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平面向量数量积及其应用平面向量数量积及其应用v知识回顾1定义：平面内两个定义：平面内两个非零非零向量的数量积（内向量的数量积（内积）的定义积）的定义=向量夹角的概念：平移两个非零向量使它向量夹角的概念：平移两个非零向量使它们们起点重合起点重合，所成图形中，所成图形中0 180 的的角称为两个向量的夹角角称为两个向量的夹角规定规定与任何向量的数量积为与任何向量的数量积为0分析：两向量分析：两向量的夹角公式为的夹角公式为则当两向量的夹角为钝角时有则当两向量的夹角为钝角时有-10解右边不等式可得解右边不等式可得0,但左边不等式解但左边不等式解答比较复杂，所以，我们可以考虑在余答比较复杂，所以，我们可以考虑在余弦小于弦小于0的情况下去掉夹角为的情况下去掉夹角为180度的情度的情况，即去掉两向量平行的情况，所以本况，即去掉两向量平行的情况，所以本题的解答如下：题的解答如下：由题意：由题意：（）（）（）0且（且（）与（）与（）不平行）不平行即即且且且且且且思考：两向量夹角是锐角的等价条件是什么？思考：两向量夹角是锐角的等价条件是什么？小结：小结：解题时若计算复杂则容易出错，大家要善于化解题时若计算复杂则容易出错，大家要善于化繁为简，有时，稍作变动就能大大简化计算，使问繁为简，有时，稍作变动就能大大简化计算，使问题得以更好的解决题得以更好的解决.例三例三.数量积二第数量积二第10题题已知向量已知向量=，向量，向量=，求，求的最大值的最大值.解法一解法一（代数方法）（代数方法）例三例三.数量积二第数量积二第10题题解法二（几何方法）解法二（几何方法）xyoB如图，用如图，用表示表示，以以O为圆心，为圆心，2为半径作圆，为半径作圆，则则2可看成以可看成以O为起点，为起点，终点在圆终点在圆O上的向量，上的向量，由向量减法的几何意义由向量减法的几何意义可知答案为可知答案为4小结：小结：向量有数和形两种表示方法，有时，数形结合向量有数和形两种表示方法，有时，数形结合可使问题的解决更加方便可使问题的解决更加方便例四例四.数量积二第数量积二第15题题已知：已知：，存在实数，存在实数和和，使，使得得，且，且，试求，试求的的最小值。最小值。分析：本题是涉及两个字母的最值问题，且不可分析：本题是涉及两个字母的最值问题，且不可用基本不等式，所以考虑利用等量关系互相表示，用基本不等式，所以考虑利用等量关系互相表示，转变为关于其中一个字母的函数来处理转变为关于其中一个字母的函数来处理.解答如下解答如下:由条件得：由条件得：，由，由，得，得=0，即，即=0，则有则有则则=则当则当=-2时，时，有最小值有最小值 小结：小结：有一些解答题看似字母比较多，比较复杂，有一些解答题看似字母比较多，比较复杂，但如果耐心将题目看完，将题给的每个条件都但如果耐心将题目看完，将题给的每个条件都稍作化简，联系稍作化简，联系“已知的是什么已知的是什么?”,“所求的是所求的是什么？什么？”，“中间搭哪一座桥？中间搭哪一座桥？”，很多问题，很多问题都会变得清晰明了，从而迎刃而解了都会变得清晰明了，从而迎刃而解了.本题涉及本题涉及关于两个字母的表达式的最值问题，这类问题关于两个字母的表达式的最值问题，这类问题往往从（往往从（1）基本不等式（）基本不等式（2）等量代换这两个）等量代换这两个方面去考虑方面去考虑.例五例五.向量应用第向量应用第10题题在在中，中，为中线为中线上的一个动点，若上的一个动点，若=2，求，求的最小值的最小值 ABCMO分析：如图，因为分析：如图，因为为为的中点，所以的中点，所以,则本题可转化成两个反向则本题可转化成两个反向向量数量积的最小值问题，向量数量积的最小值问题，解答如下：解答如下：=2=-2由基本不等式，得由基本不等式，得=1,所以，所求最小值为所以，所求最小值为-2小结：小结：因为向量加法有平行四边形法则，所以进行向因为向量加法有平行四边形法则，所以进行向量运算时要充分利用这一点来简化问题，从而有利量运算时要充分利用这一点来简化问题，从而有利于计算于计算.例六例六.向量应用第向量应用第15题题给定两个长度为给定两个长度为1的平面向量的平面向量和和，它们，它们的夹角为的夹角为.如图所示，点如图所示，点在以在以为圆心为圆心的圆弧的圆弧上变动上变动.若若其中其中,求求的最大值的最大值.OABC分析：因为三个向量的模分析：因为三个向量的模均为均为1，且已知，且已知与与的夹角，所以，本题可的夹角，所以，本题可以考虑利用向量数量积以考虑利用向量数量积将向量转化为实数，同将向量转化为实数，同时可将时可将用三角函数用三角函数表示出来，解答如下：表示出来，解答如下：设设，则有，则有即即，则，则小结：小结：向量的数量积是联系向量与实数的纽带，利用向量的数量积是联系向量与实数的纽带，利用向量的数量积是一个实数，可以将向量问题转化为向量的数量积是一个实数，可以将向量问题转化为实数计算，从而有利于问题的解决实数计算，从而有利于问题的解决.小小结结平面向量数量积是高考的重点考察内平面向量数量积是高考的重点考察内容，直接考察的是数量积的概念、运容，直接考察的是数量积的概念、运算律、性质，向量的平行、垂直，向算律、性质，向量的平行、垂直，向量的夹角与模等，主要以填空题的形量的夹角与模等，主要以填空题的形式出现，在解题时除了要熟练掌握基式出现，在解题时除了要熟练掌握基本知识外，也要注重利用数形结合解本知识外，也要注重利用数形结合解决问题。决问题。结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！22
