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晶体结构：原子规则排列，主要体现是原子排列具有周期晶体结构：原子规则排列，主要体现是原子排列具有周期性，或者称长程有序。有此排列结构的材料为晶体。性，或者称长程有序。有此排列结构的材料为晶体。晶体中原子、分子规则排列的结果使晶体具有规则的几何晶体中原子、分子规则排列的结果使晶体具有规则的几何外形，外形，X射线衍射已证明这一结论。射线衍射已证明这一结论。非晶体结构：不具有长程有序。有此排列结构的材料为非非晶体结构：不具有长程有序。有此排列结构的材料为非晶体。晶体。了解固体结构的意义：了解固体结构的意义：固体中原子排列形式是探讨固体固体中原子排列形式是探讨固体材料宏观性质和各种微观过程的基础。材料宏观性质和各种微观过程的基础。晶体结构晶体结构固体的结构分为：固体的结构分为：非晶体结构非晶体结构 多晶体结构多晶体结构 1.1 晶体结构晶体结构1.1.1 空间点阵空间点阵1.1.2 密勒指数密勒指数1.1.3 倒格子倒格子晶体内部结构概括为是由一些相同点子在空间晶体内部结构概括为是由一些相同点子在空间有规则作周期性无限分布，这些点子的总体称有规则作周期性无限分布，这些点子的总体称为点阵。为点阵。（该学说正确地反映了晶体内部结构长程有序（该学说正确地反映了晶体内部结构长程有序特征，后来被空间群理论充溢发展为空间点阵特征，后来被空间群理论充溢发展为空间点阵学说，形成近代关于晶体几何结构的完备理论。）学说，形成近代关于晶体几何结构的完备理论。）1.1.1 空空 间间 点点 阵阵一、布喇菲的空间点阵学说一、布喇菲的空间点阵学说关于结点的说明：关于结点的说明：当晶体是由完全相同的一种原子组成，结点可以是原子本身位置。当晶体是由完全相同的一种原子组成，结点可以是原子本身位置。当晶体中含有数种原子，这数种原子构成基本结构单元（基元），当晶体中含有数种原子，这数种原子构成基本结构单元（基元），结点可以代表基元重心，缘由是全部基元的重心都是结构中相同结点可以代表基元重心，缘由是全部基元的重心都是结构中相同位置，也可以代表基元中随意点子位置，也可以代表基元中随意点子 结点示例图结点示例图1.点子点子空间点阵学说中所称的点子，代表着结构中相同的位空间点阵学说中所称的点子，代表着结构中相同的位置，也为结点，也可以代表原子四周相应点的位置。置，也为结点，也可以代表原子四周相应点的位置。晶体由基元沿空间三个不同方向，各按确定的距离周期晶体由基元沿空间三个不同方向，各按确定的距离周期性地平移而构成，基元每一平移距离称为周期。性地平移而构成，基元每一平移距离称为周期。在确定方向有着确定周期，不同方向上周期一在确定方向有着确定周期，不同方向上周期一 般不相同。般不相同。基元平移结果：点阵中每个结点四周状况都一样。基元平移结果：点阵中每个结点四周状况都一样。2.点阵学说概括了晶体结构的周期性点阵学说概括了晶体结构的周期性3.晶格的形成晶格的形成通过点阵中的结点，可以作很多平行的直线族通过点阵中的结点，可以作很多平行的直线族和平行的晶面族，点阵成为一些网格和平行的晶面族，点阵成为一些网格-晶晶格。格。平行六面体平行六面体原胞概念的引出：原胞概念的引出：由于晶格晶格周期性，可取一个以结点结点为顶点，边长等于该方向上的周期周期的平行六面体作为重复单元，来概括晶格的特征。即每个方向不能是一个结点（或原子）本身，而是一即每个方向不能是一个结点（或原子）本身，而是一个结点个结点（或原子）加上周期长度为原子）加上周期长度为a的区域，其中的区域，其中a叫叫做基矢做基矢。这样的重复单元重复单元称为原胞原胞。原胞（重复单元）的选取规则原胞（重复单元）的选取规则 反映周期性特征：只需概括空间三个方向上的周期大小，反映周期性特征：只需概括空间三个方向上的周期大小，原胞可以取最小重复单元（物理学原胞），结点只在顶原胞可以取最小重复单元（物理学原胞），结点只在顶角上。角上。反映对称性特征：反映对称性特征：晶体都具有自己特殊对称性。晶体都具有自己特殊对称性。结晶学上所取原胞体积不确定最小，结点不确定只在顶结晶学上所取原胞体积不确定最小，结点不确定只在顶角上，可以在体心或面心上（晶体学原胞）；角上，可以在体心或面心上（晶体学原胞）；原胞边长总是一个周期，并各沿三个晶轴方向；原胞边长总是一个周期，并各沿三个晶轴方向；原胞体积为物理学原胞体积的整数倍数。原胞体积为物理学原胞体积的整数倍数。引出物理学原胞的意义：引出物理学原胞的意义：三维格子的周期性可用数学的形式表示如下：三维格子的周期性可用数学的形式表示如下：T(r)=T(r+l1a1+l2a2+l2a3)r为重复单元中随意处的矢量；为重复单元中随意处的矢量；T为晶格中随意物为晶格中随意物理量；理量；l1、l2、l3是整数，是整数，a1、a2、a3是重复单元的边是重复单元的边长矢量。长矢量。为进行固体物理学中的计算带来很大的便利。为进行固体物理学中的计算带来很大的便利。位矢位矢RrR+r不喇菲点阵的特点：不喇菲点阵的特点：每点四周状况都一样。是由一个结点沿三维空间周每点四周状况都一样。是由一个结点沿三维空间周期性平移形成，为了直观，可以取一些特殊的重复期性平移形成，为了直观，可以取一些特殊的重复单元（结晶学原胞）。单元（结晶学原胞）。完全由相同的一种原子组成，则这种原子组成完全由相同的一种原子组成，则这种原子组成的网格为不喇菲格子，和结点所组成的网格相同。的网格为不喇菲格子，和结点所组成的网格相同。晶体的基元中包含两种或两种以上原子，每个晶体的基元中包含两种或两种以上原子，每个基元中，相应的同种原子各构成和结点相同网格基元中，相应的同种原子各构成和结点相同网格-子晶格（或亚晶格）。子晶格（或亚晶格）。复式格子（或晶体格子）是由全部相同结构子复式格子（或晶体格子）是由全部相同结构子晶格相互位移套构形成。晶格相互位移套构形成。4 .结点的总体结点的总体-不喇菲点阵或不喇菲格子不喇菲点阵或不喇菲格子晶体格子（简称晶格）：晶体中原子排列的具体形晶体格子（简称晶格）：晶体中原子排列的具体形式。式。原子规则积累的意义：把晶格设想成为原子规则积原子规则积累的意义：把晶格设想成为原子规则积累，有助于理解晶格组成，晶体结构及与其有关的累，有助于理解晶格组成，晶体结构及与其有关的性能等。性能等。二二、晶晶 格格 的的 实实 例例1.简洁立方晶格简洁立方晶格2.体心立方晶格体心立方晶格3.原子球最紧密排列的两种方式原子球最紧密排列的两种方式特点：特点：层内为正方排列，是原子球规则排列的最简洁形式；层内为正方排列，是原子球规则排列的最简洁形式；原子层叠起来，各层球完全对应，形成简洁立方晶格；原子层叠起来，各层球完全对应，形成简洁立方晶格；这种晶格在实际晶体中不存在，但是一些更困难的晶格这种晶格在实际晶体中不存在，但是一些更困难的晶格可以在简洁立方晶格基础上加以分析。可以在简洁立方晶格基础上加以分析。原子球的正方排列原子球的正方排列简洁立方晶格典型单元简洁立方晶格典型单元1.简洁立方晶格简洁立方晶格简洁立方晶格的原子球心形成一个三维立方格子结简洁立方晶格的原子球心形成一个三维立方格子结构，整个晶格可以看作是这样一个典型单元沿着三构，整个晶格可以看作是这样一个典型单元沿着三个方向重复排列构成的结果。个方向重复排列构成的结果。简洁立方晶格单元沿着三个方向重复排列构成的图形简洁立方晶格单元沿着三个方向重复排列构成的图形2.体心立方晶格体心立方晶格 体心立方晶格的典型单元体心立方晶格的典型单元排列规则：层与层积累方式是上面一层原子球心对排列规则：层与层积累方式是上面一层原子球心对准下面一层球隙，下层球心的排列位置用准下面一层球隙，下层球心的排列位置用A标记，标记，上面一层球心的排列位置用上面一层球心的排列位置用B标记，体心立方晶格标记，体心立方晶格中正方排列原子层之间的积累方式可以表示为中正方排列原子层之间的积累方式可以表示为：AB AB AB AB体心立方晶格的积累方式体心立方晶格的积累方式体心立方晶格的特点：体心立方晶格的特点：为了保证同一层中原子球间的距离等于为了保证同一层中原子球间的距离等于A-A层之间的层之间的距离，正方排列的原子球并不是紧密靠在一起；距离，正方排列的原子球并不是紧密靠在一起；由几何关系证明，间隙由几何关系证明，间隙=0.31r0，r0为原子球的半径。为原子球的半径。具有体心立方晶格结构的金属：具有体心立方晶格结构的金属：Li、Na、K、Rb、Cs、Fe等，等，密排面：原子球在该平面内以最紧密方式排列。密排面：原子球在该平面内以最紧密方式排列。积累方式：在积累时把一层的球心对准另一层球隙，积累方式：在积累时把一层的球心对准另一层球隙，获得最紧密积累，可以形成两种不同最紧密晶格排列。获得最紧密积累，可以形成两种不同最紧密晶格排列。AB AB AB排列排列（六角密排晶格）（六角密排晶格）ABC ABC ABC排列排列（立方密堆）（立方密堆）3.原子球最紧密排列的两种方式原子球最紧密排列的两种方式前一种为六角密排晶格，（如前一种为六角密排晶格，（如Be、Mg、Zn、Cd），），后一种晶格为立方密排晶格，或面心立方晶格（如后一种晶格为立方密排晶格，或面心立方晶格（如Cu、Ag、Au、Al）面心立方晶格面心立方晶格 （立方密排晶格）（立方密排晶格）面心（面心（111）以立方密堆方式排列以立方密堆方式排列 面心立方晶体（立方密排晶格）面心立方晶体（立方密排晶格）六方密堆晶格的原胞六方密堆晶格的原胞三三、不喇菲格子与复式格子、不喇菲格子与复式格子四四把基元只有一个原子的晶格，叫做不喇菲把基元只有一个原子的晶格，叫做不喇菲格子；格子；五五把基元包含两个或两个以上原子的，叫做把基元包含两个或两个以上原子的，叫做复式格子。复式格子。六六注：假如晶体由一种原子构成，但在晶体注：假如晶体由一种原子构成，但在晶体中原子四周的状况并不相同（例如用中原子四周的状况并不相同（例如用X射射线方法，鉴别出原子四周电子云的分布不线方法，鉴别出原子四周电子云的分布不一样），则这样的晶格虽由一种原子组成，一样），则这样的晶格虽由一种原子组成，但不是不喇菲格子，而是复式格子。原胞但不是不喇菲格子，而是复式格子。原胞中包含两个原子。中包含两个原子。1.氯化钠结构氯化钠结构 表示钠表示钠 表示氯表示氯钠离子与氯离子钠离子与氯离子分别构成面心立分别构成面心立方格子，氯化钠方格子，氯化钠结构是由这两种结构是由这两种格子相互平移确格子相互平移确定距离套购而成。定距离套购而成。2.氯化铯结构氯化铯结构 表示表示Cs。表示表示Cl3.钙钛矿型钙钛矿型 结构结构 表示表示Ba 表示O 表示表示Ti结晶学原胞结晶学原胞 氧八面体氧八面体基元中随意点子或结点作周期性重复的晶体结构基元中随意点子或结点作周期性重复的晶体结构复式原胞复式原胞重复的重复的晶体结构晶体结构 五个子晶胞五个子晶胞注：注：结点的概念以及结点所组成的不喇菲格子的概念，结点的概念以及结点所组成的不喇菲格子的概念，对于反映晶体中的周期性是很有用的。对于反映晶体中的周期性是很有用的。基元中不同原子所构成的集体运动常可概括为复式基元中不同原子所构成的集体运动常可概括为复式格子中各个子晶格之间的相对运动。格子中各个子晶格之间的相对运动。固体物理在探讨晶体内部粒子的集体运动时，对于固体物理在探讨晶体内部粒子的集体运动时，对于基元中包含两个或两个以上原子的晶体，复式格子基元中包含两个或两个以上原子的晶体，复式格子的概念显得重要，的概念显得重要，四、结晶学原胞与固体物理学原胞间的相互转化四、结晶学原胞与固体物理学原胞间的相互转化 简立方简立方 体立方体立方 面心立方面心立方 立方晶系不喇菲原胞立方晶系不喇菲原胞原胞的基矢为：原胞的基矢为：a1=ia,a2=ja,a3=ka结晶学中，属于立方晶系的不喇菲原胞有简结晶学中，属于立方晶系的不喇菲原胞有简立方、体心立方和面心立方。立方、体心立方和面心立方。1.简立方简立方2.体心立方体心立方固体物理学的原胞基矢与结晶学原胞基矢的关系：固体物理学的原胞基矢与结晶学原胞基矢的关系：a1=(-i+j+k)a2 a2=(k+i-j)a2 a3=(i+j-k)a2体积关系：结晶学原胞的体积是物理学原胞的体积关系：结晶学原胞的体积是物理学原胞的2倍。缘由是结晶学原胞中含有两个原子，而物理倍。缘由是结晶学原胞中含有两个原子，而物理学原胞中含有一个原子。学原胞中含有一个原子。R=l1a1+l2a2+l2a3R=2a1+a2+a3R物理物理=a2+a3R结晶结晶=(1/2)a+(1/2)a+a=(1/2)(a+a+2a)3.面心立方面心立方a1a2a34.六角密堆六角密堆固体物理学的原胞基矢与结固体物理学的原胞基矢与结晶学原胞基矢的关系：晶学原胞基矢的关系：a1=(j+k)a2 a2=(k+i)a2 a3=(i+j)a2体积关系：结晶学原胞的体积是物理学原胞的体积关系：结晶学原胞的体积是物理学原胞的4倍。倍。缘由是结晶学原胞中含有缘由是结晶学原胞中含有4个原子，而物理学原胞中个原子，而物理学原胞中含有一个原子。含有一个原子。1.1.2 密密 勒勒 指指 数数一、晶列一、晶列 1.晶列晶列通过随意两个格点连始终线，则这始终线包含无限通过随意两个格点连始终线，则这始终线包含无限个相同格点，这样的直线称为晶列，也是晶体外表个相同格点，这样的直线称为晶列，也是晶体外表上所见的晶棱。其上的格点分布具有确定的周期上所见的晶棱。其上的格点分布具有确定的周期-随意两相邻格点的间距。随意两相邻格点的间距。1.晶列的特点（1）一族平行晶列把全部点 包括无遗。（2）在一平面中，同族的相邻晶列之间的距离相等。（3）通过一格点可以有无限 多个晶列，其中每一晶列都有一族平行的晶列与之对应。（4）有无限多族平行晶列。-。晶面的特点：晶面的特点：（1）通过任一格点，可以作全同的晶面与一晶面平）通过任一格点，可以作全同的晶面与一晶面平行，构成一族平行晶面行，构成一族平行晶面.（2）全部的格点都在一族平行的晶面上而无遗漏；）全部的格点都在一族平行的晶面上而无遗漏；（3）一族晶面平行且等距，各晶面上格点分布状况）一族晶面平行且等距，各晶面上格点分布状况相同；相同；（4）晶格中有无限多族的平行晶面。）晶格中有无限多族的平行晶面。二、晶面二、晶面三、晶向三、晶向 一族晶列的特点是晶列的取向，该取向为晶向；一族晶列的特点是晶列的取向，该取向为晶向；同样一族晶面的特点也由取向确定，因此无论对于晶同样一族晶面的特点也由取向确定，因此无论对于晶列或晶面，只需标记其取向。列或晶面，只需标记其取向。注：为明确起见，下面仍只探讨物理学的不喇菲格子。注：为明确起见，下面仍只探讨物理学的不喇菲格子。任一格点任一格点 A的位矢的位矢Rl为为 Rl=l1a1+l2a2+l3a3式中式中l1、l2、l3是整数。若互质，干脆用他们来表征晶列是整数。若互质，干脆用他们来表征晶列OA的方的方向（晶向），这三个互质整数为晶列的指数，记以向（晶向），这三个互质整数为晶列的指数，记以 l1，l2，l3同样，在结晶学上，原胞不是最小的重复单元，而原胞的体积是同样，在结晶学上，原胞不是最小的重复单元，而原胞的体积是最小重复简洁整数倍，以任一格点最小重复简洁整数倍，以任一格点o为原点，为原点，a、b、c为基矢，任为基矢，任何其他格点何其他格点A的位矢为的位矢为 k ma+knb+kpc其中其中m、n、p为三个互质整数，于是用为三个互质整数，于是用m、n、p来表示晶列来表示晶列OA的方向，记以的方向，记以nmp。1.晶列指数晶列指数 （晶列方向的表示方法）（晶列方向的表示方法）ORlAa1a2a3表示晶面的方法，即方位：表示晶面的方法，即方位：在一个坐标系中用该平在一个坐标系中用该平面的法线方向的余弦；或表示出这平面在座标轴上的面的法线方向的余弦；或表示出这平面在座标轴上的截距。截距。a1a2a3设这一族晶面的面间距为设这一族晶面的面间距为d，它，它的法线方向的单位矢量为的法线方向的单位矢量为n，则这族晶面中，离开原点的距离则这族晶面中，离开原点的距离等于等于 d的晶面的方程式为：的晶面的方程式为：R n=d为整数；为整数；R是晶面上的随意点的是晶面上的随意点的位矢。位矢。R2.密勒指数（密勒指数（晶面方向的表示方法）晶面方向的表示方法）设此晶面与三个座标轴的交点的位矢分别为设此晶面与三个座标轴的交点的位矢分别为ra1、sa2、ta3,代入上式，则有代入上式，则有 ra1cos(a1,n)=d sa2cos(a2,n)=d ta3cos(a3,n)=da1、a2、a3取单位长度，则得取单位长度，则得cos(a1,n)：cos(a2,n)：cos(a3,n)=1r：1s：1t结论：晶面的法线方向结论：晶面的法线方向n与三个坐标轴（基矢）的夹角与三个坐标轴（基矢）的夹角的余弦之比等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。的余弦之比等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。已知一族晶面必包含全部的格点已知一族晶面必包含全部的格点，因此在三个基矢，因此在三个基矢末端的格点必分别落在该族的不同的晶面上。末端的格点必分别落在该族的不同的晶面上。设设a1、a2、a3的末端上的格点分别在离原点的距离的末端上的格点分别在离原点的距离为为h1d、h2d、h3d的晶面上，其中的晶面上，其中h1、h2、h3都是整都是整数，三个晶面分别有数，三个晶面分别有 a1n=h1d,a2n=h2d,a3n=h3dn是这一族晶面公共法线的单位矢量，于是是这一族晶面公共法线的单位矢量，于是 a1cos(a1,n)=h1d a2cos(a2,n)=h2d a3cos(a3,n)=h3d证明截距的倒数之比为证明截距的倒数之比为整数之比整数之比cos(a1,n)：cos(a2,n)：cos(a3,n)=h1：h2：h3结论：结论：晶面族的法线与三个基矢的夹角的余弦之比等晶面族的法线与三个基矢的夹角的余弦之比等于三个整数之比。于三个整数之比。可以证明可以证明：h1、h2、h3三个数互质，称它们为该晶面族三个数互质，称它们为该晶面族的面指数，记以（的面指数，记以（h1h2h3）。）。即把晶面在座标轴上的截距的倒数的比简约为互质的整即把晶面在座标轴上的截距的倒数的比简约为互质的整数比，所得的互质整数就是面指数。数比，所得的互质整数就是面指数。几何意义几何意义：在基矢的两端各有一个晶面通过，且这两个在基矢的两端各有一个晶面通过，且这两个晶面为同族晶面，在二者之间存在晶面为同族晶面，在二者之间存在hn个晶面，所以最靠个晶面，所以最靠近原点的晶面（近原点的晶面（=1）在坐标轴上的截距为在坐标轴上的截距为a1/h1、a2/h2、a3/h3,同族的其他晶面的截距为这组截距的整数倍。同族的其他晶面的截距为这组截距的整数倍。实际工作中，常以结晶学原胞的基矢实际工作中，常以结晶学原胞的基矢a、b、c为坐标为坐标轴来表示面指数。在这样的坐标系中，标征晶面取向轴来表示面指数。在这样的坐标系中，标征晶面取向的互质整数称为晶面族的密勒指数，用的互质整数称为晶面族的密勒指数，用(hkl)表示。表示。例如：例如：有一有一ABC面，截距为面，截距为4a、b、c,截距的倒数为截距的倒数为1/4、1、1，它的密勒指数为（，它的密勒指数为（1，4，4）。）。另有一晶面，截距为另有一晶面，截距为2a、4b、c,截距的倒数为截距的倒数为1/2、1/4、0，它的密勒指数为（，它的密勒指数为（2、1、0）。）。简洁晶面指数的特点：简洁晶面指数的特点：晶轴本身的晶列指数特殊简洁，为晶轴本身的晶列指数特殊简洁，为100、010、001；晶体中重要的带轴的指数都是简洁的；晶体中重要的带轴的指数都是简洁的；晶面指数简洁的晶面如（晶面指数简洁的晶面如（110）、）、（111）是重要的晶面；）是重要的晶面；晶面指数越简洁的晶面，面间距晶面指数越简洁的晶面，面间距d就越就越大，格点的面密度大，易于解理；大，格点的面密度大，易于解理；格点的面密度大，表面能小，在晶体格点的面密度大，表面能小，在晶体生长过程中易于显露在外表；对生长过程中易于显露在外表；对X射线的散射线的散射强，在射强，在X射线衍射中，往往为照片中的浓射线衍射中，往往为照片中的浓黑斑点所对应。黑斑点所对应。1.1.3 倒倒 格格 子子条件：条件：X射线源、观测点与晶体的距离都比晶体的线度大的射线源、观测点与晶体的距离都比晶体的线度大的多，入射线和衍射线可看成平行光线；多，入射线和衍射线可看成平行光线；散射前后的波长不变散射前后的波长不变,且为单色。且为单色。一、从一、从X射线衍射方程射线衍射方程 反射公式引出倒反射公式引出倒 格矢概念格矢概念CO=-Rl S0 OD=Rl S衍射加强条件：衍射加强条件：Rl（SS0）=有有：ko=(2/)S0 k=(2/)S得得：Rl （kk0）=2 设设：kk0=n Khkk0=n Kh的物理意义：当入射波矢和衍射波矢相差一个或几个的物理意义：当入射波矢和衍射波矢相差一个或几个Kh（倒格矢）时，满足衍射加强条件，（倒格矢）时，满足衍射加强条件，n为衍射级数。为衍射级数。1.衍射方程衍射方程CRlD衍射线单位基矢衍射线单位基矢S OA入射线单位基矢入射线单位基矢S0晶面晶面2.反射公式反射公式|kk0|=2|S/-S0/|=(4/)sin|kk0|=|n Kh|=2n/dh1h2h3|Kh|=2/dh1h2h3PA TAP QQ Sd入射线与反射线之间的光程差：入射线与反射线之间的光程差：=SA+A T=2d sin 满足衍射方程：满足衍射方程：2dh1h2h3 sin =n kk0kk0设一晶格的基矢为设一晶格的基矢为 a1、a2、a3，有如下的关系：有如下的关系：b1=2(a2 a3)说明说明b1垂直于垂直于a2和和a3所确定的面；所确定的面；b2=2(a3 a1)说明说明b2垂直于垂直于a3和和a1所确定的面所确定的面 b3=2(a1 a2 说明说明b3垂直于垂直于a1和和a2所确定的面所确定的面 式中：式中：=a1(a2 a3)为晶格原胞的体积。为晶格原胞的体积。二、倒格子的概念二、倒格子的概念1.倒格子的数学定义倒格子的数学定义倒格子倒格子：以以b1、b2、b3为基矢的格子是以为基矢的格子是以a1、a2、a3为基矢的格子的倒格子。为基矢的格子的倒格子。（1）正格子基矢和倒格子基矢的关系正格子基矢和倒格子基矢的关系2.正格子与倒格子的几何关系正格子与倒格子的几何关系 =2 (i=j)aibj=2i j =0 (i j)证明如下证明如下：a1b1=2 a1(a2 a3)/a1(a2 a3)=2 因为倒格子基矢与不同下脚标的正格子基矢垂直，有因为倒格子基矢与不同下脚标的正格子基矢垂直，有：a2b1=0 a3b1=0 （2）除（）除（2）3因子外，正格子原胞体积因子外，正格子原胞体积 和倒和倒格子原胞体积格子原胞体积*互为倒数互为倒数。*=b1(b2 b3)=(2）3/表示正格点表示正格点 表示倒格点表示倒格点ABC为为一族晶面（一族晶面（h1h2h3）中的最靠）中的最靠近原点的晶面，与近原点的晶面，与 k h垂直垂直a1a2a3BCAk ha1/h1a3/h3a2/h2（3）正格子中一族晶面）正格子中一族晶面（h1h2h3）和倒格矢和倒格矢 k h=h1b1+h2b2+h3b3 正交，正交，即即晶面的弥勒指数是垂直于该晶面的最短倒格矢坐标晶面的弥勒指数是垂直于该晶面的最短倒格矢坐标.由（由（3）、（）、（4）可知，一个倒格矢代表正格子中的一族）可知，一个倒格矢代表正格子中的一族平行晶面平行晶面。晶面族（晶面族（h1h2h3）中离原点的距离为）中离原点的距离为 d h1h2h3的晶面的晶面的方程式可写成：的方程式可写成：R l kh/|kh|=d h1h2h3 (=0,1,2,)得出正格矢和倒格矢的关系：得出正格矢和倒格矢的关系：R l kh=2 结论：假如两矢量的关系：结论：假如两矢量的关系：R l kh=2，则其中一，则其中一个为正格子，另一个必为倒格子；即正格矢和倒格矢恒个为正格子，另一个必为倒格子；即正格矢和倒格矢恒满足正格矢和倒格矢的关系。满足正格矢和倒格矢的关系。（4）倒格矢的长度正比于晶面族）倒格矢的长度正比于晶面族（h1h2h3）的面间）的面间距的倒数。距的倒数。dh1h2h3=a1/h1kh/|kh|=a1(h1b1+h2b2+h3b3)/h1|kh|=2/|kh|结论：结论：倒格矢倒格矢Kh垂直某一晶面（垂直某一晶面（h1h2h3），也），也即该晶面的法线方向与此倒格矢方向一样。即该晶面的法线方向与此倒格矢方向一样。倒格矢倒格矢Kh的大小与和其垂直的晶面间距成的大小与和其垂直的晶面间距成正比。正比。一个倒格矢对应一族晶面，但一族晶面可一个倒格矢对应一族晶面，但一族晶面可以对应多数个倒格矢，这些倒格矢的方向一以对应多数个倒格矢，这些倒格矢的方向一样，大小为最小倒格矢的整数倍。样，大小为最小倒格矢的整数倍。满足满足X射线衍射的一族晶面产生一个斑点，射线衍射的一族晶面产生一个斑点，该斑点代表一个倒格点，即该倒格点对应一该斑点代表一个倒格点，即该倒格点对应一族晶面指数。族晶面指数。kk0=n Kh的物理意义：的物理意义：当入射波矢和衍射波矢相差一个或几个倒格矢当入射波矢和衍射波矢相差一个或几个倒格矢Kh时，时，则该族晶面（则该族晶面（h1h2h3）满足衍射加强条件，满足衍射加强条件，n为衍为衍射级数。射级数。从从2dh1h2h3 sin =n 中可知：中可知：对于某一个确定的晶面族，要满足衍射加强条件，可对于某一个确定的晶面族，要满足衍射加强条件，可以变更入射波矢的方向，即变更以变更入射波矢的方向，即变更，或变更入射波矢，或变更入射波矢的大小，即变更的大小，即变更。b1 a1=2 b2 a2=2 a2a1b1b2Kl|Kl|=(3b1)2+4b2)21/2=(3 2/a1)2+4 2/a2)21/2面间距：面间距：d=2/|Kl|=(6/a1)2+(8/a2)21/2RlOAB Rl=l1a1+l2a2+l3a3 Kl=l1b1+l2b2+l3b3 Rl=5a1+2a2 Kl=3b1+4b2证明：证明：3b1+4b2 (3 4)有：有：AB=OA-OB=a1/3-a2/4AB (3b1+4b2)=(a1/3-a2/4)(3b1+4b2)=a1 b1-a2 b2 a1 b1=0例例如如利用倒易点阵（倒格子）与正格子间的关系导出晶面利用倒易点阵（倒格子）与正格子间的关系导出晶面间距和晶面夹角。间距和晶面夹角。晶面间距晶面间距dh1h2h3：dh1h2h3=2/|kh1h2h3|两边开平方，两边开平方，将将kh1h2h3=h1b1+h2b2+h3b3及正倒格子及正倒格子的基矢关系代入，经过数学运算，得到面间距公式。的基矢关系代入，经过数学运算，得到面间距公式。晶面夹角晶面夹角 ：k1 k2=k1 k2 COS 100200300001002003101201301103202203(100)(001)(102)O倒格子与正格子间的相互转化倒格子与正格子间的相互转化1020 b1b2 一维格子一维格子倒格子原胞：倒格子原胞：作由原点动身的诸倒格矢作由原点动身的诸倒格矢的垂直平分面，这些平面的垂直平分面，这些平面完全封闭形成的最小的多完全封闭形成的最小的多面体（体积最小）面体（体积最小）-第一布里渊区。第一布里渊区。b1b20二维格子二维格子3.倒格子原胞和布里渊区倒格子原胞和布里渊区ab 构成第一布里渊区构成第一布里渊区（简约布里渊区）的（简约布里渊区）的垂直平分线的方程式垂直平分线的方程式如下：如下：x=/a 及及 y=/a 其次布里渊区的各其次布里渊区的各个部分分别平移一个个部分分别平移一个倒格矢，可以同第一倒格矢，可以同第一区重合。第三布里渊区重合。第三布里渊区的各个部分分别平区的各个部分分别平移适当的倒格矢也能移适当的倒格矢也能同第一区重合。同第一区重合。(2/a)i-(2/a)i(2/a)j-(2/a)j4.X射线衍射与倒格子、布里渊区的关系射线衍射与倒格子、布里渊区的关系（1）X射线衍射射线衍射与倒格子的关系与倒格子的关系依据公式：依据公式：kk0=n Kh,建立反射球或衍射球建立反射球或衍射球入射线的波矢入射线的波矢k0 反射线的波矢反射线的波矢k倒格矢倒格矢KhOCA晶面晶面反射球反射球R l kh/|kh|=d h1h2h3Rl.(kk0）=2 dh1h2h3=2/|kh1h2h3|（h1h2h3）（h1 h2 h3 ）建立反射球的意义建立反射球的意义 通过所建立的反射球，把晶格的衍射条件和衍通过所建立的反射球，把晶格的衍射条件和衍射照片上的斑点干脆联系起来。射照片上的斑点干脆联系起来。利用反射球求出某一晶面族发生衍射的方向利用反射球求出某一晶面族发生衍射的方向（若反射球上的（若反射球上的A点是一个倒格点，则点是一个倒格点，则CA就是以就是以OA为倒格矢的一族晶面为倒格矢的一族晶面h1h2h3的衍射方向的衍射方向S）。）。OC倒格矢球面与反射球倒格矢球面与反射球相交于一圆相交于一圆同一晶面由于晶体的旋转引同一晶面由于晶体的旋转引起该晶面倒格矢的旋转从而起该晶面倒格矢的旋转从而形成倒格矢球面。形成倒格矢球面。结论：结论：全部落在此球上的倒格点都满足全部落在此球上的倒格点都满足关系式关系式:kk0=n Kh即满足衍射加强条件。即满足衍射加强条件。衍射线束的方向是衍射线束的方向是C点至点至A点的联线方向。点的联线方向。第一布里渊区第一布里渊区 第一布里渊区第一布里渊区 第一布里渊区第一布里渊区 二维正方格子的布里渊区二维正方格子的布里渊区 (2/a)i-(2/a)i(2/a)j-(2/a)j（2）X射线衍射与布里渊区的关系射线衍射与布里渊区的关系结论：结论：入射波矢从倒入射波矢从倒格子原点动身格子原点动身终止在布里渊终止在布里渊区边界，该对区边界，该对应的入射波满应的入射波满足衍射条件足衍射条件kk0=n Kh。复式格子（几个子晶格）复式格子（几个子晶格）子晶格子晶格复式原胞复式原胞基矢基矢子原胞子原胞固体物理学原胞固体物理学原胞 平行六面体平行六面体 最小重复单元最小重复单元 基矢基矢 多原子多原子 周期性晶格周期性晶格 结点结点 基元基元 空间点阵空间点阵 晶列晶面晶列晶面 单原子单原子 晶向晶向 对称性晶格对称性晶格 面指数晶列指数面指数晶列指数 最小重复单元的最小重复单元的 布喇菲格子（正格子）布喇菲格子（正格子）倒格子倒格子 倒格矢倒格矢 结晶学原胞结晶学原胞 布喇菲原胞布喇菲原胞 子原胞子原胞 复式原胞复式原胞 基矢基矢 几倍几倍晶体结构中的概念体系晶体结构中的概念体系 晶体的基本特征是结构具有周期性。用空间点阵概括周期性，空间点阵是由R=l1a1+l2a2+l3a3的点的集合组成的点阵。布喇菲格子的最主要特征是每个格点四周的状况都一样。对于多个原子组成的“分子”，将其看作基元。真实的晶体结构是由点阵+基元构成。晶体结构的周期性重复单元称为原胞。最小的重复单元是固体物理学原胞（包含一个原子或一个“分子”），最小单元的整数倍是结晶学原胞（包含多个原子或多个“分子”）。由四周状况相同的原子组成的格子为子晶胞，子晶胞相互沿空间移动（套购）形成的晶胞为复式格子。晶体中的晶面用密勒指数表示。重要的简洁结构有体心立方、面心立方、六角密堆、氯化钠、氯化铯、金刚石结构。小小 结结 每个晶体结构有两个点阵同它联系：晶体点阵和倒格子点阵，正格子点阵是真实空间的点阵，倒格子点阵是在波矢空间的点阵。结晶学家宠爱用正格子，而物理学家宠爱用倒格子，因为它在数学处理上具有优越性。两个点阵的基矢具有确定的几何关系（包括方向、大小）。倒格子原胞的选取：作由原点动身的诸倒格矢的垂直平分面，为这些平面所完全封闭的最小体积-第一布里渊区。其体积与正格子体积成正比。倒格子中的一个格点与正格子中的一族晶面相对应。衍射条件：入射波矢和反射波矢之差为该平面族所对应的倒格矢的整数倍。晶体衍射的过程就是把正格子中一族晶面转化为倒格子中的一点的过程。