子而言，它总是随机地和间歇地发出一个又一个波列。光源中大量原子发出的许许多多波列，宏观上就是连续的光波。第十三章 波动光学 在一些实际问题中，准单色光（quasi-monochromaticlight）可以看作为单色光，并近似用式（13-1）来表示。第十三章 波动光学 在上一章中我们已经知道，电磁波是电磁场作周期性变化的传播，是横波（shearwave）,其中的电矢量E和磁矢量B都与传播方向垂直，并且电矢量E与磁矢量B也互相垂直。光是一种电磁波，自然也具有这些性质。不过在光波的电矢量E和磁矢量B这两种振动中，引起感光作用和生理作用的主要是电矢量，所以通常把电矢量E称为光矢量（lightvector），把电矢量E的振动称为光振动（lightvibration）。光波的平均能流密度就是波的强度，即光强（lightintensity），常用I表示,根据电磁波的平均能流密度表示式以及电矢量和磁矢量振幅之间的关系，可以得到I=S=E0H0/2=e/E02/2=nE02/2c,（13-2）第十三章 波动光学 式中c为真空中光速,n为介质的折射率（refractionindex）。在考察同一种介质中光强的相对分布时，常将上式中的常量舍弃而把光强表示为I=E02在平面电磁波波函数中复振幅包含了我们定义光的所有信息，因此波函数成为讨论的核心问题之一。第十三章 波动光学 二、光程波长为l的光在真空中传播了l的路程，其相位的变化为Dj=2pl/l,如果同样的光在折射率为n的介质中传播了x的路程，其相位的变化正好也为Dj，则有Dj=2px/l，其中l 是光在这种介质中的波长。将以上两种情况相比较，立即可以得到l=l x/l,（13-9）由于介质的折射率可以表示为n=c/v，考虑到光波的频率与波长、波速的关系f=c/l=v/l ，所以介质的折射率又可以表示为n=l/l.（13-10）第十三章 波动光学 将式（13-10）代入式（13-9），可以得到l=nx.（13-11）此式表示，光在折射率为n的介质中传播x的路程所引起的相位的变化,与在真空中传播nx的路程所引起的相位的变化是相同的。第十三章 波动光学 根据这个道理，我们把光传播的路程与所在介质折射率的乘积，定义为光程（lightpath），并一般地表示为L=nixi.（13-12）这表示，当光在多种介质中传播时，总的光程L等于光所经过的介质的折射率ni与相应的路程xi的乘积之和。因为光经过相同的光程所需要的时间是相等的，故可证明，物点与像点之间各光线的光程都相等，这就是物像之间的等光程性。所以，在使用透镜或其他的光学仪器成像时，不会引起光程的附加变化。第十三章 波动光学 三、相干条件根据讨论，可将两列光波的相干条件（coherencecondition）表示为：（1）频率相同；（2）存在互相平行的振动分量；（3）具有固定的相位关系。第十三章 波动光学 有了这些条件，相遇点的光强就只决定于干涉项中的k2r2-k1r1这个因子了。现在让我们看一下这个因子的物理意义。k2r2-k1r1=2pr2/l2-2pr1/l1=2p/l（n2r2 n1r1）=2p（l2 l1）/l,（13-15）式中l1和l2分别是两列光波从光源到相遇点P的光程第十三章 波动光学 光程之差D=l2-l1,（13-16）称为光程差（opticalpathdifference）。所以，因子k2r2-k1r1对应于两列光波的光程差D，这就是说，在相遇处各点的光强决定于两列光波到达该点的光程差。第十三章 波动光学 四、获得相干光波的方法从相干条件看，前两条是容易实现的，困难来自第三条。为了满足第三条，可以利用一定的光学系统将同一列光波分解为两部分，让它们通过不同的路径后又重新相遇，实现同一波列自身相干涉的目的。这样的两列光波频率相同，初相位相同，并且可以使它们具有平行的振动分量，只是由于经历了不同的路径而存在一定的光程差，相干条件得到了满足。第十三章 波动光学 分解光波的方法有三种：（1）分波前法：当从同一个点光源或线光源发出的光波到达某平面时，由该平面（即波前）上分离出两部分。杨氏双缝干涉就是采用了这种方法。所谓波前（wavefront），一般是指波场中任一曲面或平面，如感光胶片、光的接收屏、狭缝平面或透镜前后的某个平面等。（2）分振幅法（methodofdividingamplitude）：利用透明薄膜的上下两个表面对入射光进行反射，产生的两束反射光或一束反射光与一束透射光。薄膜干涉和迈克耳孙干涉仪等就采用这种方法。（3）分振动面法：利用某些晶体的双折射性质，可将一束光分解为振动面垂直的两束光。本书对用这种方法获得相干光的干涉现象不作讨论。第十三章 波动光学 13-2分波前干涉第十三章 波动光学 一、杨氏实验杨氏（T.Young,1773-1829）双缝干涉实验是利用分波前法获得相干光束的典型例子。图13-1第十三章 波动光学 杨氏实验的示意图表示于图13-1中。用普通单色光源（如钠光灯）照射小孔S，S就成为点光源，发射球面波。在S之后的对称位置上安放另外两个小孔S1和S2，它们一般是处于同一平面上，这个平面就成了由S发出的球面波的波前。由S1和S2发出的光则是从同一波前上分离出来的两部分，无疑是相干的，它们在空间相遇，将发生干涉现象，屏C上将出现亮暗条纹，这就是干涉条纹。为了提高干涉条纹的清晰度，S、S1和S2分别用三个互相平行的狭缝代替。第十三章 波动光学 红光杨氏干涉的条纹第十三章 波动光学 白光杨氏干涉的条纹第十三章 波动光学 由于S到S1的距离与S到S2的距离相等，所以从S1和S2发出的波的初相位始终相同，光波到达屏C上任意一点的相位差只决定于S1和S2离开点P的距离r1和r2。D=r2-r1，干涉项可以表示为cos2pD/l。点P处于亮条纹上的条件为2pD/l=2kp,即 D=2kl/2，k=0,1,2,（13-17）第十三章 波动光学 点P处于暗条纹上的条件为2pD/l=（2k+1）p,即D=（2k+1）l/2,k=0,1,2,（13-18）现将D所满足的亮暗条件,转变为x所满足的亮暗条件。从图13-1（a）中的几何关系可以得到r22=D2+（x+a）2,r12=D2+（x-a）2,将两式相减，得r22-r12=（r2+r1）（r2-r1）=4ax,.第十三章 波动光学 因为狭缝S1和S2之间的距离2a很小，并且x也必须很小，才能观察到干涉条纹，所以可以近似认为r2+r1=2D，上式变为2DD=4ax,即D=2ax/D.（13-19）将式（13-19）代入式（13-17），便得到点P处于亮条纹中心的条件为x=（D/2a）2k（l/2）,k=0,1,2,（13-20）第十三章 波动光学 式中k表示亮条纹的级次（或光强极大的级次），k=1就称第一级亮条纹，k=2就称第二级亮条纹，依此类推。将式（13-19）代入式（13-18），便得到点P处于暗条纹中心的条件为x=（D/2a）（2k+1）l/2,k=0,1,2,（13-21）于是我们可以从屏C上量出任意一点P相对于水平线O的距离x，根据式（13-20）或式（13-21），决定点P是处于亮条纹上还是处于暗条纹上。第十三章 波动光学 式（13-20）和式（13-21）表明，屏C上出现的干涉条纹是以点O所对应的水平线为对称，沿上下两侧亮暗交替，等距离地排列，如图13-1（b）的照片所示。相邻亮条纹中心或相邻暗条纹中心的距离都是Dl/2a。如果我们从屏上测出第k级亮条纹中心相对于O的距离x，代入式（13-20）,则可由已知的a和D求得光波的波长。这在物理学发展史上第一次为测定光波波长提供了切实可行的方法。第十三章 波动光学 与O所对应的水平线，处于x=0，一定是亮条纹的中心，这条亮条纹称为中央亮条纹。假如用白光照射狭缝S，因为白光中包含了可见光中各种波长的光，干涉花样不再是亮暗交替的条纹，而是各种颜色的彩条。波长越短，条纹间距越小，所以最靠近水平线O的亮条纹应呈紫色，而红光的第一级亮条纹与水平线O的距离，与其他色光的第一级亮条纹相比为最大。而中央亮条纹仍呈白色，因为对于各种波长的光，x=0都满足亮条纹条件。第十三章 波动光学 杨氏实验不仅为观察光的干涉现象提供了十分巧妙的方法，历史上首次为光的波动性提供了有力的实验依据，从此，光的波动理论开始为人们所接受。第十三章 波动光学 第十三章 波动光学 *二、对干涉条纹可见度的分析1.干涉条纹的可见度为了定量描述干涉条纹的清晰程度，我们引入可见度（visibility），定义为V=（ImaxImin）/（Imax+Imin）,（13-22）式中Imax和Imin分别表示光强的极大值和光强的极小值。可见度也称衬比度（contrast）或对比度。V值越大,条纹亮暗对比越明显，清晰度越高。当Imin=0时,暗处完全消光,清晰度为最高，这时V=1。当Imax=Imin时，光场亮暗差别消失,干涉条纹也就不存在了，这时V=0。第十三章 波动光学 2.空间相干性（spatialcoherence）在杨氏实验中，狭缝S1和S2之间的距离2a对干涉条纹的可见度是有很大影响的，距离越大，干涉条纹的可见度就越低，当距离增大到一定值后，干涉条纹的可见度变为零。这种性质是用光场的空间相干性来描述的。具体地说，空间相干性是表示，在波前上多大的横向范围内分离出来的两个子波源S1和S2仍然是相干的。这个横向范围越大，即S1和S2之间的距离越大，光屏上干涉条纹仍然保持一定的可见度，就说明该光场的空间相干性越好。下面我们来探讨S1和S2之间的距离与哪些量有关。第十三章 波动光学 3.时间相干性（temporalcoherence）在上一节我们曾说，任何实际光源，特别是普通光源所发出的单色光都是具有一定波长范围Dl的准单色光。第十三章 波动光学 图13-3第十三章 波动光学 从另一角度看，光波中所包含的波列都具有有限长度而不是无限长的，普通光源中的原子或分子发射波列所持续的时间t0（称为相干时间）一般不超过10-8s，所以波列的长度l0（=ct0，称为相干长度）不超过米的数量级。在杨氏实验中，将同一束光分成两部分，即将同一波列分成两部分，再让两部分经历不同的路径后相遇而发生干涉。这就要求光波的这两部分到达相遇点的光程差不能太大，以保证同一波列的两部分有机会相遇。如果到达相遇点的光程差太大，波列的一部分已经通过，而另一部分尚未到达，同一波列的两部分无重叠，如图13-3所示的情形，干涉现象不可能发生。第十三章 波动光学 图13-4第十三章 波动光学 显然，干涉的必要条件是波列的两部分到达相遇点的光程差应小于波列长度l0。可见，如果波列越长，波列两部分在相遇点互相叠加的时间就越长，干涉条纹的可见度就越高，就说光场的时间相干性越好。由于准单色光光波中总存在一定的波长范围Dl，其中每一波长的光都形成自己的一套干涉条纹，除零级外各套干涉条纹之间都发生相对位移，如图13-4所示，使光屏上的亮条纹出现了一定宽度，以致可见度下降。第十三章 波动光学 13-3分振幅干涉第十三章 波动光学 一、薄膜干涉薄膜干涉（filminterference）是采用分振幅法获得相干光束的。当入射光到达薄膜的表面时，被分解为反射光和折射光。折射光经下表面的反射和上表面的折射，又回到上表面上方的空间，与上表面的反射光交叠而发生干涉。因为反射光和折射光都只携带了入射光的一部分能量，而能量与振幅的平方成正比，所以利用界面将入射光分解而获得相干光束的方法属于分振幅法。薄膜干涉一般分为两类，即等倾干涉和等厚干涉。第十三章 波动光学 1.等倾干涉（equal-inclinationinterference）设一面光源所发出的波长为l的单色光，照射到一折射率为n、厚度为e的均匀透明薄膜上，而薄膜放置在空气或真空中。由光源的S点发出的一束光经薄膜的上、下两个表面反射成为两束光a和b,如图13-5所示。第十三章 波动光学 因为薄膜的厚度均匀，其上、下两个表面互相平行，所以a光和b光将在无限远处交叠并发生干涉。若用透镜会聚，干涉条纹将呈现在透镜的焦面上。在相遇点上光振动的振幅决定于a光和b光之间的光程差。过薄膜上表面b光的折射点C作a光的垂线，并与a光交于D点。由D点和C点到达会聚点的距离相等，光程相等。所以a光与b光的光程差，就是AD与ABC之间的光程差。当光波从折射率较小的介质传播到两种介质的分界面而被分界面反射时，反射波将产生p相位跃变，这种相位突变就是6-7中所说的半波损失。在图13-5中，薄膜的折射率大于空气或真空的折射率，所以反射光a存在半波损失，而由下表面反射的b光不存在半波损失。p的相位对应于半波长的光程。第十三章 波动光学 于是可将a光和b光的光程差表示为D=n（AB+BC）（ADl/2）.（13-32）设光在薄膜上表面A点的入射角为i，折射角为r，则根据图13-5所表示的几何关系，可以求得AB=BC=e/cosr,AD=2etanrsini,由折射定律nsinr=sini可得AD=2nesinrtanr=2nesin2r/cosr,第十三章 波动光学 将以上求得的AB、BC和AD代入式（13-32），并整理得D=2necosr+l/2,（13-33）这就是由薄膜上、下两个表面所形成的反射光a和b之间的光程差公式。由此式可见，对于给定波长的单色光，a与b的光程差决定于薄膜的折射率n、厚度e和折射角r（或入射角i）。当光程差D满足D=2kl/2,k=0,1,2,（13-34）时，a光与b光的相遇点干涉加强，处于亮条纹上；当光程差D满足D=（2k+1）l/2,k=0,1,2,（13-35）时，a光与b光的相遇点干涉减弱，处于暗条纹上。第十三章 波动光学 由式（13-33）可知，对于我们这里讨论的厚度均匀的薄膜，光程差只决定于光在薄膜的入射角i。相同倾角的入射光所形成的反射光，到达相遇点的光程差相同，必定处于同一条干涉条纹上。或者说，处于同一条干涉条纹上的各个光点，是由从光源到薄膜的相同倾角的入射光所形成的，故把这种干涉称为等倾干涉。第十三章 波动光学 （a）（b）图13-6第十三章 波动光学 2.等厚干涉（equalthicknessinterference）如果透明薄膜的厚度不均匀，同时光源离开薄膜较远，观察干涉条纹的范围又较小，以致入射角i可认为不变，那么由式（13-33）所表示的反射光的光程差只决定于薄膜的厚度。所以薄膜上厚度相同的地方的反射光到达相遇点的光程相同，相位相同，必定处于同一条干涉条纹上。或者说，处于同一条干涉条纹上的各个光点，是由薄膜上厚度相同的地方的反射光所形成的，故称这种干涉为等厚干涉。第十三章 波动光学 第十三章 波动光学 在很多实际问题中，光线常常是垂直入射于薄膜表面的，这时i=r=0，式（13-33）可简化为D=2ne+l/2（13-36）在等厚干涉中，干涉条纹不再呈现于无限远处，而是呈现在薄膜表面附近，如图13-6中的点P所示。由于入射光相对薄膜的取向不同，点P可能在薄膜的下方，也可能在薄膜的上方，只要薄膜很薄，光的入射角不大，总可以认为干涉条纹都呈现在薄膜的表面。第十三章 波动光学 第十三章 波动光学 由式（13-33）或式（13-36）可见，等厚干涉条纹的形状决定于薄膜上厚度相等的点的轨迹。对于厚度均匀变化的劈形薄膜，干涉条纹是平行于劈刃的亮暗相间的直线，如图13-7所示。在劈刃AB处厚度e=0，满足干涉减弱的条件，应为暗条纹。若用白光照射，则干涉条纹变为彩条。水面上的油膜和肥皂泡所呈现的艳丽色彩，正是这种干涉的结果。第十三章 波动光学 劈形气隙形成的干涉是一种常见的等厚干涉。第十三章 波动光学 第十三章 波动光学 牛顿环（Newtonring）也是一种常见的等厚干涉，并且有比较重要的应用。第十三章 波动光学 等倾干涉等倾干涉第十三章 波动光学 第十三章 波动光学 二、迈克耳孙干涉仪图13-10第十三章 波动光学 迈克耳孙（A.A.Michelson,1852-1931）干涉仪是利用光的干涉精确测量长度和长度变化的仪器。这种仪器不仅由于迈克耳孙和莫雷曾利用它进行过著名的否定旧以太说的实验（见7-1），在物理学中占有一定地位，而且在近代科学技术中也有重要应用。第十三章 波动光学 图13-10是迈克耳孙干涉仪的光路图。由面光源上一点S发出的光，射到玻璃板G1上，被G1下表面所镀的半透明银膜分解为透射光和反射光。其中透射光透过补偿玻璃板G2，到达固定的平面反射镜M1，并被M1反射，再次透过G2回到G1下表面的银膜，并被银膜反射到观察者的眼睛。而反射光透过G1到达可动的平面反射镜M2，并被反射，透过G1和银膜也到达观察者的眼睛。到达眼睛的这两束光是按分振幅法获得相干光束的，它们将发生等倾干涉或等厚干涉。补偿玻璃板G2与玻璃板G1完全相同,只是底面没镀银膜。放置G2的目的是使两相干光束都三次穿越相同的玻璃板，不致引起额外的光程差。第十三章 波动光学 银膜作为一个平面镜，对固定镜M1所成的虚像应是M1，射到眼睛的两相干光束可视为由M1 和M2所反射。如果M1与M2严格垂直，则M1 与M2严格平行，这时发生的干涉就是等倾干涉，观察到的干涉条纹应是一组亮暗相间的同心圆环。移动可动镜M2，相当于改变M1与M2之间的气隙厚度（L2-L1），干涉环将向里或向外移动。迈克耳孙干涉仪就是在这种情形下使用的。如果M1与M2不严格垂直，则M1 与M2不严格平行，它们之间就形成一劈形气隙，这时发生的干涉就是等厚干涉，观察到的干涉条纹应是一组亮暗相间的直线或弧线。第十三章 波动光学 干涉条纹的位置随可动镜M2的移动而变化，当M2平移的距离为l/2时，干涉环将移过一个条纹。假如M2平移的距离使干涉环移过m个条纹，则M2平移的距离必定为d=ml/2.（13-42）根据这个公式就可以利用迈克耳孙干涉仪测量长度或长度的变化，如果长度已知，则可以测量光波的波长。第十三章 波动光学 13-4惠更斯-菲涅耳原理和衍射现象分类第十三章 波动光学 一、惠更斯-菲涅耳原理图13-13第十三章 波动光学 菲涅耳（A.J.Fresnel,1788-1827）在惠更斯原理的基础上进一步提出，同一波前上各点都可以认为是发射球面子波的波源，空间任一点的光振动是所有这些子波在该点的相干叠加。这就是惠更斯-菲涅耳原理。惠更斯-菲涅耳原理是波动光学的基本原理，是分析和处理衍射问题的理论基础。根据这个原理，衍射现象中出现的亮暗条纹是由于从同一个波前上发出的子波产生干涉的结果。第十三章 波动光学 下面我们进一步阐明惠更斯-菲涅耳原理的意义。(1)图13-13所示的波前S上任一面元dS发出的子波在空间一点P所产生光振动的复振幅应该正比于此面元的面积dS，正比于面元所在点Q的复振幅，而反比于面元到点P的距离r，并且与点P对面元的倾角q有关。另外，dS发出的子波到达点P的相位取决于面元dS到点P的距离r。所以可以表示为(2)dE（P）=CE0（Q）F（q0,q）ejkrdS/r,（13-43）(3)式中C是比例系数，称为倾斜因子，是点P对面元dS的(4)倾角q和点光源对面元dS的倾角q0的函数。第十三章 波动光学 （2）整个波前S在点P所引的光振动的复振幅应等于此波前上所有面元发出的子波在该点的振动的叠加，即E（P）=C E0（Q）F（q0,q）ejkrdS/r,（13-44）上式称为菲涅耳衍射积分公式。第十三章 波动光学 菲涅耳衍射积分公式（13-44）的得出是菲涅耳根据自己的直觉和猜想，缺乏严格的物理和数学论证。为了消除菲涅耳衍射积分公式中的一些人为假定，从而把这个公式建立在更为坚实的理论基础上，历史上曾经有过一些衍射理论，基尔霍夫平面屏衍射理论就是其中之一。基尔霍夫平面屏衍射理论是考虑一无限大不透明平面上的一个面积为S0的孔所引起的衍射问题。为了求得单色点光源发出的光通过孔径S0后在点P引起的光振动（见图13-14），基尔霍夫得到了倾斜因子F（q0,q）和比例系数C的表达式,第十三章 波动光学 于是菲涅耳衍射积分公式成为下面的形式E（P）=i/2lS0E0（Q）（cosq0+cosq）ejkrdS/r,（13-45）这个公式称为菲涅耳-基尔霍夫（G.R.Kirchhoff,1824-1887）衍射积分公式。第十三章 波动光学 二、衍射现象的分类图13-15第十三章 波动光学 在实验室里为了观察衍射现象，总是由光源、衍射屏和接收衍射图样的屏幕（称为接收屏）组成一个衍射系统。为了研究的方便，通常根据衍射系统中三者的相互距离的大小，将衍射现象分为两类，一类称为菲涅耳衍射，另一类称为夫琅禾费（J.Fraunhofer,1787-1826）衍射。第十三章 波动光学 所谓菲涅耳衍射，就是当光源到衍射屏的距离或接收屏到衍射屏的距离不是无限大时，或两者都不是无限大时所发生的衍射现象。可见在菲涅耳衍射中，入射光或衍射光不是平行光，或两者都不是平行光，如图13-15（a）所示。所谓夫琅禾费衍射，就是当光源到衍射屏的距离和接收屏到衍射屏的距离都是无限大时，所发生的衍射现象。可见在夫琅禾费衍射中入射光和衍射到接收屏上任意一点的光都是平行光，如图13-15（b）所示。夫琅禾费衍射的条件在实验室里可借助于透镜实现。将光源放置在会聚透镜L1的焦点上，则从L1透射的光，即衍射孔的入射光就是平行光；同时将接收屏放置在会聚透镜L2的焦面上，则到达接收屏上任意一点的衍射光也是平行光，如图13-15（c）所示。下面我们将要讨论的衍射现象都属于夫琅禾费衍射。第十三章 波动光学 13-5单缝和圆孔的夫琅禾费衍射第十三章 波动光学 一、单缝的夫琅禾费衍射图13-16第十三章 波动光学 假如让一束单色平行光通过宽度可调的缝隙，射到其后的接收屏上，若缝隙的宽度a足够大，接收屏上将出现亮度均匀的光斑。随着缝隙宽度a变小，光斑的宽度也相应变小。但当缝隙宽度小到一定程度时,光斑的区域将变大，并且原来亮度均匀的光斑变成了一系列亮暗相间的条纹，如图13-16所示。根据惠更斯-菲涅耳原理，接收屏上的这些亮暗条纹是由于从同一个波前上发出的子波产生干涉的结果。为满足夫琅禾费衍射的条件，必须将衍射屏放置在两个透镜之间，如图13-15（c）所示。图13-16中的照片就是在接收屏上得到的单缝夫琅禾费衍射图样。第十三章 波动光学 由式（13-49）和图13-20可以看到接收屏上光强分布具有下述特点：（1）接收屏上具有相同a值（或j值）的各点的光强都相同。所以,在单缝夫琅禾费衍射图样中，亮暗条纹都平行于单缝。（2）在透镜主光轴与接收屏的交点处，即点O，衍射角j=0,a=0,光强为最大，这是因为limsina/a=1.这就是前面所说的主极大，光强度为I0。第十三章 波动光学 图13-20第十三章 波动光学 3）当a=kp（k=1,2,）时，即asinj=kl，光强为零，即为暗条纹。第一暗条纹（k=1,a=p）所对应的衍射角为 j0=arcsinl/a.（13-51）（4）中央亮条纹的宽度可用其两侧暗条纹之间的角距离来表示，由于对称性,主极大的角宽度为从点O到第一暗条纹中心的角距离的两倍，所以从点O到第一暗条纹中心的角距离，称为主极大的半角宽度。由图13-20可见，主极大的半角宽度就是第一暗条纹的衍射角j0，近似等于l/a。（5）在两个相邻暗条纹之间有一亮条纹，称为次极大。次极大的位置可以从式（13-48）的微商为零求得。它们依次位于1.43p、2.46p、3.47p、处。第十三章 波动光学 （6）中央亮条纹的宽度等于各次极大的两倍，也就是说，各次极大的角宽度都等于中央亮条纹的半角宽度。并且绝大部分光能都落在了中央亮条纹上。第十三章 波动光学 二、圆孔的夫琅禾费衍射用圆孔代替图13-16中单缝，接收屏上就得到圆孔的夫琅禾费衍射图样。中央是一个明亮的圆斑，集中了衍射光能的83.8%，通常称为艾里斑（irydisk），其中心就是圆孔的几何光学的像点。艾里斑之外则是一组暗亮相间的同心圆环。艾里斑的大小反映了衍射光的弥散程度，而第一暗环的衍射角j0给出了艾里斑的半角宽度。如果圆孔的直径为D，光波波长为l，理论计算可得j0=arcsin1.22l/D1.22l/D.（13-52）第十三章 波动光学 若透镜L的焦距为f，则艾里斑的半径为r0=fj0=1.22lf/D.（13-53）由以上两式可见，艾里斑的大小与衍射孔的孔径D成反比。对于光学仪器而言，总是希望得到清晰的像，这就要求衍射光的弥散程度尽量小，即艾里斑尽量小，所以应该尽可能增大光学仪器的孔径D。第十三章 波动光学 13-6衍射光栅第十三章 波动光学 由大量等宽度、等间距的平行狭缝组成的光学系统，称为衍射光栅（iffractiongrating）。平面透射光栅是衍射光栅的一种，它是由在平面玻璃上刻有许多等宽度、等间距的平行刻痕制成的。刻痕不能透光，而两相邻刻痕之间的光滑部分可以透光，相当于单缝。缝宽度a和刻痕宽度b之和，即d=a+b，称为光栅常量。d越小，表示光栅的性能越好。高性能的光栅,光栅常量d等于10-6m或更小。第十三章 波动光学 下面我们来分析光栅的夫琅禾费衍射。用单色平行光垂直照射光栅G，衍射光经透镜L后，衍射条纹呈现在接收屏C上，如图13-21所示。显然，由每条狭缝射出的光都是狭缝的衍射光，遵从单缝衍射的规律。而由不同狭缝射出的光都是相干光，必定发生干涉。所以，在接收屏上得到的光栅衍射条纹是单缝衍射和缝间干涉的共同结果。我们仍然可以用矢量图解法来分析光栅衍射的光强分布。图13-24画出了N=4、a+b=3a的光栅衍射条纹的光强分布情形。第十三章 波动光学 由式（13-55）和图13-24可以看出,接收屏上光强分布有如下特点:图图 13-24第十三章 波动光学 （1）接收屏上任意一点的光强，等于N条相干光在该点所引起的干涉光强与宽度为a的单缝衍射在该点所引起的光强的乘积。（2）接收屏上出现的主极大的衍射角j应满足b=kp，也就是满足（a+b）sinj=kl，k=0,1,2,（13-57）上式称为光栅方程。光栅方程是决定主极大方向的公式。（3）因受到单缝衍射规律调制的缘故，各个主极大的光强不尽相同。但是由于在主极大方向上满足sinN/sin=N,所以主极大的光强是单缝在该方向光强的N2倍。在单缝宽度一定的情况下，光栅狭缝越多，主极大的光强就越强。第十三章 波动光学 （4）单缝衍射规律的调制作用还表现在有些主极大从接收屏上消失了，即发生了缺级现象。这是因为当j角满足光栅方程（13-57）时，应该出现主极大,但是该j角正好也满足单缝衍射光强极小的条件a=kp，即asinj=kp,k=1,2,3,（13-58）由式（13-57）和式（13-58）解得缺级的主极大的级次应满足k=a+bk/a,（13-59）第十三章 波动光学 例如，当a+b=3a时，k=3,6,各级主极大都消失了，图13-24所画的就是这种情形。第十三章 波动光学 假如用白色平行光照射光栅，其中的各种单色光将各自产生衍射条纹。各种波长的中央亮条纹（k=0）重叠在一起，仍呈白色。在中央亮条纹的两侧对称地排列着各色的第一级亮条纹、第二级亮条纹等，分别称为第一级光谱、第二级光谱等，如图13-25所示，这就形成了光栅光谱。白光垂直射至每毫米约600条的光栅。可以看见0级，1级和2级光谱。由于光线垂直入射，因此0级仍在入射方向上，而1级和2级对0级左右对称，由红光到紫光的排列顺序一目了然第十三章 波动光学 13-7衍射规律的应用第十三章 波动光学 一、光学系统分辨本领的分析图13-26第十三章 波动光学 由几何光学的知识我们知道，一个物点发出的光通过光学系统后，能够得到一个对应的像点。但是光的衍射现象告诉我们，光学系统对物点所成的像，不可能是几何点，而是具有一定大小的光斑，并且在其周围有亮暗交替的环状衍射条纹。如果两个物点的距离很小，对应的光斑互相重叠，即使光学系统的放大率很高，所成的像对眼睛的张角很大，但仍然不能分辨它们。所以说，光的衍射现象限制了光学系统的分辨能力，并且这是光学系统普遍存在的问题。既然如此，我们可以借助于光衍射的规律分析光学系统的分辨本领。第十三章 波动光学 图13-26中画出了两个独立的发光点A1和A2通过光学系统L成像的情况。其中图（a）表示A1和A2相距不太近，它们所成像的中央亮斑相距较远，两个中央亮斑的中心对光学系统L的张角q也较大，人眼可以毫不困难地分辨这两个物点所成的像。图（c）表示A1和A2相距很近，它们所成像的中央亮斑大部分相重叠，亮斑中心对光学系统L的张角q很小，人眼无法分辨这到底是一个物点所成的像还是两个物点所成的像。从图（a）的可以分辨到图（c）的不能分辨之间不存在明显界限。第十三章 波动光学 为了判断光学系统的分辨本领，瑞利提出，可以将A1的衍射图样A1的中央亮斑的中心与A2的衍射图样A2的第一级暗纹的位置相重合的情形作为光学系统L的分辨极限，如图13-26（b）所示。这个分辨极限称为瑞利判据。图13-27是处于分辨极限时的衍射图样照片。这时两个中央亮斑的中心对光学系统L的张角q0，称为光学系统的最小分辨角（angleofminimumresolution）。最小分辨角可由下式表示q0 q0=1.22l /D,（13-60）第十三章 波动光学 式中l是所用光波的波长，D是光学系统的孔径（直径）。最小分辨角q0的倒数，称为光学系统的分辨本领。显然，最小分辨角q0就是艾里斑的半角宽度j0。对于任何光学系统，如果它所观察的物体上最远两点对它的张角小于最小分辨角q0，那么这个系统对该物体实际上是无法分辨的。由式（13-60）可知，要提高光学系统的分辨本领，必须增大光学系统的孔径D，使用波长短的光。显微镜的最大分辨本领取决于物镜的最大分辨本领，要提高物镜的分辨本领，就应增大物镜的孔径，并使用波长短的光观察。增大物镜孔径的余地是有限的，而使用短波光却是提高显微镜分辨本领的有效途径。第十三章 波动光学 紫外光显微镜所使用的紫外光波长在200nm到250nm，这样可使显微镜的分辨本领比使用可见光提高一倍左右。近代物理学表明，一切微观粒子都具有波动性，其波长与其动量成反比。所以，以一定速率运动的电子束，就是一束波，当加速电压为100V时，波长是0.123nm，当加速电压为10000V时，波长可达0.0122nm。可见电子波的波长是很短的，这正是电子显微镜具有高分辨本领的原因。第十三章 波动光学 二、X射线在晶体中的衍射X射线也称伦琴射线，是伦琴（W.C.Rontgen,1845-1923）于1895年发现的。它是在高速电子流轰击金属靶的过程中产生的一种波长极短的电磁辐射（将在16-5中介绍）。X射线的波长处于10-310nm的范围，由于它是不带电的粒子流，所以不受电磁场的作用，并具有很强的穿透能力。第十三章 波动光学 由于X射线的波长极短，通常的衍射光栅对它不起作用。1912年劳厄提出，既然结晶固体中的点阵粒子之间的距离与X射线的波长同数量级，可以把结晶固体作为X射线的天然衍射光栅。这种设想得到了实验验证。当X射线照射到晶体上时，晶体的点阵粒子成为发射X射线的子波波源，称为衍射中心，而各子波射线将发生干涉。衍射X射线在各个方向的强度分布取决于衍射中心的几何分布，即晶体点阵的对称性，正如光学光栅的衍射图样取决于光栅的几何结构，即光栅常量一样。因此，我们可以从晶体的X射线衍射图样中获得关于晶体点阵对称性的信息。第十三章 波动光学 现在让我们看一下一束X射线射到晶体上的情形。被X射线照射的原子作为衍射中心向各个方向衍射X射线（这种情形也称为散射）。理论分析和实验都表明，对于任一确定的晶面而言，各原子所衍射的X射线，只有在符合反射定律的衍射方向上强度为最大，而在其他方向上衍射的X射线强度很弱。对于一组（平行）晶面而言，由不同晶面上“反射”的X射线还要发生干涉。图13-28表示，X射线以掠射角q射到一组晶面上，晶面间距为d，来自不同晶面的“反射线”为1和2。它们的光程差为 D=BC+BD=2dsinq,它们干涉加强的条件是2dsinq=2kl/2,k=1,2,3,（13-61）这就是著名的布拉格公式。第十三章 波动光学 利用X射线对晶体衍射所得到的劳厄相和德拜相可以确定晶体的晶格常数。第十三章 波动光学 *13-8信息光学 第十三章 波动光学 由光路构成的成像系统是用来接收、传递、改变和输出图像的，而图像一般是在二维空间内随空间改变的光信号。这种情形与由电路构成的通讯系统是极其相似的，只不过通讯系统所传输的是随时间而改变的电信号，成像系统所传输的是随空间而改变的光信号罢了。由于这种相似性，可以将通讯系统的一系列概念和方法应用于成像系统，从而形成近代光学的一个重要分支，即信息光学，而光学信息处理和全息照相则是其中的组成部分。这里我们仅就信息光学中的光学信息处理和全息照相的基本内容作简要介绍。第十三章 波动光学 图13-29第十三章 波动光学 一、光学信息处理1.阿贝-波特实验用平行相干光照射一张放置在凸透镜前方的用细丝织成的正交网格（二维光栅），则在透镜后方处于像平面的接收屏上将出现网格的像，如图13-29所示。如果在透镜的像方焦面上放置一块毛玻璃，会发现毛玻璃上显示出规则排列的许多亮点，中央的亮点的亮度最大，越向外亮点的亮度越小。显然，毛玻璃上出现的这些亮点就是网格的夫琅禾费衍射图样，阿贝第十三章 波动光学 把它称为网格的空间频谱。阿贝认为，像平面上出现的网格的像，是组成空间频谱的这些亮点作为子波波源所发出的光在像平面进行相干叠加的结果，这便是阿贝二次衍射成像原理。所谓二次衍射成像，就是从物（网格）到空间频谱是第一次衍射过程，从空间频谱到像是第二次衍射过程。如果用一维透射光栅代替上述网格，那么在透镜的像方焦面上得到的空间频谱是沿垂直于缝长方向排列的一系列亮点，零级在中央，正负各级分别排列在两侧，级次越高的离开中心越远。若让各级光谱经第二次衍射，则会在像平面上得到一维光栅的像。第十三章 波动光学 根据惠更斯-菲涅耳原理可以证明，空间频谱上的复振幅分布是物面透射光的复振幅分布的傅里叶变换，也就是说，空间频谱反映了物面透射光波的傅里叶展式中各分量的频率和强度。例如，一个矩形波可以用傅里叶分析分解为一系列频率为f、3f、5f、7f、的简谐波，一维透射光栅的透射光波就是这样的矩形波，透光部分的透射光振幅等于1，不透光部分的透射光振幅等于0。经傅里叶变换后得到频率为f的基波分量和频率分别为3f、5f、7f、的高次谐波分量，而每一种频率的分量分别对应于空间频谱中的一个亮点，这个亮点的亮度则决定于这种频率分量的振幅。这样看来，透镜就是一个傅里叶变换转换器。第十三章 波动光学 在一般情况下的物面，其振幅分布不再是周期性函数，其傅里叶变换则由许多不同频率分量组成，其空间频谱的花样也不再像正交光栅和一维光栅那样表现为分立的光点（可称为分立谱），而呈现为连续的复杂谱图（可称为连续谱）。第十三章 波动光学 2.空间滤波和4f系统从