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绪绪 论论一、什么是数学一、什么是数学 世界上任何客观存在都有其世界上任何客观存在都有其世界上任何客观存在都有其世界上任何客观存在都有其“数数数数”与与与与“形形形形”的属的属的属的属性特征，并且一切事物都发生变更，遵循量变到质性特征，并且一切事物都发生变更，遵循量变到质性特征，并且一切事物都发生变更，遵循量变到质性特征，并且一切事物都发生变更，遵循量变到质变的规律。变的规律。变的规律。变的规律。数数学学是是探探讨讨现现实实世世界界的的空空间间形形式式与与数数量量关关系的科学。系的科学。（牛牛顿顿、莱莱布布尼尼兹兹认认为为数数学学成成为为探探讨讨运运动动与与变变更更的的学学问问，1919世世纪纪，恩恩格格斯斯提提出出这这样的定义）样的定义）“空间形式空间形式”必需理解为一切类似于空间形式的形必需理解为一切类似于空间形式的形式：射影空间、非欧几里得空间、拓扑空间、无穷维空式：射影空间、非欧几里得空间、拓扑空间、无穷维空间的空间、微分流形间的空间、微分流形 “数量关系数量关系数量关系数量关系”也要理解为一切类似于数量关系的也要理解为一切类似于数量关系的也要理解为一切类似于数量关系的也要理解为一切类似于数量关系的关系：逻辑关系、语法关系关系：逻辑关系、语法关系关系：逻辑关系、语法关系关系：逻辑关系、语法关系数学探讨的是各种抽数学探讨的是各种抽数学探讨的是各种抽数学探讨的是各种抽象的象的象的象的“数数数数”和和和和“形形形形”的模式结构。的模式结构。的模式结构。的模式结构。在今日的数学中，在今日的数学中，在今日的数学中，在今日的数学中，“数数数数”和和和和“形形形形”的概念已发展到的概念已发展到的概念已发展到的概念已发展到很高的境地。比如，非数之很高的境地。比如，非数之很高的境地。比如，非数之很高的境地。比如，非数之“数数数数”的众多代数结构，的众多代数结构，的众多代数结构，的众多代数结构，像群、环、域等；无形之形的一些抽象空间，像线性像群、环、域等；无形之形的一些抽象空间，像线性像群、环、域等；无形之形的一些抽象空间，像线性像群、环、域等；无形之形的一些抽象空间，像线性空间、拓扑空间、流形等。空间、拓扑空间、流形等。空间、拓扑空间、流形等。空间、拓扑空间、流形等。第一阶段第一阶段第一阶段第一阶段 数学萌芽时期（远古数学萌芽时期（远古数学萌芽时期（远古数学萌芽时期（远古-公元前公元前公元前公元前5 5世世世世纪）：算术几何形成时期，但它们还未分开，彼此纪）：算术几何形成时期，但它们还未分开，彼此纪）：算术几何形成时期，但它们还未分开，彼此纪）：算术几何形成时期，但它们还未分开，彼此交织在一起，没有形成完整、严格的体系，缺乏逻交织在一起，没有形成完整、严格的体系，缺乏逻交织在一起，没有形成完整、严格的体系，缺乏逻交织在一起，没有形成完整、严格的体系，缺乏逻辑性，基本上看不到命题证明、演绎、推理。辑性，基本上看不到命题证明、演绎、推理。辑性，基本上看不到命题证明、演绎、推理。辑性，基本上看不到命题证明、演绎、推理。其次阶段其次阶段其次阶段其次阶段 常量（初等）数学时期（公元前常量（初等）数学时期（公元前常量（初等）数学时期（公元前常量（初等）数学时期（公元前5 5世纪世纪世纪世纪-17-17世纪中叶）：数学逐步形成了一门独立世纪中叶）：数学逐步形成了一门独立世纪中叶）：数学逐步形成了一门独立世纪中叶）：数学逐步形成了一门独立的、演绎的学科。算术、初等几何、初等代数、的、演绎的学科。算术、初等几何、初等代数、的、演绎的学科。算术、初等几何、初等代数、的、演绎的学科。算术、初等几何、初等代数、三角学都已成为独立的分支。三角学都已成为独立的分支。三角学都已成为独立的分支。三角学都已成为独立的分支。两大巨著：几何原本九章算术两大巨著：几何原本九章算术两大巨著：几何原本九章算术两大巨著：几何原本九章算术 东西辉映，渊源流长。东西辉映，渊源流长。东西辉映，渊源流长。东西辉映，渊源流长。二、数学发展简史二、数学发展简史：第三阶段第三阶段第三阶段第三阶段 变量（高等）数学时期（变量（高等）数学时期（变量（高等）数学时期（变量（高等）数学时期（1717世世世世纪中叶纪中叶纪中叶纪中叶-19-19世纪中叶）：变量与函数的概念世纪中叶）：变量与函数的概念世纪中叶）：变量与函数的概念世纪中叶）：变量与函数的概念进入数学。解析几何、微积分、概率论、射影进入数学。解析几何、微积分、概率论、射影进入数学。解析几何、微积分、概率论、射影进入数学。解析几何、微积分、概率论、射影几何形成。几何形成。几何形成。几何形成。第四阶段第四阶段第四阶段第四阶段 近代数学时期（近代数学时期（近代数学时期（近代数学时期（1919世纪中叶世纪中叶世纪中叶世纪中叶-二次大战）：非欧几里得几何、抽象代数、二次大战）：非欧几里得几何、抽象代数、二次大战）：非欧几里得几何、抽象代数、二次大战）：非欧几里得几何、抽象代数、复变函数论、集合论、微分几何、微分方程论、复变函数论、集合论、微分几何、微分方程论、复变函数论、集合论、微分几何、微分方程论、复变函数论、集合论、微分几何、微分方程论、积分方程论、点集拓扑、组合拓扑积分方程论、点集拓扑、组合拓扑积分方程论、点集拓扑、组合拓扑积分方程论、点集拓扑、组合拓扑。第五阶段第五阶段第五阶段第五阶段 现代数学时期（现代数学时期（现代数学时期（现代数学时期（2020世纪世纪世纪世纪4040年头年头年头年头以来）：（原子能的应用，电子计算机的独创，以来）：（原子能的应用，电子计算机的独创，以来）：（原子能的应用，电子计算机的独创，以来）：（原子能的应用，电子计算机的独创，空间技术的兴起）广义函数论、整体微分几何、空间技术的兴起）广义函数论、整体微分几何、空间技术的兴起）广义函数论、整体微分几何、空间技术的兴起）广义函数论、整体微分几何、非标准分析、微分拓扑、代数拓扑、代数几何、非标准分析、微分拓扑、代数拓扑、代数几何、非标准分析、微分拓扑、代数拓扑、代数几何、非标准分析、微分拓扑、代数拓扑、代数几何、同调代数、模糊数学、计算数学、分形几何同调代数、模糊数学、计算数学、分形几何同调代数、模糊数学、计算数学、分形几何同调代数、模糊数学、计算数学、分形几何从常量数学到变量数学从常量数学到变量数学常量数学应用的局限性常量数学应用的局限性 建立了日心学理论之后，建立了日心学理论之后，17世纪的人们世纪的人们面临如何改进计算行星位置，如何说明面临如何改进计算行星位置，如何说明地球上静止的物体保持不动，下降的物地球上静止的物体保持不动，下降的物体还落在地球上等问题，这类问题的核体还落在地球上等问题，这类问题的核心是物体的运动。带有运动特征的问题，心是物体的运动。带有运动特征的问题，初等数学（算术，初等代数，初等几何，初等数学（算术，初等代数，初等几何，三角）无能为力。三角）无能为力。数学基础是解析几何，标记为微积分。数学基础是解析几何，标记为微积分。1）解析几何的产生）解析几何的产生解析几何学是借助坐标系，用代数方法解析几何学是借助坐标系，用代数方法探讨几何对象之间的关系和性质的一门探讨几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支，也叫坐标几何。由法国数几何学分支，也叫坐标几何。由法国数学家笛卡儿和费尔马等人创建（学家笛卡儿和费尔马等人创建（1637年）年）。变量数学产生的过程变量数学产生的过程解析几何的独创是变量数学的第一个里解析几何的独创是变量数学的第一个里程碑。从根本上变更了数学的面貌，使程碑。从根本上变更了数学的面貌，使数学从今跨入了一个崭新的时代，即从数学从今跨入了一个崭新的时代，即从常量数学进入变量数学的时代，从而大常量数学进入变量数学的时代，从而大大地促进了数学的发展。大地促进了数学的发展。2）函数概念的出现）函数概念的出现 16世纪起先，科学家认为运动是最基本世纪起先，科学家认为运动是最基本的物理现象，因此自然科学探讨的中心问的物理现象，因此自然科学探讨的中心问题是运动，各种变更的过程和变更着的量题是运动，各种变更的过程和变更着的量之间的依靠关系成为新的探讨对象，科学之间的依靠关系成为新的探讨对象，科学家信任运动可以用数学来描述，于是出现家信任运动可以用数学来描述，于是出现了函数的概念。了函数的概念。函数概念的出现最早在函数概念的出现最早在17世纪，但它的世纪，但它的 定义直到定义直到19世纪才形成，函数概念本身的世纪才形成，函数概念本身的发展直到现在还在接着。发展直到现在还在接着。3）微积分的创立）微积分的创立 与微积分创立亲密相关的科学技术问题，从与微积分创立亲密相关的科学技术问题，从数学角度归纳起来有四类：数学角度归纳起来有四类：1已知变速运动的路程（为时间的函数）时，已知变速运动的路程（为时间的函数）时，求瞬时速度和加速度；求瞬时速度和加速度；2求已知曲线的切线；求已知曲线的切线；3求给定函数的最大值与最小值；求给定函数的最大值与最小值；4求给定曲线长度；求平面曲线围成的面积；求给定曲线长度；求平面曲线围成的面积；求已知曲面围成的体积；求物体的重心；已知求已知曲面围成的体积；求物体的重心；已知变速运动物体的速度、加速度，求物体运动的变速运动物体的速度、加速度，求物体运动的路程与时间的关系。路程与时间的关系。在17世纪探究微积分的至少有十几位大数学家和几十位小数学家。这些前驱者对于求解各类微积分问题的确作出了珍贵的贡献，但他们的方法仍旧缺乏足够的一般性。求切线，求变更率、求极大微小值以及求面积、体积等基本问题，在当时是被作为不同类型处理的。牛顿和莱布尼茨正是在这样的时刻出场的。时牛顿和莱布尼茨正是在这样的时刻出场的。时代的须要与个人的才识，使他们完成了微积分代的须要与个人的才识，使他们完成了微积分创立中最终也是最关键的一步。创立中最终也是最关键的一步。微积分的出现具有划时代意义，时至今日，它微积分的出现具有划时代意义，时至今日，它不仅成了学习高等数学各个分支必不行少的基不仅成了学习高等数学各个分支必不行少的基础，而且是学习近代任何一门自然科学和工程础，而且是学习近代任何一门自然科学和工程技术的必备工具。技术的必备工具。变量数学产生的意义变量数学产生的意义 1）变量数学的产生，为自然科学更精确）变量数学的产生，为自然科学更精确地描述物质世界供应了有效的地描述物质世界供应了有效的 工具。工具。2）变量数学的产生，促进数学自身的）变量数学的产生，促进数学自身的 发展与严密。发展与严密。产生新的数学分支，如解析数论，微分产生新的数学分支，如解析数论，微分几何等。几何等。解决了第一次，其次次数学危机，建立解决了第一次，其次次数学危机，建立了极限理论，完成了实数的定义等，使了极限理论，完成了实数的定义等，使数学更加严密。数学更加严密。3）变量数学的产生，使辩证法进入数学。）变量数学的产生，使辩证法进入数学。辩证法把世界现象看作是普遍联系和永恒辩证法把世界现象看作是普遍联系和永恒变更着的，把世界的发展看作是自身所固变更着的，把世界的发展看作是自身所固有的各种冲突发展的结果。变量数学的很有的各种冲突发展的结果。变量数学的很多概念如函数极限导数积分等，从哲学上多概念如函数极限导数积分等，从哲学上讲，就是辩证法在数学中的应用，而微积讲，就是辩证法在数学中的应用，而微积分的完善就是自身冲突发展的结果。分的完善就是自身冲突发展的结果。因此，变量数学的产生，为辩证法进入数因此，变量数学的产生，为辩证法进入数学供应了契机，并且为辩证法具有普遍性学供应了契机，并且为辩证法具有普遍性的论断，在数学上供应了有力的证明。的论断，在数学上供应了有力的证明。初等数学是树根初等数学是树根初等数学是树根初等数学是树根植根于科学与技植根于科学与技植根于科学与技植根于科学与技术之沃土，枝繁术之沃土，枝繁术之沃土，枝繁术之沃土，枝繁叶茂，荫及各个叶茂，荫及各个叶茂，荫及各个叶茂，荫及各个领域领域领域领域树干就是树干就是树干就是树干就是“数数数数学分析、高等学分析、高等学分析、高等学分析、高等代数、高等几代数、高等几代数、高等几代数、高等几何何何何”名目繁多的数名目繁多的数名目繁多的数名目繁多的数学分支是树枝学分支是树枝学分支是树枝学分支是树枝数学大树数学大树数学大树数学大树三、初等数学与高等数学的区分三、初等数学与高等数学的区分 17世纪以前的数学称为初等数学，探讨的是常量间的代数运算和孤立的、不变的几何形体内部及相互间的关系。1637年笛卡儿引入了坐标系，沟通了数与形之间的关系，这时数学探讨的是变量和不规则的几何形体。微积分的创立，使数学的发展出现了一日千里之势，形成了内容丰富的数学分析、高等代数、高等几何三大分支。相对于初等数学，它们称为高等数学。初等数学主要接受形式逻辑法，静止地、孤立地、一个一个地 进行探讨；高等数学则是以运动的、变更的观点去探讨问题。数学分析是一门特别重要的基础理论课，它对后续课程有干脆影响，关系到整个专业基础课学习的成败、关系到同学们的素养培育，对同学将来从事专业科学探讨起着非凡的作用，其核心内容是微积分。著名数学家柯朗说：著名数学家柯朗说：著名数学家柯朗说：著名数学家柯朗说：“微积分学，微积分学，微积分学，微积分学，或者数学分析，是人类思维的宏大成或者数学分析，是人类思维的宏大成或者数学分析，是人类思维的宏大成或者数学分析，是人类思维的宏大成果之一。它处于自然科学和人文科学果之一。它处于自然科学和人文科学果之一。它处于自然科学和人文科学果之一。它处于自然科学和人文科学之间的地位，使它成为高等教化的一之间的地位，使它成为高等教化的一之间的地位，使它成为高等教化的一之间的地位，使它成为高等教化的一种特殊有效的工具，种特殊有效的工具，种特殊有效的工具，种特殊有效的工具，这门学科乃这门学科乃这门学科乃这门学科乃是一种憾人心灵的智力奋斗的结晶；是一种憾人心灵的智力奋斗的结晶；是一种憾人心灵的智力奋斗的结晶；是一种憾人心灵的智力奋斗的结晶；这种奋斗已经经验了两千五百多年之久，它深深扎这种奋斗已经经验了两千五百多年之久，它深深扎这种奋斗已经经验了两千五百多年之久，它深深扎这种奋斗已经经验了两千五百多年之久，它深深扎根于人类活动的很多领域，并且，只要人们相识自根于人类活动的很多领域，并且，只要人们相识自根于人类活动的很多领域，并且，只要人们相识自根于人类活动的很多领域，并且，只要人们相识自己和相识自然的努力一日不止，这种奋斗就将接着己和相识自然的努力一日不止，这种奋斗就将接着己和相识自然的努力一日不止，这种奋斗就将接着己和相识自然的努力一日不止，这种奋斗就将接着不已。不已。不已。不已。”恩格斯指出：恩格斯指出：恩格斯指出：恩格斯指出：“在一切理在一切理在一切理在一切理 论成就中，未必再有什么象论成就中，未必再有什么象论成就中，未必再有什么象论成就中，未必再有什么象 17 17世纪下半叶微积分学的发世纪下半叶微积分学的发世纪下半叶微积分学的发世纪下半叶微积分学的发 明那样被看作人类精神的最明那样被看作人类精神的最明那样被看作人类精神的最明那样被看作人类精神的最 高成功了。高成功了。高成功了。高成功了。”他还说：他还说：他还说：他还说：“只只只只有微积分学才能使自然科学有可能用数学来有微积分学才能使自然科学有可能用数学来有微积分学才能使自然科学有可能用数学来有微积分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，并且也表明过程、运动。不仅仅表明状态，并且也表明过程、运动。不仅仅表明状态，并且也表明过程、运动。不仅仅表明状态，并且也表明过程、运动。”微积分对科学技术的重要性就象望远镜微积分对科学技术的重要性就象望远镜之于天文学，显微镜之于生物学。之于天文学，显微镜之于生物学。微积分的创立，与其说是数学史上，微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是科学史上的一个创举。不如说是科学史上的一个创举。微积分是学好其他理工课程的基础，也是学好专业课的工具，不驾驭好微积分，在科学技术的征途中将困难重重。四、怎样学好数学分析四、怎样学好数学分析1、数学的特点、数学的特点（1）高度的抽象性（概念更困难、表达形式更抽象）“一般化和抽象是数学之最重要的功能。正是由一般化和抽象是数学之最重要的功能。正是由一般化和抽象是数学之最重要的功能。正是由一般化和抽象是数学之最重要的功能。正是由于一般化和抽象，数学才能如此异乎寻常地有效。于一般化和抽象，数学才能如此异乎寻常地有效。于一般化和抽象，数学才能如此异乎寻常地有效。于一般化和抽象，数学才能如此异乎寻常地有效。”这是什么?1 2 3.8 5 7 0.9 888 8.88 8.8888你以为这是数吗？抽象不是数学独有的特性，但数学抽象不是数学独有的特性，但数学的抽象最为典型。的抽象最为典型。这是我们以后常常要用这是我们以后常常要用到的数学语言。到的数学语言。（2）严谨的逻辑性）严谨的逻辑性（理论性更强、推理更（理论性更强、推理更严谨）严谨）“严格性对于数学家，就如道德之对于人。严格性对于数学家，就如道德之对于人。严格性对于数学家，就如道德之对于人。严格性对于数学家，就如道德之对于人。”说数学的精确性，不是指说数学的精确性，不是指“把圆周率计算到小数把圆周率计算到小数点儿后千位、万位、几十亿位点儿后千位、万位、几十亿位”那类事情（在强那类事情（在强大的计算机上，人们已经计算到了大的计算机上，人们已经计算到了.）而是说数学结论的逻辑严格性。而是说数学结论的逻辑严格性。它不是靠试验千万次、而是逻辑推导！它不是靠试验千万次、而是逻辑推导！这也是科学证明与数学证明的区分！这也是科学证明与数学证明的区分！（3）广泛的应用性）广泛的应用性（科学技术的各个领域）（科学技术的各个领域）爱因斯坦说：爱因斯坦说：爱因斯坦说：爱因斯坦说：“数学的领土相应地定义为那些数学的领土相应地定义为那些数学的领土相应地定义为那些数学的领土相应地定义为那些能被数学术语表达的学问的总和。能被数学术语表达的学问的总和。能被数学术语表达的学问的总和。能被数学术语表达的学问的总和。”看看如下喜闻乐见的几个事实看看如下喜闻乐见的几个事实海王星的发觉海王星的发觉 天文学家发觉天王星的运动轨道与数学计天文学家发觉天王星的运动轨道与数学计算结果有算结果有15o的误差，引起天文学家的推想：的误差，引起天文学家的推想：在天王星轨道之外可能还有未知的行星在影在天王星轨道之外可能还有未知的行星在影响着天王星的运动。响着天王星的运动。经过一段时间的观测，天文学家们一样经过一段时间的观测，天文学家们一样公认了这颗新发觉的星是太阳系的第八颗公认了这颗新发觉的星是太阳系的第八颗大星。命名为大星。命名为“海王星海王星”。最能说明数学在天文中的重要作用的最能说明数学在天文中的重要作用的是海王星的发觉。海王星是在根本还没有是海王星的发觉。海王星是在根本还没有被人发觉之前，仅仅凭借纸上的计算，就被人发觉之前，仅仅凭借纸上的计算，就确定了它的运行轨道和将要出现的位置，确定了它的运行轨道和将要出现的位置，最终被发觉的行星，所以它是科学预言的最终被发觉的行星，所以它是科学预言的宏大成功，在科学史上占有一席特殊的地宏大成功，在科学史上占有一席特殊的地位。位。n n电磁波的发觉电磁波的发觉 自牛忽然代起，物理问题就成为数学发展自牛忽然代起，物理问题就成为数学发展的一个重要源泉。用数学方程表示物理现象是的一个重要源泉。用数学方程表示物理现象是很多科学大师追求的最高目标。很多科学大师追求的最高目标。麦克斯韦麦克斯韦1864年导出电磁场方程是年导出电磁场方程是19世世纪数学物理最重要的成功，依据对这组方纪数学物理最重要的成功，依据对这组方程的探讨，麦克斯韦预言了电磁波的存在。程的探讨，麦克斯韦预言了电磁波的存在。不仅给科学和技术带来巨大的冲击，同时不仅给科学和技术带来巨大的冲击，同时也使偏微分方程威名大振。也使偏微分方程威名大振。同一个偏微分方程，在流体力学同一个偏微分方程，在流体力学中用来描写流体动态；在弹性力学中中用来描写流体动态；在弹性力学中用来描写振动过程；在声学中用来描用来描写振动过程；在声学中用来描写声音传播等。还没有哪一门科学在写声音传播等。还没有哪一门科学在应用的广泛性上能与数学相比。应用的广泛性上能与数学相比。2、教学特点、教学特点（1）课堂大）课堂大（2）时间长）时间长（3）进度快）进度快（4）课上讲，课下练）课上讲，课下练（5）不重复）不重复3、对学生的要求、对学生的要求会学（不只是学会）会学（不只是学会）（1）预习）预习（2）听讲（会听课）听讲（会听课）（3）记笔记）记笔记（4）复习（会看书）复习（会看书）（5）做作业）做作业（6）答疑（会提问）答疑（会提问）（7）探讨）探讨（8）学会利用图书馆）学会利用图书馆俗话说：俗话说：俗话说：俗话说：“学问、学问，有学有问学问、学问，有学有问学问、学问，有学有问学问、学问，有学有问”，郑扳桥说：，郑扳桥说：，郑扳桥说：，郑扳桥说：“学问二字要拆开看，学是学，问是问，今人有学问二字要拆开看，学是学，问是问，今人有学问二字要拆开看，学是学，问是问，今人有学问二字要拆开看，学是学，问是问，今人有学而无问，虽读书万卷，只是一条钝汉尔学而无问，虽读书万卷，只是一条钝汉尔学而无问，虽读书万卷，只是一条钝汉尔学而无问，虽读书万卷，只是一条钝汉尔”。4、参考书、参考书 数学分析同步辅导数学分析同步辅导（彭舟（彭舟 姬燕妮编）姬燕妮编）（共（共2册）册）*数学分析习题精解数学分析习题精解（吴良森等编）（吴良森等编）（共（共2册）册）数学分析习题集题解数学分析习题集题解（吉米多维奇）（吉米多维奇）（共（共6册）册）5、交作业和答疑、交作业和答疑 每个同学准备两个作业本，每周一交上周每个同学准备两个作业本，每周一交上周的作业，老师批改其中的作业，老师批改其中1/3。每班选出一名课。每班选出一名课代表，负责收发作业及师生之间的联系。代表，负责收发作业及师生之间的联系。每周三每周三5-6节答疑，地点：四教西区节答疑，地点：四教西区204。第一章第一章 实数集与函数实数集与函数第一节第一节 实数实数一、实数一、实数1、实数的无限小数表示、实数的无限小数表示如如:4.6789记为记为34记为记为4.678899933.999 *对于负的有限小数（包括负整数）对于负的有限小数（包括负整数）y,则先将则先将-y表示为无限小数，再在所得无限表示为无限小数，再在所得无限小数前加负号。小数前加负号。如如-9.657432表示为表示为-9.657431999如如-6表示为表示为 -5.9999 *规定规定0表示成表示成0.0002、实数的比较、实数的比较定义定义1（一）两个非负实数（一）两个非负实数（1）则称则称 x=y，（2），或存在非负整数或存在非负整数l，使使则称则称x y或或y x。若若（二）对于负实数（二）对于负实数x，y，若，若-x=-y，则称则称x=y；若若-x y或或y 任何负实数。任何负实数。定义2 （1）非负实数）非负实数 称有称有理理数数为实数为实数x的的n位不足近似位不足近似，称为实数称为实数x的的n位过剩近似位过剩近似，n=0,1,2（2）对于负实数）对于负实数其其n位不足近似与过剩近似分别规定为位不足近似与过剩近似分别规定为注：注：命题命题 设设则则xy的等价条件是：的等价条件是：存在存在非负整数非负整数n，使得，使得其中其中 表示表示x的的n位不足近似，位不足近似，表示表示y的的n位位过剩近似。过剩近似。证明：见附录。证明：见附录。例例1 设设 x,y为实数，为实数，xy.证明：存在有理证明：存在有理 数数r 满足满足 xry.（此例说明随意两个不等的实数之间，都（此例说明随意两个不等的实数之间，都有一个有理数）有一个有理数）证：证：由于由于xy,所以存在非负整数所以存在非负整数n,则则r为有理数为有理数，且有，且有 即即 x r y.例例2 P4,习题习题3。证：证：冲突！冲突！同理可证同理可证ab也不行能。也不行能。故故 a=b.则则 2q2=p2，这表明这表明p2是偶数，是偶数，p也是偶数（否则若也是偶数（否则若p是奇数，则是奇数，则p2是奇数），是奇数），设设p=2k，得，得q2=2k2，于是于是q q也是偶数，这与也是偶数，这与p/qp/q是既约分数冲突。是既约分数冲突。证证3、实数的主要性质、实数的主要性质（1）实数集对加、减、乘、除（除数不为）实数集对加、减、乘、除（除数不为0）封闭。封闭。（2）实数集是有序的。）实数集是有序的。（3）实数大小关系具有传递性。）实数大小关系具有传递性。（4）实数具有阿基米德性。）实数具有阿基米德性。（5）实数集具稠密性。）实数集具稠密性。（6）实数与数轴上的点成一一对应。实数与数轴上的点成一一对应。二、确定值与不等式二、确定值与不等式 :几何上表示点几何上表示点a与点与点b 之间的距离。之间的距离。主要性质主要性质:作作 业业P4.1 4