高三理科数学一轮总复习第八章统计与概率—递推法解排列、组合、概率问题.doc

高三理科数学一轮总复习 第八章 统计与概率递推法解排列、组合、概率问题一、an=p·an1+q型【例1】 某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前次出现绿灯，则下次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是，记开关第n次闭合后出现红灯的概率为Pn.(1)求：P2；(2)求证：Pn<(n2)；(3)求.解析：(1)第二次闭合后出现红灯的概率P2的大小决定于两个互斥事件：即第一次红灯后第二次又是红灯；第一次绿灯后第二次才是红灯.于是P2=P1·+(1P1)·=.(2)受(1)的启发，研究开关第N次闭合后出现红灯的概率Pn，要考虑第n1次闭合后出现绿灯的情况，有Pn=Pn1·+(1Pn1)·=Pn1+，再利用待定系数法：令Pn+x=(Pn1+x)整理可得x=Pn为首项为(P1)、公比为()的等比数列Pn=(P1)()n1=()n1，Pn=+()n1当n2时，Pn<+=(3)由(2)得=.【例2】 A、B两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下:若掷出的点数之和为3的倍数时，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数不是3的倍数时，由对方接着掷.第一次由A开始掷.设第n次由A掷的概率为Pn，(1)求Pn；求前4次抛掷中甲恰好掷3次的概率.解析：第n次由A掷有两种情况： 第n1次由A掷，第n次继续由A掷，此时概率为Pn1； 第n1次由B掷，第n次由A掷，此时概率为(1)(1Pn1).两种情形是互斥的Pn=Pn1+(1)(1Pn1)(n2)，即Pn=Pn1+(n2)Pn=(Pn1)，(n2)，又P1=1Pn是以为首项，为公比的等比数列.Pn=()n1，即Pn=+()n1.二、an+1=p·an+f(n)型【例3】 (传球问题)A、B、C、D4人互相传球，由A开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到A手中，则不同的传球方式有多少种？若有n个人相互传球k次后又回到发球人A手中的不同传球方式有多少种？分析：这类问题人数、次数较少时常用树形图法求解，直观形象，但若人数、次数较多时树形图法则力不从心，而建立递推数列模型则可深入问题本质.4人传球时，传球k次共有3k种传法.设第k次将球传给A的方法数共有ak(kN*)种传法，则不传给A的有3kak种，故a1=0，且不传给A的下次均可传给A，即ak+1=3kak。两边同除以3k+1得=·+，令bk=，则b1=0，bk+1=(bk)，则bk=()k1ak=+(1)k当k=5时，a5=60.当人数为n时，分别用n1，n取代3，4时，可得ak= + (1)k.123nn-1【例4】 (环形区域染色问题)将一个圆环分成n(nN*，n3)个区域，用m(m3)种颜色给这n个区域染色，要求相邻区域不使用同一种颜色，但同一颜色可重复使用，则不同的染色方案有多少种？分析：设an表示n个区域染色的方案数，则1区有m种染法，2区有m1种染法，3，n1，n区各有m1种染色方法，依乘法原理共有m(m1)n1种染法，但是，这些染中包含了n区可能和1区染上相同的颜色.而n区与1区相同时，就是n1个区域涂上m种颜色合乎条件的方法.an=m(m1)n1an1，且a3=m(m1)(m2)an(m1)n=an1(m1)n1123456123456an(m1)n=a3(m1)3(1)n3an=(m1)n+(m1)(1)n(n3)用这个结论解：2003年高考江苏卷：某城市在中心广场建一个花圃，花圃分为6个部分如图，现要栽种4种不同颜色的花且相邻部分不能同色，由不同的栽种方法有 种.只需将图变形为圆环形，1区有4种栽法.不同的栽法数为N=4a5=120.三、an+1=an·f(n)型3412562n-12n【例5】 (结草成环问题)现有n(nN*)根草，共有2n个草头，现将2n个草头平均分成n组，每两个草头打结，求打结后所有草能构成一个圆环的打结方法数.分析：将2n个草头平均分成n组，每两个草头打结，要使其恰好构成圆环，不同的连接方法总数m2=an.将草头编号为1，2，3，2n1，2n.草头1可以和新草头3，4，5，2n1，2n共2n2个新草头相连，如右图所示.假设1和3相连，则与余下共n1条相连能成圆环的方法数为an1.an=(2n2)an1，(n2，nN*)，a1=1，得=2n2an=····a1=(2n2)(2n4)2×1=2n1(n1)!变式游戏：某人手中握有2n(nN*)根草，只露出两端的各自2n个草头，现将两端的2n个草头各自随机平均分成n组，并将每组的两个草头连接起来，最后松手，求这时所有的草恰好构成一个圆环的概率.分析：两端的2n个草头随机两个相连不同的方法数为N=()2能够构成圆环的连接方法分两步：第一步，先将一端的2n个草头平均分成n组，每两根连接起来，得到n组草，认为得到n根“新草”，连接方法数m1=.信号源第二步，将另一端的2n个草头平均分成n组连接起来，要使其恰好构成圆环，不同的连接方法总数m2=2n1(n1)!.所求的概率Pn=.变式：( 江苏) 右图中有一个信号源和五个接收器。接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是(D)（A）（B） （C）（D）四、an+1=p·an+q·an1型【例6】 某人玩硬币走跳棋的游戏.已知硬币出现正反面的概率都是，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、第100站.一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站(从k到k+1)；若掷出反面，棋子向前跳两站(从k到k+2)，直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或跳到第100站(失败集中营)时，该游戏结束.设棋子跳到第n站的概率为Pn.(1)求P0、P1、P2的值；(2)求证：PnPn1=(Pn1Pn2)，其中nN，2n99；(3)求玩该游戏获胜的概率及失败的概率.(1)解：棋子开始在第0站为必然事件，P0=1.第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为，P1=.棋子跳到第2站应从如下两方面考虑：前两次掷硬币都出现正面，其概率为；第一次掷硬币出现反面，其概率为.P2=+=.(2)证明：棋子跳到第n(2n99)站的情况是下列两种，而且也只有两种：棋子先到第n2站，又掷出反面，其概率为Pn2；棋子先到第n1站，又掷出正面，其概率为Pn1.Pn=Pn2+Pn1.PnPn1=(Pn1Pn2).(3)解：由(2)知当1n99时，数列PnPn1是首项为P1P0=，公比为的等比数列.P11=，P2P1=()2，P3P2=()3，PnPn1=()n.以上各式相加，得Pn1=()+()2+()n，Pn=1+()+()2+()n=1()n+1(n=0，1，2，99).获胜的概率为P99=1()100，失败的概率P100=P98=·1()99=1+()99.【例7】 从原点出发的某质点M，按向量=(0，1)移动的概率为，按向量=(0，2)移动的概率为，设M可到达点(0，n)的概率为Pn(1)求P1和P2的值；(2)求证：Pn+2Pn+1=(Pn+1Pn)；(3)求Pn的表达式.解析：(1)P1=，P2=()2+=(2)证明：M到达点(0，n+2)有两种情况：从点(0，n+1)按向量=(0，1)移动，即(0，n+1)(0，n+2)从点(0，n)按向量=(0，2)移动，即(0，n)(0，n+2).Pn+2=Pn+1+PnPn+2Pn+1=(Pn+1Pn)(3)数列Pn+1Pn是以P2P1为首项，为公比的等比数列.Pn+1Pn=(P2P1)()n-1=()n-1=()n+1，PnPn1=()n,又PnP1=(PnPn1)+(Pn1Pn2)+(P2P1)=()n+()n-1+()2=()1()n-1 Pn=P1+()1()n-1=+×()n.