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常系数线性微分方程组常系数线性微分方程组一阶一阶常系数非齐次常系数非齐次线性微分方程组线性微分方程组一阶一阶常系数非齐次常系数非齐次线性微分方程组为线性微分方程组为先讨论先讨论(1)的求解的求解即即(1)的基解矩阵的求法的基解矩阵的求法.方法：代数的方法方法：代数的方法2009年6月2南京航空航天大学 理学院 数学系解解例例1 1 2009年6月9南京航空航天大学 理学院 数学系2009年6月10南京航空航天大学 理学院 数学系其通解为其通解为2009年6月11南京航空航天大学 理学院 数学系注注2：A的特征方程有重根时，的特征方程有重根时，但有但有n个线性无关特征向量。个线性无关特征向量。且属于不同特征值共有且属于不同特征值共有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量:是常系数线性微分方程组是常系数线性微分方程组(1)的一个基解矩阵的一个基解矩阵.2009年6月14南京航空航天大学 理学院 数学系解解例例2 2 设设求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量由此由此2009年6月15南京航空航天大学 理学院 数学系2009年6月16南京航空航天大学 理学院 数学系得基础解系为：得基础解系为：由由2009年6月17南京航空航天大学 理学院 数学系故基解矩阵为故基解矩阵为故通解为故通解为2009年6月18南京航空航天大学 理学院 数学系若属于若属于l li的线性无关特征向量个数的线性无关特征向量个数ni如何确定常系数线性微分方程组如何确定常系数线性微分方程组(1)的的ni个个线性无关的特解？线性无关的特解？(2)矩阵矩阵A的线性无关的特征向量的个数的线性无关的特征向量的个数n时时2009年6月19南京航空航天大学 理学院 数学系定理定理3.22009年6月20南京航空航天大学 理学院 数学系说明说明1:其中其中2009年6月21南京航空航天大学 理学院 数学系说明说明2:对应于矩阵对应于矩阵A的每个特征值按定理的每个特征值按定理3.1或或定理定理3.2确定的那些线性无关的特解合起来确定的那些线性无关的特解合起来仍然线性无关，它们就是方程组（仍然线性无关，它们就是方程组（1）的）的一个基本解组。一个基本解组。见见SeeP301定理定理2.32009年6月22南京航空航天大学 理学院 数学系例例3解解 特征方程为特征方程为为求其对应的特征向量为求其对应的特征向量考虑方程组考虑方程组解得解得2009年6月23南京航空航天大学 理学院 数学系由由2009年6月24南京航空航天大学 理学院 数学系其通解为其通解为2009年6月25南京航空航天大学 理学院 数学系其通解为其通解为代入初始条件代入初始条件2009年6月26南京航空航天大学 理学院 数学系例例4求方程组求方程组满足初始条件解解这里系数矩阵这里系数矩阵特征根为2009年6月27南京航空航天大学 理学院 数学系我们需要考虑下面方程我们需要考虑下面方程和和首先讨论首先讨论这个方程组的一个基解为这个方程组的一个基解为其次其次2009年6月28南京航空航天大学 理学院 数学系其通解为其通解为2009年6月29南京航空航天大学 理学院 数学系其通解为其通解为2009年6月30南京航空航天大学 理学院 数学系其特解为其特解为2009年6月31南京航空航天大学 理学院 数学系(3)矩阵矩阵A有复特征值有复特征值例例5解解的根的根,2009年6月32南京航空航天大学 理学院 数学系解得解得2009年6月33南京航空航天大学 理学院 数学系2009年6月34南京航空航天大学 理学院 数学系其中其中，它的特征值中可能有共轭复数，它的特征值中可能有共轭复数，特征向量可能是复向量。，特征向量可能是复向量。将线性无关的复向量值函数将线性无关的复向量值函数线性无关的实向量值函数。线性无关的实向量值函数。结论结论SeeP3042009年6月35南京航空航天大学 理学院 数学系3.2 3.2 常系数非齐次线性微分方程组常系数非齐次线性微分方程组复习复习 由第由第7.2节节的一个满足的一个满足的特解的特解其通解为其通解为满足满足的特解的特解2009年6月36南京航空航天大学 理学院 数学系下面研究常系数非齐线性微分方程组下面研究常系数非齐线性微分方程组定理定理3.4常系数非齐线性微分方程组常系数非齐线性微分方程组(5)的通解为的通解为满足满足的特解的特解（6）（7）证明见证明见P3072009年6月37南京航空航天大学 理学院 数学系解解由例由例5知知故初值问题的解为故初值问题的解为例例6 设设的解的解.2009年6月38南京航空航天大学 理学院 数学系故初值问题的解为故初值问题的解为2009年6月39南京航空航天大学 理学院 数学系注意：注意：若基解矩阵不满足定理若基解矩阵不满足定理3.4中条件中条件seeP308的例的例3.62009年6月40南京航空航天大学 理学院 数学系1.常系数齐次线性微分方程组常系数齐次线性微分方程组的求解步骤的求解步骤小结小结(1)写出矩阵写出矩阵A的特征方程的特征方程求出特征值求出特征值l.l.(2)代入特征值代入特征值l li,作矩阵作矩阵A-l liE的初等行变换，的初等行变换，求出求出A的属于特征值的属于特征值l li的特征向量的特征向量2009年6月41南京航空航天大学 理学院 数学系(3)代入特征值代入特征值l li,作矩阵作矩阵A-l liE的初等行变换，的初等行变换，求出求出A的属于特征值的属于特征值l li的特征向量的特征向量(i)(ii)2009年6月42南京航空航天大学 理学院 数学系(iii)应用公式计算应用公式计算若属于若属于l li的线性无关特征向量个数的线性无关特征向量个数ni2009年6月43南京航空航天大学 理学院 数学系2.常系数常系数非齐次非齐次线性微分方程组的求解线性微分方程组的求解常系数非齐线性微分方程组常系数非齐线性微分方程组的通解的通解2009年6月44南京航空航天大学 理学院 数学系解解故齐次方程组的基解矩阵为故齐次方程组的基解矩阵为2009年6月45南京航空航天大学 理学院 数学系2009年6月46南京航空航天大学 理学院 数学系解解2009年6月47南京航空航天大学 理学院 数学系，故所求方程组的通解为，故所求方程组的通解为2009年6月48南京航空航天大学 理学院 数学系结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！49
