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定积分在物理学上的应用09447一、一、变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功设物体在连续变力 F(x)作用下沿 x 轴从 xa 移动到力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.在其上所作的功元素为因此变力F(x)在区间 上所作的功为机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、三、引力问题引力问题质量分别为的质点,相距 r,二者间的引力:大小:方向:沿两质点的连线若考虑物体物体对质点的引力,则需用积分解决.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.设有一长度为 l,线密度为 的均匀细直棒,其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M,该棒对质点的引力.解解:建立坐标系如图.细棒上小段对质点的引力大小为故垂直分力元素为机动 目录 上页 下页 返回 结束 在试计算利用对称性利用对称性棒对质点引力的水平分力机动 目录 上页 下页 返回 结束 故棒对质点的引力大小为棒对质点的引力的垂直分力为 说明说明:2)若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处1)当细棒很长时,可视 l 为无穷大,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒.移到 b(a b)处时克服引力作的功,机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有引力大小为机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意正负号3)当质点位于棒的左端点垂线上时,四、转动惯量四、转动惯量(补充补充)质量为 m 的质点关于轴 l 的转动惯量为的质点系若考虑物体物体的转动惯量,则需用积分解决.机动 目录 上页 下页 返回 结束 关于轴 l 的转动惯量为例例6.求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量;求圆盘对直径所在轴的转动惯量.解解:建立坐标系如图.设圆盘面密度为.小圆环质量对应于的小圆环对轴 l 的转动惯量为故圆盘对轴 l 的转动惯量为机动 目录 上页 下页 返回 结束 设有一个半径为 R,质量为 M 的均匀圆盘,平行 y 轴的细条关于 y 轴的转动惯量元素为细条质量:故圆盘对y 轴的转动惯量为机动 目录 上页 下页 返回 结束 取旋转轴为 y 轴,建立坐标系如图.内容小结内容小结(1)先用微元分析法求出它的微分表达式 dQ一般微元的几何形状有:扇扇、片片、壳壳 等.(2)然后用定积分来表示整体量 Q,并计算之.1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤:2.定积分的物理应用:变力作功,侧压力,引力,转动惯量等.机动 目录 上页 下页 返回 结束 条条、段段、环环、带带、(99考研)思考与练习思考与练习提示提示:作 x 轴如图.1.为清除井底污泥,用缆绳将抓斗放入井底,泥后提出井口,缆绳每在提升过程中污泥以20N/s 的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,问克服重力需作多少焦耳(J)功?已知井深30 m,抓斗自重400N,将抓起污泥的抓斗由机动 目录 上页 下页 返回 结束 抓起污x 提升 dx 所作的功为 米重50N,提升抓斗中的污泥:井深 30 m,抓斗自重 400 N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重 2000N,提升速度为3ms,污泥以 20Ns 的速度从抓斗缝隙中漏掉克服缆绳重:抓斗升至 x 处所需时间:机动 目录 上页 下页 返回 结束 克服抓斗自重:2.设星形线上每一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方,提示提示:如图.在点O 处有一单 位质点,求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.机动 目录 上页 下页 返回 结束 同理故星形线在第一象限的弧段对该质点的习题课 目录 上页 下页 返回 结束 引力大小为作业作业:P287 2,3,5,9,12锐角 取多大时,薄板所受的压力 P 最大.备用题备用题斜边为定长的直角三角形薄板,垂直放置于解解:选取坐标系如图.设斜边长为 l,水中,并使一直角边与水面相齐,则其方程为问斜边与水面交成的机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故得唯一驻点 故此唯一驻点即为所求.由实际意义可知最大值存在,即