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大学物理大学物理7-5麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布一、一、分子按速率分布分子按速率分布 采用统计的方法，指出在总数为采用统计的方法，指出在总数为N的的分子中，具有各种速率分子各有多少或它分子中，具有各种速率分子各有多少或它们各占分子总数的百分比多大。们各占分子总数的百分比多大。在速率区间足够小的情况下：在速率区间足够小的情况下：或或 速率分布速率分布：速率在：速率在v 到到v+dv之间的分子数之间的分子数dNv是多少或是多少或dNv占分子总数的百分比占分子总数的百分比James Clerk Maxwell(18311879)速率分速率分布函数布函数分子速率在分子速率在 附近单位速率间隔附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比内的分子数占总分子数的百分比分子速率在分子速率在 间隔内的分间隔内的分子数占总分子数的百分比子数占总分子数的百分比 1）f(v)的意义的意义间隔内的分子数间隔内的分子数分子速率在分子速率在曲线下面积恒为曲线下面积恒为1o几何意义几何意义3)归一化性质归一化性质2）f(v)的性质的性质二、麦克斯韦速率分布律二、麦克斯韦速率分布律 在平衡态下，气体分子速率在在平衡态下，气体分子速率在v 到到v+dv区间内的分子数占区间内的分子数占总分子数的百分比为总分子数的百分比为麦克斯韦速率分布函数：麦克斯韦速率分布函数：对一给定的气体对一给定的气体(m0一定一定)，麦克斯韦速率分布函数只和，麦克斯韦速率分布函数只和温温度度有关有关三三.麦氏分布的特点麦氏分布的特点:1.具有速率很小和很大的具有速率很小和很大的 分子数少分子数少.f(v)曲线有一极大值曲线有一极大值vp-最概然速率最概然速率(最可几速率最可几速率)2 f(v)与与T有关有关.当当T,曲线最大值右移曲线最大值右移.曲线变平坦曲线变平坦.即即:T2 T1时时,vp2 vp1麦克斯韦速率分布函数曲线麦克斯韦速率分布函数曲线3.f(v)与分子质量有关与分子质量有关,当分子质量增加时当分子质量增加时,曲线最大曲线最大 值值左移左移.o o1.最概然速率最概然速率最大最大令令得得四、分子速率的三种统计平均值四、分子速率的三种统计平均值意义：在一定温度下，若将速率分成许多相等的速率间隔，分布意义：在一定温度下，若将速率分成许多相等的速率间隔，分布在包含在包含vp在内速率间隔中的分子数最多。或者说，分子的速率以在内速率间隔中的分子数最多。或者说，分子的速率以近似近似vp概率大概率大 o同种分子不同种分子不同温度的速同温度的速率分布率分布 o相同温度下相同温度下不同种类分不同种类分子的速率分子的速率分布布 2）平均速率）平均速率vpvo f(v)四、分子速率的三种统计平均值四、分子速率的三种统计平均值1)1)最概然速率最概然速率 vp 2）平均速率平均速率3）方均根速率方均根速率vpvo f(v)四、分子速率的三种统计平均值四、分子速率的三种统计平均值1)1)最概然速率最概然速率 vp三种速率比较：三种速率比较：(1)(1)用来计算分子平均自由程；用来计算分子平均自由程；用来计算分子平均平动动能。用来计算分子平均平动动能。用来定性分析分子速率分布；用来定性分析分子速率分布；(2)(2)T T1 1=73 K=73 KO O2 2vf(f(v)T T2 2=273 K=273 Kvf(f(v)273273K KO O2 2H H2 21.1.对同一种气体，对同一种气体，三种速率均与三种速率均与 成正比；成正比；温度越温度越高高，分子各种速率均增加，曲线，分子各种速率均增加，曲线右移右移。2.2.同一温度下，不同物质三种速率均与同一温度下，不同物质三种速率均与 成反比。成反比。分子质量越分子质量越小小，速率越大，分布曲线，速率越大，分布曲线右移右移。例例7-5 试求温度为试求温度为T1分子质量为分子质量为m的气体中分子速率倒数的的气体中分子速率倒数的平均值平均值 ，它是否等于，它是否等于？（？（提示：利用积分公式提示：利用积分公式）。）。解解 由统计函数平均值的概念，分子速率倒数的平均值为由统计函数平均值的概念，分子速率倒数的平均值为 式中式中为麦克斯韦速率分布函数，将为麦克斯韦速率分布函数，将代入上式，有代入上式，有 令利用题设积分公式，得令利用题设积分公式，得 又由平均速率又由平均速率 将上式改写为将上式改写为 例例7-6 设设N个粒子的系统的速率分布函数为个粒子的系统的速率分布函数为 试用已知数试用已知数N和和u求出常数求出常数K，并求出速率分布函数的，并求出速率分布函数的平均速率和方均根速率。平均速率和方均根速率。K为常数为常数 解解 （1）由题意，粒子速率分布函数为）由题意，粒子速率分布函数为由归一化条件由归一化条件（2）例例7-7-求求T=293KT=293K时，氢气、氮气、氦气、氧气的方均根速率时，氢气、氮气、氦气、氧气的方均根速率 解解
