正交试验设计原理与实例教程优秀PPT.ppt

正交试验设计正交试验设计 在在试验试验探探讨讨中，中，对对于于单单因素或两因素因素或两因素试验试验，因，因其因素少其因素少，试验试验的的设计设计、实实施与分析都比施与分析都比较简洁较简洁。但在。但在实际实际工作中工作中，常常，常常须须要同要同时时考察考察 3个或个或3个以个以上的上的试验试验因素因素，若，若进进行全面行全面试验试验，则试验则试验的的规规模将模将很大很大，往往因，往往因试验试验条件的限制而条件的限制而难难于于实实施施。正。正 交交设计设计就是支配多因素就是支配多因素试验试验、寻寻求最求最优优水平水平组组合合 的一的一种高效率种高效率试验设计试验设计方法。方法。1正交试验设计的意义正交试验设计的意义 正正交交试试验验属属于于试试验验设设计计方方法法的的一一种种。简简洁洁地地讲讲，试试验验设设计计是是探探讨讨如如何何科科学学支支配配试试验验，以以较较少少的的人人力力物物力力消消耗耗而而取取得得较较多多较较全全面面的的信息。信息。试试验验支支配配得得好好，事事半半功功倍倍；反反之之则则事事倍倍功功半半，甚甚至至达达不不到到预预期期目目的的。因因此此，如如何何进进行行试验设计是一个至关重要的问题。试验设计是一个至关重要的问题。正交试验设计是试验优化的常用技术。所谓试验优化，是指在最优化思想的指导下，进行最优设计的一种优化方法。它从不同的优良性动身，合理设计试验方案，有效限制试验干扰，科学处理试验数据，全面进行优化分析，干脆实现优化目标，已成为现代优化技术的一个重要方面。正交设计的基本特点是：用部分试验来正交设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的状况。了解全面试验的状况。.试验为什么要设计试验为什么要设计全面试验包含的水平组合数较多，工作全面试验包含的水平组合数较多，工作量大量大，由于受试验场地、试验材料、经费等，由于受试验场地、试验材料、经费等限制而难于实施限制而难于实施。例如，有。例如，有6 6个因素：个因素：每因每因素取素取55个水平，全面试验就须要个水平，全面试验就须要56=1562556=15625个个组合。组合。若试验的主要目的是若试验的主要目的是 寻寻 求求 最最 优水优水平组合平组合，则，则 可利用正交可利用正交 设计来支配试验。设计来支配试验。.正交拉丁方正交拉丁方 在试验支配中在试验支配中，每个因素在探讨的范围内，每个因素在探讨的范围内选几个水平，就好比在选优区内打上网格选几个水平，就好比在选优区内打上网格，假如网上的每个点都做试验，就是全面试验。假如网上的每个点都做试验，就是全面试验。3个因素的选优区可以用一个立方体表示个因素的选优区可以用一个立方体表示(图图11-2)，3个因素各取个因素各取 3个水平，把立方体划分个水平，把立方体划分成成27个格点，反映在个格点，反映在 图图11上就是立方体内的上就是立方体内的27个个“.”。若。若27个网格点都试验，就是全面个网格点都试验，就是全面试验，其试验方案如表试验，其试验方案如表11所示。所示。3 因因 素素 3 水水 平平 的的 全全 面试验水平组合数为面试验水平组合数为33=27，4 因素因素3水平的全面试验水平组合数为水平的全面试验水平组合数为34=81，5因素因素3水平的全面试验水平组合数为水平的全面试验水平组合数为35=243，这在试验中是不行能做到的。，这在试验中是不行能做到的。正正交交设设计计就就是是从从选选优优区区全全面面试试验验点点（水水平平组组合合）中中选选择择出出有有代代表表性性的的部部分分试试验验点点（水水平平组组合合）来来进进行行试试验验。图图11-A中中标标有有试试验验号号的的九九个个“()”，就就是是利利用用正正交交表表L9(34)从从27个个试试验验点点中中选选择择出出来来的的9个试验点。即：个试验点。即：关于正交的直关于正交的直观印象印象数据点分布是匀整的数据点分布是匀整的每一个面都有每一个面都有3个点个点每一条线都有每一条线都有1个点个点1.3正交试验设计正交试验设计 正正 交交 试试 验验 设设 计计 也也 称称 正正 交交 设设 计计(orthogonal design)，是是用用来来科科学学地地设设计计多多因因素素试试验验的的一一种种方方法法。它它利利用用一一套套规规格格化化的的正正交交表表(orthogonal table)支支配配试试验验，得得到到的的试试验验结结果果再再用用数数理理统统计计方方法法进进行行处处理理，使使之之得得出出科科学学结结论论。正正交交表表是是试试验验设设计计的的基基本本工工具具，它它是是依依据据均均衡衡分分布布的的思思想想，运运用用组组合合数数学学理理论论构构造造的的一一种种数数学学表表格格，均衡分布性是正交表的核心。均衡分布性是正交表的核心。19世纪20年头，英国统计学家R.A.Fisher首先后马铃薯肥料试验当中，运用排列均衡的拉丁方，解决了试验时的不匀整试验条件，获得成功，并创立了“试验设计”这一新兴学科。“均衡分布”思想在20世纪50年头应用于工业领域，60年头应用于农业领域，使正交试验在科研生产实际中得到推广。2、正交表、正交表.正交表正交表 正交拉丁方的自然推广正交拉丁方的自然推广 由于正交设计支配试验和分析试验结果都要由于正交设计支配试验和分析试验结果都要 用用 正交表，因此，我们先对正交表作一介绍。正交表，因此，我们先对正交表作一介绍。支配的支配的4因素因素3水平的试验，编上试验号，列成水平的试验，编上试验号，列成另外一种形式，见正交表另外一种形式，见正交表L9(34)（表（表11-6）。可。可以由此得到系列正交表以由此得到系列正交表(orthogonal table)。常常用用的的正正交交表表已已由由数数学学工工作作者者制制定定出出来来，供供进进行行正正交交设设计计时时选选用用。2水水平平正正交交表表除除L8(27)外外，还还 有有 L4(23)、L16(215)等等；3水水 平平 正正 交交 表表 有有L9(34)、L27(213)等等（详详见见附附表表17及及有有关关参参考书）。考书）。表表11-6是是一一张张正正交交表表，记记号号为为L9(34)，其其中中“L”代代表表正正交交表表；L右右下下角角的的数数字字“9”表表示示有有9行行，用用这这张张正正交交表表支支配配试试验验包包含含3个个处处理理(水水平平组组合合)；括括号号内内的的底底数数“3”表表示示因因素素的的水水平平数数，括括号号内内3的的指指数数“4”表表示示有有4列列，也也指指支支配配的的因因素素数数，用这张正交表最多可以支配用这张正交表最多可以支配4个个3水平因素。水平因素。2.22.22.22.2正交表的表示符号正交表的表示符号正交表的表示符号正交表的表示符号 正交表记号所表示的含义归纳如下：正交表记号所表示的含义归纳如下：正交表记号所表示的含义归纳如下：正交表记号所表示的含义归纳如下：Ln(tqLn(tqLn(tqLn(tq）式式式式中中中中：L L L L为为为为正正正正交交交交表表表表符符符符号号号号，是是是是LatinLatinLatinLatin的的的的第第第第一一一一个个个个字字字字母母母母；n n n n为为为为试试试试验验验验次次次次数数数数，即即即即正正正正交交交交表表表表行行行行数数数数；t t t t为为为为因因因因素素素素的的的的水水水水平平平平数数数数，即即即即1 1 1 1列列列列中中中中出出出出现现现现不不不不同同同同数数数数字字字字的的的的个个个个数数数数;q;q;q;q为为为为最最最最多多多多能能能能支支支支配配配配的的的的因因因因素素素素数数数数，即正交表的列数。即正交表的列数。即正交表的列数。即正交表的列数。正交表表示方法L9（34）正交表列数正交表列数一列中出现的数字个数一列中出现的数字个数正交表行数正交表行数正交表的代号正交表的代号 正正交交表表中中1列列可可以以支支配配1个个因因素素，因因此此它它可可支支配配的的因因素数可以小于或等于素数可以小于或等于q，但不能大于，但不能大于q。括括号号内内的的tq表表示示q个个因因素素、每每个个因因素素t个个水水平平全全面面试试验验的的水水平平组组合合数数（即即处处理理数数）。因因为为支支配配因因素素个个数数不不能能大于大于q，所以，所以n/tq为最小部分实施。为最小部分实施。明明显显，L4(23)是是最最简简洁洁的的正正交交表表，有有4列列3行行用用它它最最多多能能支支配配3个个2水水平平因因素素的的试试验验。部部分分试试验验为为4次次，全全面面试试验验为为8次次，最最小小部部分分实实施施为为1/2，即即用用它它支支配配试试验验可可比比全全面面试试验验少少做做1/2。所所以以，当当试试验验因因素素数数q及及每每个个因因素素的的水平数水平数t增加时增加时n/tq则下降，节约试验次数的效果更明显。则下降，节约试验次数的效果更明显。一一般般非非等等水水平平正正交交表表表表示示为为Ln(t1q1 X t2 q2）（q1不不等等于于q2）Ln(tlq1 X t2q2 X t3q3）（q1q2q），它它们们各各代代表表一一个个具具体体的数字表格。又称混合型正交表。的数字表格。又称混合型正交表。当当用用非非等等水水平平正正交交表表示示为为Ln(t1q1 X t2 q2)支支配配试试验验时时。则则因因素素数数应应不不大大于于q1+q2,且且t1水水平平的的因因素素数数不不大大于于q1，t2水水平平的的因因素素数数不大于不大于q2，最小部分实施为，最小部分实施为n/(t1q1+t2 q2）。）。2.3 常用正交表的分类及特点常用正交表的分类及特点 1、标准表（、标准表（相同水平正交表）相同水平正交表）2水平水平:L4(23）,L8(27）,L16(215），），3水平水平:L9(34），），L27（313），），L81(340），），4水平：水平：L16(45）,L64(4 21）,L256(485），），5水平：水平：L25（56）,L125(5 31）,L625(5156），），各各列列中中出出现现的的最最大大数数字字相相同同的的正正交交表表称称为为相相同同水水平平正正交交表表。如如L4(23)、L8(27)、L12(211)等等各各列列中中最最大大数数字字为为2，称称为为两两水水平平正正交交表表；L9(34)、L27(313)等等各各列列中中最最大大数数字字为为3，称称为为3水水平平正正交交表表。凡凡是是标标准准表表，水水平平数数都都相相等等。且且水水平平数数只只能能取取素素数数或或素素数数幂幂。因因此此有有7 7水水平平，9 9水水平平的的标准表，没有标准表，没有6 6水平，水平，8 8水平的标准表。水平的标准表。2.3 常用正交表的分类及特点常用正交表的分类及特点 2、非标准表（混合水平正交表）、非标准表（混合水平正交表）各各列列中中出出现现的的最最大大数数字字不不完完全全相相同同的的正正交交表表称称为为混混合合水水平平正正交交表表。如如L8(424)表表中中有有一一列列最最大大数数字字为为4，有有4列列最最大大数数字字为为2。也也就就是是说说该该表表可可以以支支配配一一个个4水水平平因因素素和和4个个2水水平平因因素素。再再如如L16(4423)，L16(4212)等等都混合水平正交表。都混合水平正交表。2.4正交表的基本性正交表的基本性质任何一任何一张正交表都有如下三个特性：正交表都有如下三个特性：（）正交性（）正交性1、任一列中，不同数字出现的次数相等任一列中，不同数字出现的次数相等例如例如L8(27)中不同数字只有中不同数字只有1和和2，它，它们各出各出现4次；次；L9(34)中不同数字有中不同数字有1、2和和3，它，它们各出各出现3次次。2、任两列中，同一横行所组成的数字对、任两列中，同一横行所组成的数字对出现的次数相等出现的次数相等 例如例如 L8(27)中中(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)各出现两次；各出现两次；L9(34)中中(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)各出现各出现1次。即每个因素的一个水平与另一因素的各次。即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次数相等，表明随意两列各个数个水平互碰次数相等，表明随意两列各个数字之间的搭配是匀整的。字之间的搭配是匀整的。由正交表的正交性可以看出：由正交表的正交性可以看出：正正交交表表各各列列的的地地位位是是同同等等的的，表表中中各各列列之之间间可可以相互置换，称为列间置换；以相互置换，称为列间置换；正交表各行之间也可相互置换，称行间置换；正交表各行之间也可相互置换，称行间置换；正正交交表表中中同同一一列列的的水水平平数数字字也也可可以以相相互互置置换换，称水平置换。称水平置换。上上述述3种种置置换换即即正正交交表表的的3种种初初等等置置换换。经经过过初初等等置置换换所所能能得得到到的的一一切切正正交交表表，称称为为原原正正交交表表的的同同构构表表或或等等价价表表，明明显显，实实际际应应用用时时，可可以以依依据不同须要进行变换。据不同须要进行变换。(2)代表性。代表性的含义之一，在于正交表的正交性中：任一列的各水平都出现，使得部分试验中包含全部因素的全部水平。随意2列间的全部组合全部出现，使随意两因素间都是全面试验。因此，在部分试验中，全部因素的全部水平信息及两两因素间的全部组合信息都无一遗漏。这样，虽然支配的是部分试验，却能够了解全面试验的状况，从这个意义上讲可以代表全面试验。因为正交性，使部分试验点必定均因为正交性，使部分试验点必定均衡地分布后全面试验的试验点中。所谓衡地分布后全面试验的试验点中。所谓均衡分散，是指用正交表选择出来的各均衡分散，是指用正交表选择出来的各因素水平组合在全部水平组合中的分布因素水平组合在全部水平组合中的分布是匀整的是匀整的。由由 图图11-2可以看出，在立可以看出，在立方体中方体中，任一平面内都包含，任一平面内都包含 3 个个“()”，任始终线上都包含任始终线上都包含1个个“()”，因此，因此，这些点代表性强，这些点代表性强，能够较好地反映全，能够较好地反映全面试验的状况。面试验的状况。（3 3）综合可比性。反映在正交性当中：）综合可比性。反映在正交性当中：）综合可比性。反映在正交性当中：）综合可比性。反映在正交性当中：任一列各水平出现的次数都相等。任一列各水平出现的次数都相等。任一列各水平出现的次数都相等。任一列各水平出现的次数都相等。任任任任2 2列间全部可能的组合出现的次数都相等。因此列间全部可能的组合出现的次数都相等。因此列间全部可能的组合出现的次数都相等。因此列间全部可能的组合出现的次数都相等。因此使任一因素各水平的试验条件相同。这就保证了在每列使任一因素各水平的试验条件相同。这就保证了在每列使任一因素各水平的试验条件相同。这就保证了在每列使任一因素各水平的试验条件相同。这就保证了在每列因素各个水平的效果中，最大限度地解除其他因素的干因素各个水平的效果中，最大限度地解除其他因素的干因素各个水平的效果中，最大限度地解除其他因素的干因素各个水平的效果中，最大限度地解除其他因素的干扰，突出本列因素的作用，从而可以综合比较该因素不扰，突出本列因素的作用，从而可以综合比较该因素不扰，突出本列因素的作用，从而可以综合比较该因素不扰，突出本列因素的作用，从而可以综合比较该因素不同水平对试验指标的影响。这种性质称为综合可比性或同水平对试验指标的影响。这种性质称为综合可比性或同水平对试验指标的影响。这种性质称为综合可比性或同水平对试验指标的影响。这种性质称为综合可比性或整齐可比性。整齐可比性。整齐可比性。整齐可比性。如在如在如在如在AA、BB、C 3C 3个因素中，个因素中，个因素中，个因素中，AA因素的因素的因素的因素的3 3个水平个水平个水平个水平 A1 A1、A2A2、A3 A3 条件下各有条件下各有条件下各有条件下各有 B B、C C 的的的的 3 3 个不同水平，即：个不同水平，即：个不同水平，即：个不同水平，即：在这在这9个水平组合中，个水平组合中，A因素各水平下包括因素各水平下包括了了B、C因素的因素的3个水平，虽然搭配方式不同，个水平，虽然搭配方式不同，但但B、C皆处于同等地位，当比较皆处于同等地位，当比较A因素不同水因素不同水平常，平常，B因素不同水平的效应相互抵消，因素不同水平的效应相互抵消，C因因素不同水平的效应也相互抵消。所以素不同水平的效应也相互抵消。所以A因素因素3个水平间具有可比性。同样，个水平间具有可比性。同样，B、C因素因素3个水个水平间亦具有可比性。平间亦具有可比性。依据以上两个特性，我依据以上两个特性，我们们用正交表支配的用正交表支配的试验试验，具有均衡分散和整具有均衡分散和整齐齐可比的特点。可比的特点。正交表的正交表的3个基本个基本性性质质中，正交性即均衡性是核心，是基中，正交性即均衡性是核心，是基础础，代表性和，代表性和综综合可比性是正交性的必定合可比性是正交性的必定结结果，从而使正交表得以果，从而使正交表得以具体具体应应用。用。正交表集其正交表集其3特性特性质质于一体，成于一体，成为为正交正交试验设计试验设计的的有效工具，用它来支配有效工具，用它来支配试验试验，也必定具有，也必定具有“均衡分散，均衡分散，整整齐齐可比可比”的特性，代表性的特性，代表性强强，效率也高。因而，效率也高。因而，实际实际应应用越来越广。用越来越广。交互作用的交互作用的处理。在理。在试验设计中，交互中，交互作一律当做因素看待，作一律当做因素看待，这是是处理交互作用理交互作用的一条的一条总原原则。3 正交正交试验设计的基本步的基本步骤 正交试验设计（简称正交设计）的基本程序是设计试验方案和处理试验结果两大部分。主要步骤可归纳如下：第一步，明确试验目的，确定考核指标。其次步，挑因素，选水平。第三步，选择合适的正交表。第四步，进行表头设计。第五步，确定试验方案。第六步，试验结果分析。3.1明确明确试验目的，确定考核指目的，确定考核指标 试验目的，就是通过正交试验要想解决什么问题。考核指标，就是用来衡量或考核试验效果的质量指标。试验指标一经确定，就应当把衡量和评定指标的原则、标准，测定试验指标的方法及所用的仪器等确定下来。这本身就是一项细致而困难的探讨工作。3.2 挑因素，挑因素，选水平水平 影响指标者称为因素。因素在试验中变更的各种状态，称为水平。因素的变更引起指标的变更，正交试验法适用于试验中能人为加以限制和调整的因素可控因素。选好的因素、水平通常可列成因素水平表。3.3 选择合适的正交表合适的正交表 总总原原则则：能容：能容纳纳全部考察因素，又使全部考察因素，又使试验试验号最小。号最小。一般有一般有这样这样几条几条规则规则：(1)先先看看水水平平数数。依依据据水水平平数数选选用用相相应应的的水水平平的的正正交表。交表。(2)其其次次看看试试验验要要求求。如如只只考考察察主主效效应应，则则可可选选择择较较小小的的表表，只只要要全全部部因因素素均均能能依依次次上上列列即即可可。假假如如还还需需考考察察交交互互效效应应，那那么么就就要要选选用用较较大大的的表表，而而且且各各因因素素的的排排列列不不能能随随意意上上列列，要要依依据据各各种种能能考察交互作用的表考察交互作用的表头设计头设计来支配因素。来支配因素。3.3 选择合适的正交表合适的正交表(3)再看允许做试验的正交表的次数和有无重点因素要考察。假如只允许做9次试验，而考察因素只有3-4个，则用3水平的L9(34）表来支配试验。若有重点因素要具体考察则可选用水平数不等的正交表如L8(4X24）等，将重点因素多取几个水平加以具体考察。要求精度高，可选较大的n值的L表。切不行遗漏重要因素，所以可倾向于多考察些因素。可以先用水平数少的正交表作试验，找出重要因素后，对少数重要因素再作有交互作用的细致考察。3.4 进行表行表头设计 所谓表头设计，就是将试验因素支配到所选正交表的各列中去的过程。(1)只考察主效应，不考察交互效应，正交表中每一列的位置是一样的，可以随意变换。因此，不考察交互效应的表头设计特别简洁，将全部因素随意上列即可。(2)考察交互作用的表头设计，各因素及各交互作用不能随意支配，必需严格按交互作用列表进行配列。这是有交互作用正交设计的重要特点，也是试验方案设计的关键一步。3.4 进行表行表头设计 避开混杂，是表头设计的一个重要原则，也是表头设计选优的一个重要条件。所谓混杂，是指在正交表的同一列中，支配了2个或2个以上的因素或交互作用。这样，就无法确定同一列中的这些不同因素或交互作用对试验指标的作用效果。为避开混杂，使表头设计合理、更优，那些主要因素，重点考察的因素，涉及交互作用较多的因素，就应当优先支配；而另一些次要因素，涉及交互作用较少的因素和不涉及交互作用的因素，可放在后面支配。表11-10是L8(4X24)的表头设计。3.5 排出试验方案排出试验方案 【例【例1】鸭肉保鲜自然复合剂的筛选。虽然鸭肉保鲜自然复合剂的筛选。虽然有机酸和盐处理对鸭肉保鲜有明显效果，但是大有机酸和盐处理对鸭肉保鲜有明显效果，但是大部分有机酸和盐属于合成的化学药剂，在卫生平部分有机酸和盐属于合成的化学药剂，在卫生平安上得不到保证，并且不符合消费者纯自然，无安上得不到保证，并且不符合消费者纯自然，无污染的要求，试验以茶多酚作为自然复合保鲜剂污染的要求，试验以茶多酚作为自然复合保鲜剂的主要成分，分别添加不同的增效剂、被膜剂和的主要成分，分别添加不同的增效剂、被膜剂和不同的浸泡时间，进行了不同的浸泡时间，进行了4因素和因素和4水平的正交试水平的正交试验，试支配一个正交试验方案。验，试支配一个正交试验方案。正交设计一般有正交设计一般有以下几个步骤：以下几个步骤：（1）明确目的，确定指标：本例是一个食品加）明确目的，确定指标：本例是一个食品加工工艺的探讨试验，目的是通过试验，寻求一个工工艺的探讨试验，目的是通过试验，寻求一个最佳的鸭肉自然复合保鲜剂。最佳的鸭肉自然复合保鲜剂。（2）挑因素、选水平）挑因素、选水平 影响试验结果的因素很多，我们不行能影响试验结果的因素很多，我们不行能把全部影响因素通过一次试验都予以探讨，把全部影响因素通过一次试验都予以探讨，只能依据以往的阅历，选择和确定若干对试只能依据以往的阅历，选择和确定若干对试验指标影响最大、有较大经济意义而又了解验指标影响最大、有较大经济意义而又了解不够清晰的因素来探讨。同时还应依据实际不够清晰的因素来探讨。同时还应依据实际阅历和专业学问，定出各因素适宜的水平，阅历和专业学问，定出各因素适宜的水平，列出因素水平表。【例列出因素水平表。【例1】的因素水平表如】的因素水平表如表表11-11所示，选定了所示，选定了4个因素，每个因素个因素，每个因素4个水平的正交试验。个水平的正交试验。(3)选用合适的正交表选用合适的正交表 确确定定了了因因素素及及其其水水平平后后，依依据据因因素素、水水平平及及须须要要考考察察的的交交互互作作用用的的多多少少来来选选择择合合适适的的正正交交表表。选选用用正正交交表表的的原原则则是是：既既要要能能支支配配下下试试验验的的全全部部因因素素，又又要要使使部部分分水水平平组组合合数数（处处理理数数）尽尽可可能能地地少少。一一般般状状况况下下，试试验验因因素素的的水水平平数数应应恰恰好好等等于于正正交交表表记记号号中中括括号号内内的的底底数数；因因素素的的个个数数（包包括括交交互互作作用用）应应不不大大于于正正交交表表记记号号中中括括号号内内的的指指数数；各各因因素素及及交交互互作作用用的的自自由由度度之之和和要要小小于于所所选选正正交交表表的的总总自自由由度度，以以便便估估计计试试验验误误差差。若若各各因因素素及及交交互互作作用用的的自自由由度度之之和和等等于于所所选选正正交交表表总总自自由由度度，则则可可接接受受有有重重复复正正交交试试验验来来估估计计试试验验误误差差。本本例例选选L16（45）最最合合适适，有有1空空列，可以作为试验误差以衡量试验的牢靠性。列，可以作为试验误差以衡量试验的牢靠性。(4)表头设计表头设计 所谓表头设计，就是把选择出的因素和所谓表头设计，就是把选择出的因素和要考察的交互作用分别排入正交表的表头适要考察的交互作用分别排入正交表的表头适当的列上。当的列上。在不考察交互作用时，各因素可随机支在不考察交互作用时，各因素可随机支配在各列上；若考察交互作用，就应按该正配在各列上；若考察交互作用，就应按该正交表的交互作用列表支配交表的交互作用列表支配 各各 因因 素与交互作素与交互作用。用。此例不考察交互作用，可将此例不考察交互作用，可将(A)、(B)和和(C)依次支配在依次支配在L16(45)的第的第1、2、3列上，第列上，第 4 列列 为空列，见表为空列，见表11-12。(5)排出试验方案排出试验方案 把正交表中支配各因素的每个列把正交表中支配各因素的每个列(不包含不包含欲考察的交互作用列欲考察的交互作用列)中的每个数字依次换成中的每个数字依次换成该因素的实际水平，就得到一个正交试验方该因素的实际水平，就得到一个正交试验方案。表案。表11-12就是就是例例11-2 的正交试验方案。的正交试验方案。从而得出试验的从而得出试验的16个处理，即：个处理，即：123 3，241 2，343 4，421 1，131 4，213 1，311 3，433 2，114 2，232 3，334 1，412 4，142 1，224 4，322 2，444 3。【例2】要生产某种食品添加剂，依据试验发觉影响添加剂收率的因素有4个，每个因素设置2种水平（表11-13）。本例有4个因素，假如支配后L8(27）表中，从表11-8 L8(27)表头设计可以查出,4个因素应支配在1,2,4,7列为好，这样考察4个因素各自的效应都不会与交互作用混杂。另外依据专业学问可知，D因素与A，B，C3因素之间没有或者少有交互作用。故将D因素支配后第七列，则3，5，6列就仅为AXB，AXC和BXC单独的交互作用。本例有本例有4个因素，假如支配后个因素，假如支配后L8(27）表中，从）表中，从表表11-8 L8(27)表表头设计头设计可以可以查查出出,4个因素个因素应应支配在支配在1,2,4,7列列为为好，好，这样这样考察考察4个因素各自的效个因素各自的效应应都不会都不会与交互作用混与交互作用混杂杂。另外依据。另外依据专业专业学学问问可知，可知，D因素因素与与A，B，C3因素之因素之间间没有或者少有交互作用。故没有或者少有交互作用。故将将D因素支配后第七列，因素支配后第七列，则则3，5，6列就列就仅为仅为AXB，AXC和和BXC单单独的交互作用。独的交互作用。4正交正交试验的的结果分析果分析4.1直直观分析法（极差分析法）分析法（极差分析法）凡接受正交表设计的试验，都可用正交表分析试验的结果，正交试验的结果分析，有直观分析和方差分析2种方法，现分别予以介绍。4.1.1不考虑交互作用的分析法 现对【例1】进行分析，该试验的结果见表11-14。分析方法：首先从16个处理中直观地找出最优处理组合为9号处理，即A1B1C4D2，指标为38.79；其次为13号处理A1B4C2D1，指标为38.02，但是原委哪一个是最好的指标呢？现后通过直观分析进行验证：4、正交试验结果的结果分析、正交试验结果的结果分析 若若各各号号试试验验处处理理都都只只有有一一个个观观测测值值，则则称称之之为为单单独独观观测测值值正正交交试试验验；若若各各号号试试验验处处理理都都有有两两个个或或两两个个以以上上观观测测值值，则则称称之之为为有重复观测值正交试验。有重复观测值正交试验。下下面面分分别别介介绍绍单单独独观观测测值值和和有有重重复复观观测正交试验结果的方差分析。测正交试验结果的方差分析。4.1.2 考察交互作用的考察交互作用的试验结果分析果分析 考察交互作用的考察交互作用的试验结试验结果的分析方法与前面并无本果的分析方法与前面并无本质质不同，只是：不同，只是：应应把每个互作当成一个因素看待把每个互作当成一个因素看待进进行分析；行分析；应应依据互作的效依据互作的效应应，选择选择出最出最优试验组优试验组合。合。见见表表11-15。4.2.1 无重复试验的方差分析无重复试验的方差分析 这这种种分分析析方方法法要要求求用用正正交交表表设设计计试试验验时时，必必需需留留有有不不排排入入因因素素或或互互作作的的空空例例，以以作作为为误误差差的的估计值。估计值。【例例3】某某食食品品厂厂或或产产口口香香糖糖，检检验验口口香香糖糖的的质质量量好好坏坏须须要要分分析析：拉拉伸伸率率（越越大大越越好好）；变变形形（越越小小越越好好）；耐耐弯弯曲曲次次数数（越越多多越越好好）这这3种种指指标标，要要求求对对3种种指指标标都都取取得得较较好好水水平平，现现要要进进行行口口香香糖糖配配方方的的试试验验分分析析，因因素素水水平平表表见见表表11-17，结果分析见表，结果分析见表11-18。资料料整整理理：本本试验3个个指指标同同等等重重要要，我我们只只以以拉拉伸伸率率1项为例例作作方方差差分分析析，其其余余2项及及综合合考考察察留留给大大家家作作练习之用。之用。表表11-18中中一一共共有有A，B，C，D4项因因素素，每每一一因因素素为4水水平，每一水平的重复次数平，每一水平的重复次数为4次，次，总次数次数为16次次(n)。自由度与平方和分解：自由度与平方和分解：该次次试验的的16个个观测值总变异异由由A因因素素、B因因素素、C因因素素、D因因素素及及误差差变异异五五部部分分组成成，因因而而进行方差分析行方差分析时平方和与自由度的划分式平方和与自由度的划分式为：SST=SSA+SSB+SSC+SSD+SSe dfT =dfA +dfB+dfC+dfD+dfe表表11-18中中，Ki为为各各因因素素同同一一水水平平试试验验指指标标（拉拉伸伸率率%）之和。）之和。如如 A因素第因素第1水平水平K1=y1+y2+y3+y4=545+490+515+505=2055 A因素第因素第2水平水平 K2=y5+y6+y7+y8=492+485+499+480=1956，A因素第因素第3水平水平 K3=y9+y10+y11+y12=566+539+511+515=2131，A因素第因素第4水平水平 K4=y13+y14+y15+y16=535+488+495+475=1993B因素第因素第1水平水平K1=y1+y5+y9+y13=545+492+566+535=2138，B因素第因素第3水平水平K3=y3+y7+y11+y15=515+499+511+495=2020同理可求得同理可求得C因素和因素和D因素各水平试验指标之因素各水平试验指标之和。和。为各因素同一水平试验指标的平均数。为各因素同一水平试验指标的平均数。如如A因素第因素第1水平水平=2055/4=513.75，A因素第因素第2水平水平=1956/4=489.0，A因素第因素第3水平水平=2131/4=532.75，A因素第因素第4水平水平=1993/4=489.25，同理可求得同理可求得B、C因素各水平试验指标的平均数。因素各水平试验指标的平均数。1、计算各项平方和与自由度计算各项平方和与自由度矫正数矫正数 C=T2/n=81352/15=4136139.063 总平方和总平方和SST=y2-C =5452+4902+4752-4136139.063 =10167.9375 A因素平方和 SSA=/a-C =(20552+19562+21312+19932)/4 4136139.063=4403.6875 B因素平方和 SSB=/b-C =(21382+20022+20202+19752)/4-4136139.063=3897.1875 C因素平方和因素平方和 SSC=T2C/c-C =(20162+19922+20212+20782)/4 4136139.063=1062.1875 D因素平方和因素平方和 SSD=T2D/d-C =(20472+20162+20212+20512)/4 4136139.063=237.6875误差平方和差平方和SSe=SST-SSA-SSB-SSC-SSD =10167.9375-4403.6875-3879.1875 =585.1875 总自由度总自由度dfT =n-1=16-1=15 A因素自由度因素自由度dfA=ka-1=4-1=3 B因素自由度因素自由度dfB=kb-1=4-1=3 C因素自由度因素自由度dfC=kc-1=4-1=3D因素自由度因素自由度dfd=kd-1=4-1=3 误差自由度误差自由度dfe=dfT-dfA-dfB-dfC-dfd =15-3-3-3-3=3 2、列出方差分析表，进行列出方差分析表，进行F检验检验 F 检检验验结结果果表表明明，四四个个因因素素对对拉拉伸伸率率的的影影响响都都不不显显著著。究究其其缘缘由由可可能能是是本本例例试试验验误误差差大大且且误误差差自自由由度度小小(仅仅为为3)，使使检检验验的的灵灵敏敏度度低低，从从而而掩掩盖盖了了考考察察因因素素的的显显著著性性。由由于于各各因因素素对对增增重重影影响响都都不不显显著著，不不必必再再进进行行各各因因素素水水平平间间的的多多重重比比较较。此此时时，可可直直观观地地从从表表11-18中中选选择择平平均均数数大大的的水水平平A3、B1、C3、D4组组合合成成最最优优水水平平组组合合A3B1C3 D4。上上述述无无重重复复正正交交试试验验结结果果的的方方差差分分析析，其其误误差差是是由由“空空列列”来来估估计计的的。然然而而“空空列列”并并不不空空，事事实实上上是是被被未未考考察察的的交交互互作作用用所所占占据据。这这种种误误差差既既包包含含试试验验误误差差，也也包包含含交交互互作作用用，称称为为模模型型误误差差。若若交交互互作作用用不不存存在在，用用模模型型误误差差估估计计试试验验误误差差是是可可行行的的；若若因因素素间间存存在在交交互互作作用用，则则模模型型误误差差会会夸夸大大试试验验误误差差，有有可可能能掩掩盖盖考考察察因因素素的的显显著著性性。这这时时，试试验验误误差差应应通通过过重重复复试试验验值值来来估估计计。所所以以，进进行行正正交交试试验验最最好好能能有有二二次次以以上上的的重重复复。正正交交试试验的重复，可接受完全随机或随机单位组设计。验的重复，可接受完全随机或随机单位组设计。多多重重比比较。从从本本试验的的方方差差分分析析，相相对来来说A因因素素和和B因因素素为重重要要因因素素，C因因素素和和D因因素素为次次要要因因素素。对A，B两两因因素素进行行多多重重比比较表表11-20至表至表11-22，用用LSR法。法。当当dfe=3时时，多重比较的结果以A3和B1为最好，另外A3和B1也可考虑，作为分析其他指标后综合平衡选择之用。从拉伸率这一指标来讲，最优组合为：A：胶基添加量21；B：葡萄糖浆添加量17；C，D因素不论。4.2.2 有重复观测值正交试验结果的有重复观测值正交试验结果的方差方差 有有重重复复试试验验的的方方差差分分析析与与无无重重复复试试验验的的方方差差分分析析，除除误误差差平平方方和和、自自由由度度的的计计算算有有所所不不同同外，其余各项计算基本相同。外，其余各项计算基本相同。【例例4】有有一一水水稻稻3因因素素试试验验，A因因素素为为品品种种(4水水平平）；B因因素素为为栽栽插插密密度度(2水水平平);C因因素素为为施施肥肥量量(2水水平平)；选选用用L8(4 X24)，其其表表头头设设计计和和产产量量结结果果（小小区区面面积积30 m2）。见见表表11-23。用用n表表示示试试验验(处处理理)号号数数，r表表示示试试验验处处理理的的重重复复数数。a、b、c、ka、kb、kc的的意意义义同同上。上。对对于于有有重重复复、且且重重复