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反馈控制与极点配置15 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望反馈控制与极点配置(2/5)q对线性定常系统对线性定常系统,系统的稳定性和各种性能的品质指标系统的稳定性和各种性能的品质指标,在很在很大程度上是由闭环系统的极点位置所决定的。大程度上是由闭环系统的极点位置所决定的。因此在进行系统设计时因此在进行系统设计时,设法使闭环系统的极点位于设法使闭环系统的极点位于s平平面上的一组合理的、具有所期望的性能品质指标的极点面上的一组合理的、具有所期望的性能品质指标的极点,是可以有效地改善系统的性能品质指标的。是可以有效地改善系统的性能品质指标的。这样的控制系统设计方法称为极点配置。这样的控制系统设计方法称为极点配置。在经典控制理论的系统综合中在经典控制理论的系统综合中,无论采用频率域法还无论采用频率域法还是根轨迹法是根轨迹法,都是通过改变极点的位置来改善性能指都是通过改变极点的位置来改善性能指标标,本质上均属于极点配置方法。本质上均属于极点配置方法。本节所讨论得极点配置问题本节所讨论得极点配置问题,则是指如何通过状态反馈则是指如何通过状态反馈阵阵K的选择的选择,使得状态反馈闭环系统的极点恰好处于预先使得状态反馈闭环系统的极点恰好处于预先选择的一组期望极点上。选择的一组期望极点上。反馈控制与极点配置(3/5)q由于线性定常系统的特征多项式为实由于线性定常系统的特征多项式为实系数多项式系数多项式,因此考虑到问题的可解性因此考虑到问题的可解性,对期望的极点的选择应注意下列问题对期望的极点的选择应注意下列问题:1)对于对于n阶系统阶系统,可以而且必须给出可以而且必须给出n个期望的极点个期望的极点;2)期望的极点必须是期望的极点必须是实数实数或或成对出成对出现的共轭复数现的共轭复数;3)期望的极点必须体现对闭环系统期望的极点必须体现对闭环系统的性能品质指标等的要求。的性能品质指标等的要求。反馈控制与极点配置(4/5)q基于指定的期望闭环极点基于指定的期望闭环极点,线性定常连续系统的状态反馈极点线性定常连续系统的状态反馈极点配置问题可描述为配置问题可描述为:给定线性定常连续系统给定线性定常连续系统 确定反馈控制律确定反馈控制律使得状态反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的使得状态反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的n个期望的闭环个期望的闭环极点也就是成立极点也就是成立状态反馈极点配置定理状态反馈极点配置定理(1/11)4.2.1 状态反馈极点配置定理状态反馈极点配置定理q在进行极点配置时在进行极点配置时,存在如下问题存在如下问题:被控系统和所选择的期望极点满足哪些条件被控系统和所选择的期望极点满足哪些条件,则是可以进则是可以进行极点配置的。行极点配置的。下面的定理就回答了该问题。下面的定理就回答了该问题。状态反馈极点配置定理状态反馈极点配置定理(2/11)q定理定理4-1 对线性定常系统对线性定常系统(A,B,C)利用线性状态反馈阵利用线性状态反馈阵K,能能使闭环系统使闭环系统 K(A-BK,B,C)的极点任意配置的充分必要条件为的极点任意配置的充分必要条件为被控系统被控系统(A,B,C)状态完全能控。状态完全能控。q证明证明(1)先证充分性先证充分性(条件条件结论结论)。即证明即证明,若被控系统若被控系统(A,B,C)状态完全能控状态完全能控,则状态反馈则状态反馈闭环系统闭环系统 K(A-BK,B,C)必能任意配置极点。必能任意配置极点。由于线性变换和状态反馈都不改变状态能控性由于线性变换和状态反馈都不改变状态能控性,而开环被而开环被控系统控系统(A,B,C)状态能控状态能控,因此一定存在线性变换能将其因此一定存在线性变换能将其变换成能控规范变换成能控规范II形。形。不失一般性不失一般性,下面仅对能控规范下面仅对能控规范I形证明充分性。形证明充分性。状态反馈极点配置定理状态反馈极点配置定理(3/11)下面仅对下面仅对SISO系统进行充分性的证明系统进行充分性的证明,对对MIMO系统可系统可完全类似于完全类似于SISO的情况完成证明过程。的情况完成证明过程。证明过程的思路为证明过程的思路为:分别求出开分别求出开环与闭环系环与闭环系统的传递函统的传递函数阵数阵比较两传比较两传递函数阵递函数阵的特征多的特征多项式项式建立可建立可极点配极点配置的条置的条件件状态反馈极点配置定理状态反馈极点配置定理(4/11)证明过程证明过程:设设SISO被控系统被控系统(A,B,C)为能控规范为能控规范I形形,则其各矩阵分则其各矩阵分别为别为且其传递函数为且其传递函数为状态反馈极点配置定理状态反馈极点配置定理(5/11)若若SISO被控系统被控系统(A,B,C)的状态反馈阵的状态反馈阵K为为K=k1 k2 kn则闭环系统则闭环系统 K(A-BK,B,C)的系统矩阵的系统矩阵A-BK为为相应的状态反馈闭环控制系统的传递函数和特征多项式相应的状态反馈闭环控制系统的传递函数和特征多项式分别为分别为状态反馈极点配置定理状态反馈极点配置定理(6/11)如果由期望的闭环极点所确定的特征多项式为如果由期望的闭环极点所确定的特征多项式为f*(s)=sn+a1*sn-1+an*那么那么,只需令只需令fK(s)=f*(s),即取即取a1+kn=a1*an+k1=an*则可将状态反馈闭环系统则可将状态反馈闭环系统 K(A-BK,B,C)的极点配置在特征的极点配置在特征多项式多项式f*(s)所规定的极点上。所规定的极点上。即证明了充分性。即证明了充分性。同时同时,我们还可得到相应的状态反馈阵为我们还可得到相应的状态反馈阵为K=k1 k2 kn 其中其中SISO系统状态反馈极点配置方法系统状态反馈极点配置方法(1/10)4.2.2 SISO系统状态反馈极点配置方法系统状态反馈极点配置方法q上述定理及其证明不仅说明了被控系统能进行任意极点配置上述定理及其证明不仅说明了被控系统能进行任意极点配置的充分必要条件的充分必要条件,而且给出了求反馈矩阵而且给出了求反馈矩阵K的一种方法。对此的一种方法。对此,有如下讨论有如下讨论:1.由上述定理的充分性证明中可知由上述定理的充分性证明中可知,对于对于SISO线性定常连续线性定常连续系统的极点配置问题系统的极点配置问题,若其状态空间模型为能控规范若其状态空间模型为能控规范I形形,则相应反馈矩阵为则相应反馈矩阵为K=k1 kn=an*-an a1*-a1其中其中ai和和ai*(i=1,2,n)分别为开环系统特征多项式和所期分别为开环系统特征多项式和所期望的闭环系统特征多项式的系数。望的闭环系统特征多项式的系数。2.若若SISO被控系统的状态空间模型不为能控规范被控系统的状态空间模型不为能控规范I形形,则利则利用线性变换将系统用线性变换将系统(A,B)变换成能控规范变换成能控规范I形形SISO系统状态反馈极点配置方法系统状态反馈极点配置方法(2/10)对能控规范对能控规范I形形 进行极点配置进行极点配置,求得相应的状态反馈阵如求得相应的状态反馈阵如下下因此因此,原系统原系统 的相应状态反馈阵的相应状态反馈阵K为为参见参见P129SISO系统状态反馈极点配置方法系统状态反馈极点配置方法(7/10)例3q例4-3 已知系统的传递函数为已知系统的传递函数为试选择一种状态空间实现并求状态反馈阵试选择一种状态空间实现并求状态反馈阵K,使闭环系统的极点使闭环系统的极点配置在配置在-2和和-1j上。上。q解解 1：要实现极点任意配置要实现极点任意配置,则系统实现需状态完全能控。则系统实现需状态完全能控。因此因此,可选择能控规范可选择能控规范I形来建立被控系统的状态空间模形来建立被控系统的状态空间模型。型。故有故有SISO系统状态反馈极点配置方法系统状态反馈极点配置方法(8/10)2.系统的开环特征多项式系统的开环特征多项式f(s)和由期望的闭环极点所确定的闭环和由期望的闭环极点所确定的闭环特征多项式特征多项式f*(s)分别为分别为f(s)=s3+3s2+2sf*(s)=s3+4s2+6s+4则相应的反馈矩阵则相应的反馈矩阵K为为K=a3*-a3 a2*-a2 a1*-a1SISO系统状态反馈极点配置方法系统状态反馈极点配置方法(9/10)q因此因此,在反馈律在反馈律u=-Kx+v下下,闭环系统状态方程为闭环系统状态方程为q在例在例4-3中中,由给定的传递函数通过状态反馈进行极点配置时由给定的传递函数通过状态反馈进行极点配置时需先求系统实现需先求系统实现,即需选择状态变量和建立状态空间模型。即需选择状态变量和建立状态空间模型。这里就存在一个所选择的状态变量是否可以直接测量、这里就存在一个所选择的状态变量是否可以直接测量、可以直接作反馈量的问题。可以直接作反馈量的问题。SISO系统状态反馈极点配置方法系统状态反馈极点配置方法(10/10)由于状态变量是描述系统内部动态运动和特性的由于状态变量是描述系统内部动态运动和特性的,因此对因此对实际控制系统实际控制系统,它可能不能直接测量它可能不能直接测量,更甚者是抽象的数更甚者是抽象的数学变量学变量,实际中不存在物理量与之直接对应。实际中不存在物理量与之直接对应。若状态变量不能直接测量若状态变量不能直接测量,则在状态反馈中需要引入所谓则在状态反馈中需要引入所谓的状态观测器来估计系统的状态变量的值的状态观测器来估计系统的状态变量的值,再用此估计值再用此估计值来构成状态反馈律。这将在下节中详述。来构成状态反馈律。这将在下节中详述。P203例例4.2P203例例4.3P199例例4.1q对对SISO系统系统,由极点配置方法求得的状态反馈阵由极点配置方法求得的状态反馈阵K是唯一的是唯一的,而而由由MIMO系统的极点配置所求得的状态反馈阵系统的极点配置所求得的状态反馈阵K不唯一。不唯一。这也导致了求取这也导致了求取MIMO系统极点配置问题的状态反馈矩系统极点配置问题的状态反馈矩阵的方法多样性。阵的方法多样性。MIMO系统极点配置主要方法有系统极点配置主要方法有:(1)化为单输入系统的极点配置方法化为单输入系统的极点配置方法(2)基于基于MIMO能控规范形的极点配置方法能控规范形的极点配置方法(3)鲁棒特征结构配置的极点配置方法。鲁棒特征结构配置的极点配置方法。课本介绍了第课本介绍了第1种方法。种方法。4.2.3 MIMO系统状态反馈极点配置方法系统状态反馈极点配置方法输出反馈极点配置输出反馈极点配置(1/6)4.2.4 输出反馈极点配置输出反馈极点配置q由于输出变量空间可视为状态变量空间的子空间由于输出变量空间可视为状态变量空间的子空间,因此输出反因此输出反馈也称之为部分状态反馈。馈也称之为部分状态反馈。由于输出反馈包含的信息较状态反馈所包含的信息少由于输出反馈包含的信息较状态反馈所包含的信息少,因因此输出反馈的控制与镇定能力必然要比状态反馈弱。此输出反馈的控制与镇定能力必然要比状态反馈弱。q下面下面,先通过一输出反馈闭环系统的极点变化先通过一输出反馈闭环系统的极点变化,考察输出反馈考察输出反馈能否像状态反馈那样对能控系统进行极点配置能否像状态反馈那样对能控系统进行极点配置,然后给出相关然后给出相关结论。结论。输出反馈极点配置输出反馈极点配置(3/6)q例例 考察下述能控能观的系统考察下述能控能观的系统它在输出反馈下它在输出反馈下u=-hy下的闭环系统为下的闭环系统为其闭环特征多项式为其闭环特征多项式为s2+h。输出反馈极点配置输出反馈极点配置(4/6)从而当从而当h的值变化时的值变化时,闭环系统的极点不能任意配置。闭环系统的极点不能任意配置。输出反馈极点配置输出反馈极点配置(5/6)q上例说明上例说明,输出反馈对能控能观系统可以改变极点位置输出反馈对能控能观系统可以改变极点位置,但不能但不能进行任意的极点配置。进行任意的极点配置。因此因此,对某些系统对某些系统,采取输出反馈可能不能配置闭环系统的采取输出反馈可能不能配置闭环系统的所有极点所有极点,使得闭环系统稳定或具有所期望的闭环极点。使得闭环系统稳定或具有所期望的闭环极点。故故,欲使闭环系统稳定或具有所期望的闭环极点欲使闭环系统稳定或具有所期望的闭环极点,要尽可能要尽可能采取状态反馈控制或动态输出反馈控制采取状态反馈控制或动态输出反馈控制(动态补偿器动态补偿器)。