模糊数学建模方法优秀PPT.ppt

模糊数学建模方法模糊数学建模方法重庆邮电高校重庆邮电高校数理学院数理学院沈世云沈世云shensycqupt.edu shensycqupt.edu 第第 1 章章模糊集的基本概念模糊集的基本概念第一节第一节 模糊数学概述模糊数学概述1.1.1.1.模糊数学的产生模糊数学的产生模糊数学的产生模糊数学的产生至今，数学的发展已经验三代：至今，数学的发展已经验三代：至今，数学的发展已经验三代：至今，数学的发展已经验三代：（1 1 1 1）第一代数学：经典数学，探讨和处理精确的必定现象；）第一代数学：经典数学，探讨和处理精确的必定现象；）第一代数学：经典数学，探讨和处理精确的必定现象；）第一代数学：经典数学，探讨和处理精确的必定现象；（2 2 2 2）其次代数学：统计数学，探讨和处理事物偶然性）其次代数学：统计数学，探讨和处理事物偶然性）其次代数学：统计数学，探讨和处理事物偶然性）其次代数学：统计数学，探讨和处理事物偶然性(随机性随机性随机性随机性)；（3 3 3 3）第三代数学：模糊数学，探讨和处理事物的模糊性。）第三代数学：模糊数学，探讨和处理事物的模糊性。）第三代数学：模糊数学，探讨和处理事物的模糊性。）第三代数学：模糊数学，探讨和处理事物的模糊性。它们都是不确定数学，是精确（确定）数学的延长和发展。它们都是不确定数学，是精确（确定）数学的延长和发展。它们都是不确定数学，是精确（确定）数学的延长和发展。它们都是不确定数学，是精确（确定）数学的延长和发展。Fuzzy Maths Fuzzy Maths Fuzzy Maths Fuzzy Maths，特地用来处理和探讨模糊性事物的一种新，特地用来处理和探讨模糊性事物的一种新，特地用来处理和探讨模糊性事物的一种新，特地用来处理和探讨模糊性事物的一种新的数学方法。的数学方法。的数学方法。的数学方法。1965196519651965年美国加州高校查德年美国加州高校查德年美国加州高校查德年美国加州高校查德(L.A.Zadeh)(L.A.Zadeh)(L.A.Zadeh)(L.A.Zadeh)教授发教授发教授发教授发表表表表Fuzzy SetsFuzzy SetsFuzzy SetsFuzzy Sets一文，标记其诞生。一文，标记其诞生。一文，标记其诞生。一文，标记其诞生。2.模糊数学的概念模糊数学的概念处理现实对象的数学模型处理现实对象的数学模型确确定定性性数数学学模模型型:确确定定性性或或固固定定性性,对对象象间间有有必必定定联联系系.随机性数学模型随机性数学模型:对象具有或然性或随机性对象具有或然性或随机性模糊性数学模型模糊性数学模型:对象及其关系均具有模糊性对象及其关系均具有模糊性.随机性与模糊性的区分随机性与模糊性的区分随机性随机性:指事务出现某种结果的机会指事务出现某种结果的机会.模糊性模糊性:指存在于现实中的不分明现象指存在于现实中的不分明现象.模糊数学模糊数学:探讨模糊现象的定量处理方法探讨模糊现象的定量处理方法.用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：1 1）.确定性现象：如水加温到确定性现象：如水加温到100oC100oC就沸腾，这种现象的规就沸腾，这种现象的规律性靠经典数学去刻画；律性靠经典数学去刻画；2 2）.随机现象：如掷筛子，观看那一面对上，这种现象的规随机现象：如掷筛子，观看那一面对上，这种现象的规律性靠概率统计去刻画律性靠概率统计去刻画;3 3）.模糊现象：如模糊现象：如 “今日天气很热今日天气很热”，“小伙子很帅小伙子很帅”，等等。此话精确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。等等。此话精确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。3.3.模糊数学的任务模糊数学的任务模糊数学的任务模糊数学的任务（1 1 1 1）给数学）给数学）给数学）给数学“禁区禁区禁区禁区”的各门学科，如社会、的各门学科，如社会、的各门学科，如社会、的各门学科，如社会、人文学科等供应新的语言和工具；人文学科等供应新的语言和工具；人文学科等供应新的语言和工具；人文学科等供应新的语言和工具；（2 2 2 2）使计算机能仿效人脑对困难系统进行识别）使计算机能仿效人脑对困难系统进行识别）使计算机能仿效人脑对困难系统进行识别）使计算机能仿效人脑对困难系统进行识别和推断，提高自动化水平，使电脑更和推断，提高自动化水平，使电脑更和推断，提高自动化水平，使电脑更和推断，提高自动化水平，使电脑更“聪慧聪慧聪慧聪慧”。4.4.4.4.事物的模糊性？事物的模糊性？事物的模糊性？事物的模糊性？指客观事物在中介过渡时所呈现的指客观事物在中介过渡时所呈现的指客观事物在中介过渡时所呈现的指客观事物在中介过渡时所呈现的“亦此亦彼性亦此亦彼性亦此亦彼性亦此亦彼性”。(1)(1)(1)(1)清晰的事物清晰的事物清晰的事物清晰的事物每个概念的内涵（内在涵义或本质属每个概念的内涵（内在涵义或本质属每个概念的内涵（内在涵义或本质属每个概念的内涵（内在涵义或本质属性）和外延（符合本概念的全体）都必需是清晰的、不性）和外延（符合本概念的全体）都必需是清晰的、不性）和外延（符合本概念的全体）都必需是清晰的、不性）和外延（符合本概念的全体）都必需是清晰的、不变的，每个概念非真即假，有一条截然分明的界线，如变的，每个概念非真即假，有一条截然分明的界线，如变的，每个概念非真即假，有一条截然分明的界线，如变的，每个概念非真即假，有一条截然分明的界线，如男、女。男、女。男、女。男、女。(2)(2)(2)(2)模糊性事物模糊性事物模糊性事物模糊性事物由于人未相识，或有所相识但信息不由于人未相识，或有所相识但信息不由于人未相识，或有所相识但信息不由于人未相识，或有所相识但信息不够丰富，使其模糊性不行忽视。它是一种没有确定明确的够丰富，使其模糊性不行忽视。它是一种没有确定明确的够丰富，使其模糊性不行忽视。它是一种没有确定明确的够丰富，使其模糊性不行忽视。它是一种没有确定明确的外延的事物。如美与丑等。人们对颜色、气味、味道、声外延的事物。如美与丑等。人们对颜色、气味、味道、声外延的事物。如美与丑等。人们对颜色、气味、味道、声外延的事物。如美与丑等。人们对颜色、气味、味道、声音、容貌、冷暖、深浅等的相识就是模糊的。音、容貌、冷暖、深浅等的相识就是模糊的。音、容貌、冷暖、深浅等的相识就是模糊的。音、容貌、冷暖、深浅等的相识就是模糊的。“事物的困难性与精确性的冲突是当代科学的事物的困难性与精确性的冲突是当代科学的事物的困难性与精确性的冲突是当代科学的事物的困难性与精确性的冲突是当代科学的一个基本冲突一个基本冲突一个基本冲突一个基本冲突”，由此促使着模糊数学的产生和，由此促使着模糊数学的产生和，由此促使着模糊数学的产生和，由此促使着模糊数学的产生和发展。发展。发展。发展。“模糊模糊模糊模糊”并非坏事，在有些状况下它比精确更并非坏事，在有些状况下它比精确更并非坏事，在有些状况下它比精确更并非坏事，在有些状况下它比精确更有意义，会带来更好的效果，如模糊描述人的特有意义，会带来更好的效果，如模糊描述人的特有意义，会带来更好的效果，如模糊描述人的特有意义，会带来更好的效果，如模糊描述人的特征，对人进行模糊综合评价。郑板桥讲征，对人进行模糊综合评价。郑板桥讲征，对人进行模糊综合评价。郑板桥讲征，对人进行模糊综合评价。郑板桥讲“难得糊难得糊难得糊难得糊涂涂涂涂”，事实上包含了难得模糊的哲理。，事实上包含了难得模糊的哲理。，事实上包含了难得模糊的哲理。，事实上包含了难得模糊的哲理。模糊数学是探讨和处理模糊性现象的数学方模糊数学是探讨和处理模糊性现象的数学方法法.众所周知，经典数学是以精确性为特征的众所周知，经典数学是以精确性为特征的.然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的没有价值的.甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好要好.例如例如,要你某时到某地去迎接一个要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”.”.尽管这里只供应了一个精确信息尽管这里只供应了一个精确信息男人，而其他男人，而其他信息信息大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析推断，就可以接到这个人脑的综合分析推断，就可以接到这个人.模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用应用.数学建模与模糊数学相关的问题数学建模与模糊数学相关的问题模糊数学模糊数学探讨和处理模糊性现象的数学探讨和处理模糊性现象的数学 （概念与其对立面之间没有一条明确的分界（概念与其对立面之间没有一条明确的分界线）线）与模糊数学相关的问题（一）与模糊数学相关的问题（一）模糊分类问题模糊分类问题已知若干个相互之间不分明已知若干个相互之间不分明的模糊概念，须要推断某个确定事物用哪一的模糊概念，须要推断某个确定事物用哪一个模糊概念来反映更合理精确个模糊概念来反映更合理精确模糊相像选择模糊相像选择 按某种性质对一组事物或按某种性质对一组事物或对象排序是一类常见的问题，但是用来比较对象排序是一类常见的问题，但是用来比较的性质具有边界不分明的模糊性的性质具有边界不分明的模糊性数学建模数学建模与模糊数学相关的问题模糊聚类分析模糊聚类分析依据探讨对象本身的属性构依据探讨对象本身的属性构造模糊矩阵，在此基础上依据确定的隶属度造模糊矩阵，在此基础上依据确定的隶属度来确定其分类关系来确定其分类关系 模糊层次分析法模糊层次分析法两两比较指标的确定两两比较指标的确定模糊综合评判模糊综合评判综合评判就是对受到多个因综合评判就是对受到多个因素制约的事物或对象作出一个总的评价，如素制约的事物或对象作出一个总的评价，如产品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种产品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种植适应性的评价等，都属于综合评判问题。植适应性的评价等，都属于综合评判问题。由于从多方面对事物进行评价难免带有模糊由于从多方面对事物进行评价难免带有模糊性和主观性，接受模糊数学的方法进行综合性和主观性，接受模糊数学的方法进行综合评判将使结果尽量客观从而取得更好的实际评判将使结果尽量客观从而取得更好的实际效果效果 参考书目参考书目1.模糊数学基础，张文修，西交大出版社2.模糊理论及其应用，刘普寅等，国防科大出版社其次其次节节 模糊子集及其运算模糊子集及其运算经典集合经典集合 经典集合具有两条基本属性：元素彼此相异，经典集合具有两条基本属性：元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明即无重复性；范围边界分明,即一个元素即一个元素x要么属要么属于集合于集合A(记作记作x A),),要么不属于集合要么不属于集合(记作记作x A)，二者必居其一，二者必居其一.集合的表示法：集合的表示法：(1)(1)枚举法，枚举法，A=x1,x2,xn；(2)(2)描述法，描述法，A=x|P(x).A B 若若x A，则则x B；A B 若若x B，则则x A；A=B A B且且 A B.集合A的全部子集所组成的集合称为A的幂集，记为(A).并集并集AB=x|x A或或x B；交集交集AB=x|x A且且x B；余集余集Ac=x|x A.集合的运算规律集合的运算规律 幂等律：幂等律：AA=A AA=A，AA=A AA=A；交换律：交换律：AB=BA AB=BA，AB=BA AB=BA；结合律：结合律：(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)；吸取律：吸取律：A(AB)=A A(AB)=A，A(AB)=A(AB)=A A；安排律：安排律：(AB)C=(AC)(BC)；(AB)C=(AC)(BC)；0-1律：律：AU=U，AU=A；A =A，A =；还原律：还原律：(Ac)c=A；对偶律：对偶律：(AB)c=AcBc，(AB)c=AcBc；排中律：排中律：AAc=U，AAc=；U 为全集，为全集，为空集为空集.集合的直积：集合的直积：X Y=(x,y)|x X,y Y .模糊子集及其运算模糊子集及其运算模糊子集与隶属函数模糊子集与隶属函数 设设U U是论域，称映射是论域，称映射A(x)A(x)：U0,1U0,1确定了一个确定了一个U U上的模糊子集上的模糊子集A A，映射，映射A(x)A(x)称为称为A A的的隶属函数，它表示隶属函数，它表示x x对对A A的隶属程度的隶属程度.使使A(x)=0.5A(x)=0.5的点的点x x称为称为A A的过渡点，此点最的过渡点，此点最具模糊性具模糊性.当映射当映射A(x)A(x)只取只取0 0或或1 1时，模糊子集时，模糊子集A A就是经就是经典子集，而典子集，而A(x)A(x)就是它的特征函数就是它的特征函数.可见经典子可见经典子集就是模糊子集的特殊情形集就是模糊子集的特殊情形.例例 设论域设论域U=x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)(单位：单位：cm)表示人的身高，那么表示人的身高，那么U上的一个模糊集上的一个模糊集“高个子高个子”(A)的隶属函数的隶属函数A(x)可定义为可定义为也可用也可用Zadeh表示法：表示法：还可用向量表示法：还可用向量表示法：A=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1).另外，还可以在另外，还可以在U U上建立一个上建立一个“矮个子矮个子”、“中等个子中等个子”、“年轻人年轻人”、“中年人中年人”等模糊子等模糊子集集.从上例可看出：从上例可看出：(1)(1)一个有限论域可以有无限个模糊子集一个有限论域可以有无限个模糊子集,而而经典子集是有限的；经典子集是有限的；(2)(2)一个模糊子集的隶属函数的确定方法是一个模糊子集的隶属函数的确定方法是主观的主观的.隶属函数是模糊数学中最重要的概念之一，隶属函数是模糊数学中最重要的概念之一，模糊数学方法是在客观的基础上，特殊强调主观模糊数学方法是在客观的基础上，特殊强调主观的方法的方法.如：考虑年龄集如：考虑年龄集U=0,100U=0,100，A=“A=“年老年老”，A A也是一个年龄集，也是一个年龄集，u=20 u=20 A A，40 40 呢？呢？查查德给出了德给出了“年老年老”集函数刻画集函数刻画:模糊集的运算模糊集的运算相等相等：A=B A(x)=B(x)；包含包含：A B A(x)B(x)；并并：AB的隶属函数为的隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x)；交交：AB的隶属函数为的隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x)；余余：Ac的隶属函数为的隶属函数为Ac(x)=1-A(x).模糊集的并、交、余运算性质模糊集的并、交、余运算性质 幂等律：幂等律：AA=A，AA=A；交换律：交换律：AB=BA，AB=BA；结合律：结合律：(AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)；吸取律：吸取律：A(AB)=A，A(AB)=A；安排律：安排律：(AB)C=(AC)(BC)；(AB)C=(AC)(BC)；0-1律：律：AU=U，AU=A；A =A，A =；还原律：还原律：(Ac)c=A；对偶律：对偶律：(AB)c=AcBc，(AB)c=AcBc；对偶律的证明：对于随意的对偶律的证明：对于随意的 x U(论域论域)，(AB)c(x)=1-(AB)(x)=1-(A(x)B(x)=(1-A(x)(1-B(x)=Ac(x)Bc(x)=AcBc(x)模糊集的运算性质基本上与经典集合一模糊集的运算性质基本上与经典集合一样，除了排中律以外，即样，除了排中律以外，即AAc AAc U U，AAc AAc .模糊集不再具有模糊集不再具有“非此即彼非此即彼”的特点，的特点，这正是模糊性带来的本质特征这正是模糊性带来的本质特征.例例 设论域设论域U=x1,x2,x3,x4,x5(商品商品集集)，在，在U上定义两个模糊集：上定义两个模糊集：A=“商品质商品质量好量好”，B=“商品质量坏商品质量坏”，并设，并设A=(0.8,0.55,0,0.3,1).B=(0.1,0.21,0.86,0.6,0).则则Ac=“商品质量不好商品质量不好”,Bc=“商品质量不坏商品质量不坏”.Ac=(0.2,0.45,1,0.7,0).Bc=(0.9,0.79,0.14,0.4,1).可见可见Ac B,Bc A.又又 AAc=(0.8,0.55,1,0.7,1)U,AAc=(0.2,0.45,0,0.3,0).一、一、模糊截集与强截集模糊截集与强截集1.定义定义第三节第三节 模糊集的基本定理模糊集的基本定理 模糊集的模糊集的-截集截集A A 是一个经典集合，由隶属是一个经典集合，由隶属度不小于度不小于 的成员构成的成员构成.例：论域例：论域U=u1,u2,u3,u4,u5,u6(U=u1,u2,u3,u4,u5,u6(学学生集生集)，他们的成果依次为，他们的成果依次为50,60,70,80,90,9550,60,70,80,90,95，A=“A=“学习成果好的学生学习成果好的学生”的隶属度分别为的隶属度分别为0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.950.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.95，则，则A0.9 (90分以上者分以上者)=u5,u6,A0.6 (60分以上者分以上者)=u2,u3,u4,u5,u6.2.性质性质性质性质1性质性质1性质性质2性质性质3 性质性质4 性质性质 5例例1解解性质性质6定义定义2性质性质7当当 时时,称称 为为正规模糊集正规模糊集.下面将要介绍的分解定理就是反映这一事下面将要介绍的分解定理就是反映这一事实的实的.先来学习数积概念与性质先来学习数积概念与性质.从前面介绍的性质可以看出当从前面介绍的性质可以看出当 从从1逐渐逐渐下降趋于下降趋于0，而不达到，而不达到0时，时，是从是从 的核的核Ker 逐渐扩展为逐渐扩展为 的支集的支集Supp .因此，我们可以因此，我们可以将模糊集将模糊集 看作是其边界在看作是其边界在Ker 和和Supp 之之间游移间游移,即将模糊集即将模糊集 看作是普通集合族看作是普通集合族 的总体的总体.1.数积的概念与性质数积的概念与性质其隶属函数为其隶属函数为二、分解定理二、分解定理定义定义定理定理1（分解定理（分解定理I）证明证明2.分解定理分解定理定理定理2（分解定理（分解定理II）定理定理3（分解定理（分解定理III）第四节、第四节、隶属函数的确定隶属函数的确定 模糊数学的基本思想是隶属度思想。模糊数学的基本思想是隶属度思想。应用模糊数学方应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建立符合实际的隶属函数。如法建立数学模型的关键是建立符合实际的隶属函数。如何确定一个模糊集的隶属函数至今还是尚未解决的问题。何确定一个模糊集的隶属函数至今还是尚未解决的问题。这里仅仅介绍几种常用的确定隶属函数的方法。这里仅仅介绍几种常用的确定隶属函数的方法。1.模糊统计方法模糊统计方法 与概率统计类似，但有区分：若把概率与概率统计类似，但有区分：若把概率统计随机事务统计随机事务A A是固定不变的，样本空间中是固定不变的，样本空间中样本点数十变动，而模糊统计试验中，样本点数十变动，而模糊统计试验中，x x是是固定不变的，而模糊集固定不变的，而模糊集A*A*是可变的。是可变的。2.指派方法指派方法 一种主观方法依据实践阅历来确定，一一种主观方法依据实践阅历来确定，一般给出隶属函数的解析表达式。般给出隶属函数的解析表达式。3.借用已有的借用已有的“客观客观”尺度尺度依据问题的实际意义来确定，在经济管理，社会管理中常用。依据问题的实际意义来确定，在经济管理，社会管理中常用。如如U表示产品，定义表示产品，定义A模糊集模糊集“质量稳定质量稳定”，可用产品的，可用产品的“正正品率品率”作为作为A的隶属度。的隶属度。n常用的隶属函数有常用的隶属函数有Z函数（偏小型）、函数（偏小型）、函数函数（中间型）、（中间型）、S函数（偏大型）函数（偏大型）.n偏小型一般适合于描述像偏小型一般适合于描述像“小，少，浅，淡，青小，少，浅，淡，青年年”等偏小程度的模糊现象。等偏小程度的模糊现象。n偏大型一般适合于描述像偏大型一般适合于描述像“大，多，深，浓，老大，多，深，浓，老年年”等偏大程度的模糊现象。等偏大程度的模糊现象。n中间型一般适合于描述像中间型一般适合于描述像“中，适中，不太多，中，适中，不太多，不太浓，温煦，中年不太浓，温煦，中年”等处于中间状态的模糊现等处于中间状态的模糊现象。象。常用的隶属函数有偏小型、中间型、偏大型常用的隶属函数有偏小型、中间型、偏大型.偏小型：偏小型：偏大型：偏大型：中间型：中间型：梯形分布梯形分布：偏小型：偏小型：偏大型：偏大型：中间型：中间型：分布分布 偏小型：偏小型：偏大型：偏大型：中间型：中间型：正态分布正态分布 以人的年龄作为论域以人的年龄作为论域X,模糊集模糊集 表示表示“年老年老”,表示表示“年轻年轻”，不妨设，不妨设 X=0,150.Zadeh 给给出它们的隶属函数分别如下：出它们的隶属函数分别如下：例例1Oldyoungtrig(x;20,60,80)trap(x;10,20,60,90)g(x;50,20)bell(x:20,4,50)cc-ac+a斜率斜率=-b/2a隶属函数的参数化举例：隶属函数的参数化举例：以钟形函数为例，以钟形函数为例，a,b,c,的几何意义如图所示。的几何意义如图所示。变更变更a,b,c,即可变更隶属函数的形态。即可变更隶属函数的形态。第第 二二 章章模糊模式识别模糊模式识别第一节第一节 模糊模型识别模糊模型识别模型识别模型识别 已知某类事物的若干标准模型，现有这类事已知某类事物的若干标准模型，现有这类事物中的一个具体对象，问把它归到哪一模型，这物中的一个具体对象，问把它归到哪一模型，这就是模型识别就是模型识别.模型识别在实际问题中是普遍存在的模型识别在实际问题中是普遍存在的.例如，例如，学生到野外采集到一个植物标本，要识别它属于学生到野外采集到一个植物标本，要识别它属于哪一纲哪一目；投递员哪一纲哪一目；投递员(或分拣机或分拣机)在分拣信件时在分拣信件时要识别邮政编码等等，这些都是模型识别要识别邮政编码等等，这些都是模型识别.模糊模型识别模糊模型识别 所谓模糊模型识别所谓模糊模型识别,是指在模型识别中是指在模型识别中,模型模型是模糊的是模糊的.也就是说也就是说,标准模型库中供应的模型是标准模型库中供应的模型是模糊的模糊的.模型识别模型识别的原理的原理 为了能识别待推断的对象为了能识别待推断的对象x=(x1,x2,x=(x1,x2,xn)Txn)T是属于已知类是属于已知类A1,A2,AmA1,A2,Am中的哪一类？中的哪一类？事先必须要有一个一般规则事先必须要有一个一般规则,一旦知道了一旦知道了x x的的值值,便能依据这个规则马上作出推断便能依据这个规则马上作出推断,称这样的称这样的一个规则为判别规则一个规则为判别规则.判别规则往往通过的某个函数来表达判别规则往往通过的某个函数来表达,我们我们把它称为判别函数把它称为判别函数,记作记作W(i;x).W(i;x).一旦知道了判别函数并确定了判别规则，最一旦知道了判别函数并确定了判别规则，最好将已知类别的对象代入检验，这一过程称为回好将已知类别的对象代入检验，这一过程称为回代检验，以便检验你的判别函数和判别规则是否代检验，以便检验你的判别函数和判别规则是否正确正确.其次节其次节 最大隶属原则最大隶属原则模糊向量的内积与外积模糊向量的内积与外积 定义定义 称向量称向量a=(a1,a2,an)是模糊向量是模糊向量,其中其中0ai1.若若ai 只取只取0或或1,则称则称a=(a1,a2,an)是是Boole向量向量.设设 a=(a1,a2,an),b=(b1,b2,bn)都是模都是模糊向量，则定义糊向量，则定义 内积内积：a b=(akbk)|1kn；外积外积：a b=(akbk)|1kn.内积与外积的性质内积与外积的性质(a b)c=a c b c;(a b)c=a c b c.模糊向量集合族模糊向量集合族 设设A1,A2,AnA1,A2,An是论域是论域X X上的上的n n个模糊子集个模糊子集,称以模糊集称以模糊集A1,A2,AnA1,A2,An为重量的模糊向量为为重量的模糊向量为模糊向量集合族，记为模糊向量集合族，记为A=(A1,A2,An).A=(A1,A2,An).若若X X 上的上的n n个模糊子集个模糊子集A1,A2,AnA1,A2,An的隶的隶属函数分别为属函数分别为A1(x),A2(x),An(x),A1(x),A2(x),An(x),则则定义模糊向量集合族定义模糊向量集合族 A=(A1,A2,An)A=(A1,A2,An)的的隶属函数为隶属函数为A(x)=A1(x1),A2(x2),An(xn)A(x)=A1(x1),A2(x2),An(xn)或者或者A(x)=A1(x1)+A2(x2)+A(x)=A1(x1)+A2(x2)+An(xn)/n.An(xn)/n.其中其中x=(x1,x2,xn)x=(x1,x2,xn)为一般向量为一般向量.最大隶属原则最大隶属原则 最大隶属原则最大隶属原则 设论域设论域X=x1,x2,X=x1,x2,xn xn 上有上有m m个模糊子集个模糊子集A1,A2,Am(A1,A2,Am(即即m m个模个模型型),),构成了一个标准模型库构成了一个标准模型库,若对任一若对任一x0X,x0X,有有k1,2,m,k1,2,m,使得使得Ak(x0)=A1(x0),A2(x0),Am(x0)Ak(x0)=A1(x0),A2(x0),Am(x0)，则认为则认为x0 x0相对隶属于相对隶属于Ak.Ak.最大隶属原则最大隶属原则 设论域设论域X X上有一个标准模型上有一个标准模型A,A,待识别的对象有待识别的对象有n n个：个：x1,x2,xnX,x1,x2,xnX,假假如有某个如有某个xkxk满足满足A(xk)=A(x1),A(x2),A(xn),A(xk)=A(x1),A(x2),A(xn),则应优先录用则应优先录用xk.xk.例例1 1 在论域在论域X=0,100X=0,100分数上建立三个表示分数上建立三个表示学习成果的模糊集学习成果的模糊集A=“A=“优优”,B=“”,B=“良良”,C=“”,C=“差差”.”.当一位同学的成果为当一位同学的成果为8888分时分时,这个成果是属于这个成果是属于哪一类？哪一类？A(88)=0.8B(88)=0.7A(88)=0.8,B(88)=0.7,C(88)=0.依据最大隶属原则依据最大隶属原则,88,88分这个成果应隶属分这个成果应隶属于于A,A,即为即为“优优”.”.例例2 2 论域论域 X=x1(71),x2(74),x3(78)X=x1(71),x2(74),x3(78)表示三个学生的成果表示三个学生的成果,那一位学生的成果最差？那一位学生的成果最差？C(71)=0.9,C(74)=0.6,C(78)=0.2,C(71)=0.9,C(74)=0.6,C(78)=0.2,依据最大隶属原则依据最大隶属原则，x1(71)x1(71)最差最差.例例3 3 细胞染色体形态的模糊识别细胞染色体形态的模糊识别 细胞染色体形态的模糊识别就是几何图形的细胞染色体形态的模糊识别就是几何图形的模糊识别模糊识别,而几何图形常常化为若干个三角图形而几何图形常常化为若干个三角图形,故设论域为三角形全体故设论域为三角形全体.即即X=X=(A,B,C)|A+B+C=180,ABC(A,B,C)|A+B+C=180,ABC 标准模型库标准模型库=E(=E(正三角形正三角形),R(),R(直角三角形直角三角形),),I(I(等腰三角形等腰三角形),IR(),IR(等腰直角三角形等腰直角三角形),T(),T(随意三随意三角形角形).).某人在试验中视察到一染色体的几何形态，某人在试验中视察到一染色体的几何形态，测得其三个内角分别为测得其三个内角分别为94,50,36,94,50,36,即待识别对象即待识别对象为为x0=(94,50,36).x0=(94,50,36).问问x0 x0应隶属于哪一种三角形？应隶属于哪一种三角形？先建立标准模型库中先建立标准模型库中各种三角形的隶属函数各种三角形的隶属函数.直角三角形的隶属函数直角三角形的隶属函数R(A,B,C)R(A,B,C)应满足下列应满足下列约束条件：约束条件：(1)(1)当当A=90A=90时时,R(A,B,C)=1;,R(A,B,C)=1;(2)(2)当当A=180A=180时时,R(A,B,C)=0;,R(A,B,C)=0;(3)0R(A,B,C)1.(3)0R(A,B,C)1.因此，不妨定义因此，不妨定义R(A,B,C)=1-|A-90|/90.则则R(x0)=0.955.或者或者其中其中 p=|A 90|则则R(x0)=0.54.正三角形的隶属函数正三角形的隶属函数E(A,B,C)E(A,B,C)应满足下列约应满足下列约束条件：束条件：(1)当当A=B=C=60时时,E(A,B,C)=1;(2)当当A=180,B=C=0时时,E(A,B,C)=0;(3)0E(A,B,C)1.因此，不妨定义因此，不妨定义E(A,B,C)=1 (A C)/180.则则E(x0)=0.677.或者或者其中其中 p=A C 则则E(x0)=0.02.等腰三角形的隶属函数等腰三角形的隶属函数I(A,B,C)I(A,B,C)应满足下列应满足下列约束条件：约束条件：(1)(1)当当A=B 或者或者 B=C时时,I(A,B,C)=1;(2)(2)当当A=180,B=60,C=0时时,I(A,B,C)=0;(3)(3)0I(A,B,C)1.因此，不妨定义因此，不妨定义I(A,B,C)=1 (A B)(B C)/60.则则I(x0)=0.766.或者或者 p=(A B)(B C)则则I(x0)=0.10.等腰直角三角形的隶属函数等腰直角三角形的隶属函数(IR)(A,B,C)=I(A,B,C)R(A,B,C);(IR)(x0)=0.7660.955=0.766.随意三角形的隶属函数随意三角形的隶属函数T(A,B,C)=IcRcEc=(IRE)c.T(x0)=(0.7660.9550.677)c=(0.955)c=0.045.通过以上计算通过以上计算,R(x0)=0.955最大最大,所以所以x0应隶应隶属于直角三角形属于直角三角形.或者或者(IR)(x0)=0.10;T(x0)=(0.54)c=(IR)(x0)=0.10;T(x0)=(0.54)c=0.46.0.46.仍旧是仍旧是R(x0)=0.54R(x0)=0.54最大最大,所以所以x0 x0应隶属于应隶属于直角三角形直角三角形.阈值原则阈值原则 设论域设论域X=x1,x2,xn 上有上有m个模糊子个模糊子集集A1,A2,Am(即即m个模型个模型),),构成了一个标准构成了一个标准模型库模型库,若对任一若对任一x0X,取定水平取定水平 0,1.若存在若存在 i1,i2,ik,使使Aij(x0)(j=1,2,k),则判决为：则判决为：x0相对隶属于相对隶属于 若若Ak(x0)|k=1,2,mAk(x0)|k=1,2,m,则判决则判决为：不能识别为：不能识别,应当找缘由另作分析应当找缘由另作分析.该方法也适用于判别该方法也适用于判别x0是否隶属于是否隶属于标准模型标准模型Ak.若若Ak(x0),则判决为：则判决为：x0相对隶属于相对隶属于Ak;若若Ak(x0),则判决为：则判决为：x0相对不隶属于相对不隶属于Ak.第三节第三节 择近原则择近原则 设在论域设在论域X=x1,x2,xnX=x1,x2,xn上有上有m m个模糊个模糊子集子集A1,A2,Am(A1,A2,Am(即即m m个模型个模型),),构成了一个标构成了一个标准模型库准模型库.被识别的对象被识别的对象B B也是也是X X上一个模糊集上一个模糊集,它它与标准模型库中那一个模型最贴近？这是其次类与标准模型库中那一个模型最贴近？这是其次类模糊识别问题模糊识别问题.先将模糊向量的内积与外积的概念扩充先将模糊向量的内积与外积的概念扩充.设设A(x),B(x)A(x),B(x)是论域是论域X X上两个模糊子集的隶属上两个模糊子集的隶属函数函数,定义定义 内积：内积：A B=A(x)B(x)|xX A B=A(x)B(x)|xX；外积：外积：AB=A(x)B(x)|xX.AB=A(x)B(x)|xX.内积与外积的性质内积与外积的性质(1)(1)(A B)c=AcBc;(2)(2)(AB)c=Ac Bc;(3)(3)A Ac 1/2;(4)(4)AAc 1/2.证明证明(1)(1)(A B)c=1-A(x)B(x)|xX =1-A(x)1-B(x)|xX=Ac(x)Bc(x)|xX=AcBc.证明证明(3)(3)A Ac=A(x)1-A(x)|xX 1/2|xX 1/2.下面我们用下面我们用 (A,B)表示两个模糊集表示两个模糊集A,B之间之间的贴近程度的贴近程度(简称简称贴近度贴近度),),贴近度贴近度 (A,B)有一些有一些不同的定义不同的定义.0(A,B)=A B+(1-A B)/2 (格贴近度格贴近度)1(A,B)=(A B)(1-A B)择近原则择近原则 设在论域设在论域X=x1,x2,xn上有上有m个模糊子个模糊子集集A1,A2,Am构成了一个标准模型库构成了一个标准模型库,B是待是待识别的模型识别的模型.若有若有k1,2,m,使得使得 (Ak,B)=(Ai,B)|1im,则称则称B与与Ak最贴近最贴近,或者说把或者说把B归于归于Ak类类.这就是这就是择择近原则近原则.C=C=故故B比比A更贴近于更贴近于.茶叶等级识别n茶叶分为I，II，III，IV，V种，识别A为哪一种。n指标数如下：nI=（0.5，0.4，0.3，0.6，0.5，0.4）nII=（0.3，0.2，0.2，0.1，0.2，0.2）nIII=（0.2，0.2，0.2，0.1，0.1，0.2）nIV=（0，0.1，0.2，0.1，0.1，0.1）nV=（0，0.1，0.1，0.1，0.1，0.1）n待识别茶叶指标数：n利用贴近度得 由此可得 A 为 I 型茶叶。，算法演示n算法演示：计算的MATLAB程序如下：na=0.5 0.4 0.3 0.6 0.5 0.4 n 0.3 0.2 0.2 0.1 0.2 0.2 n 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.2 n 0 0.1 0.2 0.1 0.1 0.1 n 0 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1;nb=0.4 0.2 0.1 0.4 0.5 0.6;nfor i=1:5 n x=a(i,:);b;n t(i)=min(max(min(x)1-min(max(x);nend nt 多个特性的择近原则多个特性的择近原则 设在论域设在论域X=x1,x2,xn上有上有n个模糊子个模糊子集集A1,A2,An构成了一个标准模型库构成了一个标准模型库,每个模每个模型又由个特性来刻划：型又由个特性来刻划：Ai=(Ai1,Ai2,Aim),i=1,2,n,待识别的模型待识别的模型B=(B1,B2,Bm).先求两个模糊向量集合族的贴近度：先求两个模糊向量集合族的贴近度：si=(Aij,Bj)|1jm,i=1,2,n,若有若有k1,2,n,使得使得 (Ak,B)=si|1in,则称则称B与与Ak最贴近最贴近,或者说把或者说把B归于归于Ak类类.这就是这就是多个特性的择近原则多个特性的择近原则.贴近度的的改进贴近度的的改进格贴近度的不足之处是一般格贴