线性代数-行列式.ppt

线性代数线性代数-行列式行列式第一章第一章 行列式行列式行列式的定义与性质行列式的定义与性质行列式展开定理行列式展开定理克莱姆法则克莱姆法则用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组1.1.11.1.1二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式1.1 行列式的定义与性质行列式的定义与性质一、二阶行列式一、二阶行列式方程组的解为方程组的解为由方程组的四由方程组的四个系数确定个系数确定.由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表称列）的数表定义定义即即主对角线主对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则1.二阶行列式的计算二阶行列式的计算若记若记对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式当当 时，则二元线性方程组的解为时，则二元线性方程组的解为例例1 1解解二、三阶行列式二、三阶行列式定义定义记记（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的三阶行列式三阶行列式.(1)(1)沙路法沙路法1.1.三阶行列式的计算三阶行列式的计算.列标列标行标行标主对角线主对角线副对角线副对角线(2)(2)对角线法则对角线法则说明说明1 1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式说明说明2 2 三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项,每一项都是位于每一项都是位于不同行不同行,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积,其中三项为其中三项为正正,三项为负三项为负.例例2 2解解按对角线法则，有按对角线法则，有1.1.21.1.2全排列及其逆序数全排列及其逆序数引例引例 用用1、2、3三个数字，可以组成多少个没三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？有重复数字的三位数？解解1 2 3123百位百位3种放法种放法十位十位1231个位个位12 32种放法种放法1种放法种放法种放法种放法.共有共有问题问题定义定义1 把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个个元素的全排列（或排列）元素的全排列（或排列）.个不同的元素的所有排列的种数，通常个不同的元素的所有排列的种数，通常用用 表示表示.由引例由引例同理同理一、全排列一、全排列 定义定义2 在一个排列在一个排列 中，若中，若个元素的先后次序与标准次序不同即数个元素的先后次序与标准次序不同即数则称这两个数组成一个逆序则称这两个数组成一个逆序.例如例如排列排列32514 中，中，我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序,n 个个不同的自然数，规定由小到大为不同的自然数，规定由小到大为标准次序标准次序.二、排列的逆序数二、排列的逆序数3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序定义定义3 一个排列中所有逆序的总数称为此排列一个排列中所有逆序的总数称为此排列的的逆序数逆序数.例如例如 排列排列32514 32514 中，中，3 2 5 1 4逆序数为逆序数为31故此排列的逆序数为故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.3+1+0+1+0=5.逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.1.1.排列的奇偶性排列的奇偶性3 2 5 1 4于是排列于是排列32514的逆序数为的逆序数为分别计算出排列中每个元素前面比它大的数的分别计算出排列中每个元素前面比它大的数的个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数序数.例例1 1 求排列求排列3251432514的逆序数的逆序数.2.2.计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法例例2 2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性偶性.解解此排列为此排列为偶排列偶排列.解解当当 时为偶排列；时为偶排列；当当 时为奇排列时为奇排列.解解当当 为偶数时，排列为偶排列，为偶数时，排列为偶排列，当当 为奇数时，排列为奇排列为奇数时，排列为奇排列.一、对换的定义一、对换的定义定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换例如例如1.1.31.1.3对换对换二、对换与排列的奇偶性的关系二、对换与排列的奇偶性的关系定理定理1 1一个排列中的任意两个元素对换，排列一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性改变奇偶性证明证明设排列为设排列为对换对换 与与除除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变.当当 时，时，的逆序数不变的逆序数不变;经对换后经对换后 的逆序数增加的逆序数增加1,当当 时，时，经对换后经对换后 的逆序数不变的逆序数不变，的逆序数减少的逆序数减少1.（1）相邻对换）相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性奇偶性.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.(2)设排列为设排列为推论推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.一、概念的引入一、概念的引入三阶行列式展开式中的一般项可以写成三阶行列式展开式中的一般项可以写成行标排成标准次序行标排成标准次序1231.1.4 n1.1.4 n阶行列式阶行列式列标列标 是是1，2，3的某个排列的某个排列列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列偶排列奇排列奇排列例如例如:二、二、n n阶行列式的定义阶行列式的定义定义定义1例例1 1计算一阶行列式计算一阶行列式|a|a|说明说明1、行列式是一种特定的算式、行列式是一种特定的算式;3、阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;2、阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;4、一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;5、的符号为的符号为对于对于D中任意一项中任意一项用乘法的交换律可以换成用乘法的交换律可以换成定义定义2 2 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为由定理由定理1的推论的推论其中其中s s为行标排列为行标排列 的逆序数的逆序数.例例2 2计算对角行列式计算对角行列式分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是所以所以 只能等于只能等于 ,同理可得同理可得解解从而从而 不为零，不为零，即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有所以不为零的项只有解解例例3 3 计算上三角行列式计算上三角行列式例例4 4同理可得下三角行列式同理可得下三角行列式例例5 5 证明对角行列式证明对角行列式证明证明第一式是显然的第一式是显然的,下面证第二式下面证第二式.若记若记则依行列式定义则依行列式定义例例6 已知已知解解含含 的项有两项的项有两项,即即对应于对应于1.1.51.1.5行列式的性质行列式的性质行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式.记记例如：例如：证明证明按定义按定义性质性质1.11.1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.性质性质1.21.2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.证明证明设行列式设行列式于是于是则有则有当当 时时,当当 时时,例如例如推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零.证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 故故性质性质1.31.3 行列式的某一行（列）中所有的元素行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数都乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式.推论推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面子可以提到行列式符号的外面问题：问题：（1 1）如果行列式的所有行（或列）中所有元素的）如果行列式的所有行（或列）中所有元素的共同公因子共同公因子k k提到行列式符号的外面，会如何？提到行列式符号的外面，会如何？（2 2）如果行列式的所有行（或列）中所有元素都）如果行列式的所有行（或列）中所有元素都乘以数乘以数k k得到的行列式与原行列式的关系如何？得到的行列式与原行列式的关系如何？性质性质1.行列式中如果有两行（列）元素成比行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零例，则此行列式为零证明证明性质性质1.51.5若行列式的某一列（行）的元素都是若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和两数之和.则则D D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：性质性质1.61.6把行列式的某一列（行）的各元素乘把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列以同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，对应的元素上去，行列式不变行列式不变例如例如计算行列式常用方法：利用运算把行列式计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值例例例例2 2 计算计算 阶行列式阶行列式解解将第将第 列都加到第一列得列都加到第一列得例例3 3证明证明证明证明一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式1.2 行列式展开定理与克莱姆法则行列式展开定理与克莱姆法则1.2.11.2.1行列式展开定理行列式展开定理在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作例例1叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式例例2引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 例如例如二、行列式的展开定理二、行列式的展开定理证明证明(1)当当 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,(2)一般情形一般情形,定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即素与其对应的代数余子式乘积之和，即证明证明例例1 证证用数学归纳法用数学归纳法例例2证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证证同理同理相同相同关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质例例 计算行列式计算行列式解解按第一行展开，得按第一行展开，得例例 计算行列式计算行列式解解例例5 5求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和解解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成设线性方程组设线性方程组则称此方程组为则称此方程组为非齐次线性方程组非齐次线性方程组;此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组.一、非齐次与齐次线性方程组的概念一、非齐次与齐次线性方程组的概念1.2.21.2.2克莱姆法则克莱姆法则二、克拉姆法则二、克拉姆法则如果线性方程组如果线性方程组的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即那么线性方程组那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解可以表为有解，并且解是唯一的，解可以表为其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程组右端列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即证明证明在把在把 个方程依次相加，得个方程依次相加，得由代数余子式的性质可知由代数余子式的性质可知,于是于是当当 时时,方程组方程组 有唯一的一个解有唯一的一个解由于方程组由于方程组 与方程组与方程组 等价等价,故故也是方程组的也是方程组的 解解.例例1 用克拉默则解方程组用克拉默则解方程组解解定理定理4 4 如果线性方程组如果线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则则 一定有解一定有解,且解是唯一的且解是唯一的.定理定理5 5 如果线性方程组如果线性方程组 无解或有两个不同的无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零解，则它的系数行列式必为零.齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理定理定理44 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 的系数行列的系数行列式式 则齐次线性方程组则齐次线性方程组 没有非零解没有非零解.定理定理55 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 有非零解，有非零解，则它的系数行列式必为零则它的系数行列式必为零.有非零解有非零解.系数行列式系数行列式例例2 问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组有非零解？有非零解？解解齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零解，则所以所以 或或 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.