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第一节 为了更便利地从数量方面探讨随机现象的统计规为了更便利地从数量方面探讨随机现象的统计规 其次章 实数对应起来，实数对应起来，将随机试验结果数量化将随机试验结果数量化。随机变量律，引入随机变量的概念，即将随机试验的结果与律，引入随机变量的概念，即将随机试验的结果与定义定义1.1.设随机试验的样本空间设随机试验的样本空间在样本在样本上的实值单值函数，上的实值单值函数，称称是定义是定义为为随机变量随机变量。例例1.1.对一匀整硬币抛一次，视察正反面状况。对一匀整硬币抛一次，视察正反面状况。设设为随机变量。为随机变量。其中其中表示事务表示事务A：结果：结果样本空间样本空间出现正面，出现正面，即即同理同理其中其中表示事务表示事务 一、随机变量的定义一、随机变量的定义结果出现反面结果出现反面,即即例例2.2.测量某工厂一天生产灯泡的寿命。测量某工厂一天生产灯泡的寿命。样本空间样本空间设设，其中，其中，则，则 X 为随机变量。为随机变量。寿命寿命表示一事务表示一事务A，例如例如例例3.3.某战士射击命中率为某战士射击命中率为 ,设首次击中目标所需射击设首次击中目标所需射击 次数为次数为 ,则随机变量则随机变量 随机变量定义在样本空间随机变量定义在样本空间 S 上上,定义域可以是数也可定义域可以是数也可以不是数；而一般函数是定义在实数域上的。以不是数；而一般函数是定义在实数域上的。2.随机变量函数的取值在试验之前无法确定随机变量函数的取值在试验之前无法确定,有确定有确定的概率；而一般函数却没有。的概率；而一般函数却没有。三、随机变量的分类三、随机变量的分类随机变量随机变量非离散型随机变量非离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量其它其它 二、随机变量函数和一般函数的区分二、随机变量函数和一般函数的区分1.定义域不同定义域不同离散型随机变量及其分布 其次章 一、离散型随机变量的定义一、离散型随机变量的定义二、常用的离散型随机变量二、常用的离散型随机变量其次节定义定义1.1.若某个随机变量若某个随机变量的全部可能取值是有限个或的全部可能取值是有限个或无限可列多个，则称这个随机变量是无限可列多个，则称这个随机变量是离散型随机变量离散型随机变量。定义定义2.2.设离散型随机变量设离散型随机变量的全部可能取值为的全部可能取值为,其中其中取各个可能值的概率，即事务取各个可能值的概率，即事务的概率的概率一、离散型随机变量的定义一、离散型随机变量的定义表示一个事件表示一个事件,并且并且为为的值域。的值域。满足：满足：称称为离散型随机变量为离散型随机变量的的概率分布或分布律概率分布或分布律。分布律也可用如下表格的形式表示分布律也可用如下表格的形式表示分布律的分布律的推断条件推断条件例例1.1.设一汽车在开往目的地的道路上需经过三盏信号设一汽车在开往目的地的道路上需经过三盏信号灯，每盏信号灯以概率灯，每盏信号灯以概率允许或禁止汽车通过允许或禁止汽车通过,表示汽车首次停下通过的信号灯盏数表示汽车首次停下通过的信号灯盏数(设各信号灯的工设各信号灯的工作是相互独立的）作是相互独立的）,求求的分布律。的分布律。解解 由题意可知由题意可知的分布律为的分布律为，则，则明显，明显，的分布律满足的分布律满足；将将带入可得带入可得的分布律为的分布律为解解 S=HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT则则例例2.2.设一匀整的硬币抛三次为一次试验，设一匀整的硬币抛三次为一次试验，为正面为正面出现的次数，求随机变量出现的次数，求随机变量的分布律。的分布律。.(01)分布分布定义定义1.1.假如随机变量假如随机变量的分布律为的分布律为则称则称听从参数为听从参数为的的(01)分布分布。即即或或二、常用的离散型随机变量及其分布二、常用的离散型随机变量及其分布（01）分布的分布律也可写成）分布的分布律也可写成 注注 听从（听从（01）分布的随机变量很多，假如涉及的试）分布的随机变量很多，假如涉及的试验只有两个互斥的结果：验只有两个互斥的结果：，都可在样本空间上定义，都可在样本空间上定义一个听从（一个听从（01）分布的随机变量：）分布的随机变量：下面我们将介绍一个重要的离散型随机变量的下面我们将介绍一个重要的离散型随机变量的分布分布-二项分布二项分布 1.伯努利概型（概率论中最早探讨的模型之一，也是伯努利概型（概率论中最早探讨的模型之一，也是探讨最多的模型之一，在理论上一些重要的结果也由探讨最多的模型之一，在理论上一些重要的结果也由它推导）它推导）n重独立试验重独立试验在相同的条件下对试验在相同的条件下对试验E重复做重复做n次，若次，若n次试验中各次试验中各结果是相互独立的，则称这结果是相互独立的，则称这n次试验是相互独立的次试验是相互独立的。伯努利概型伯努利概型设随机试验设随机试验E只有只有两种可能结果，且两种可能结果，且将试验将试验E独立地重复进行独立地重复进行n次，则称这次，则称这n次试验次试验为为n重伯努利试验重伯努利试验，或称，或称n重伯努利概型重伯努利概型。.二项分布二项分布二项分布二项分布引例：引例：某人打靶单发命中率为某人打靶单发命中率为现独立重复射现独立重复射击击3次，求恰好命中次，求恰好命中2发的概率。发的概率。解解表示表示“第第i次命中次命中”表示表示“恰好命中两次恰好命中两次”定理（伯努利定理）定理（伯努利定理）P24n重伯努利试验中重伯努利试验中,“事务事务 恰好发生恰好发生k次次”,即即的概率为：的概率为：例例1从学校乘汽车去火车站一路上有从学校乘汽车去火车站一路上有 4 个交通岗，个交通岗，到各个岗遇到红灯是相互独立的，到各个岗遇到红灯是相互独立的，且概率均为且概率均为0.3,求求某人从学校到火车站途中某人从学校到火车站途中2次遇到红灯的概率。次遇到红灯的概率。解解 途中遇到途中遇到 4次经交通岗为次经交通岗为4重贝努利试验，其中重贝努利试验，其中定义定义2.2.假如随机变量假如随机变量的分布律为的分布律为则称则称听从参数为听从参数为的的二项分二项分其中其中布布，记为，记为简洁验证简洁验证由二项式定理由二项式定理特殊特殊,当当时时,二项分布为二项分布为这就是（这就是（01）分布，常记为）分布，常记为2 2.二项分布二项分布二项分布二项分布 3.二项分布的分布形态二项分布的分布形态若若，则，则由此可知，二项分布的分布律由此可知，二项分布的分布律(右图右图)先是随着先是随着到其最大值后再随着到其最大值后再随着的增大而减小的增大而减小.这个使得这个使得达到其最大值的达到其最大值的称为该称为该二项分布的最可能次数二项分布的最可能次数。的增大而增大，达的增大而增大，达可以证明：可以证明：例例4 已知已知100100个产品中有个产品中有5 5个次品，现从中个次品，现从中有放回有放回地地取取3 3次，每次任取次，每次任取1 1个，求在所取的个，求在所取的3 3个中恰有个中恰有2 2个次品个次品的概率的概率.表示所取的表示所取的3 3个中的次品数，个中的次品数，于是所求概率为，于是所求概率为则则解：解：设设注注：若将本例中的若将本例中的“有放回有放回”改为改为“无放回无放回”，那，那么各么各次试验条件就不同了，不是伯努利概型，此时只能用次试验条件就不同了，不是伯努利概型，此时只能用古典概型求解古典概型求解.例例5 一大批产品中一级品率为一大批产品中一级品率为0.20.2，现随机抽查，现随机抽查2020只，问只，问20只元件中恰好有只元件中恰好有为一级为一级品的概率为多少？品的概率为多少？解解设设表示表示20只元件中为一级品的只数，只元件中为一级品的只数，这个试验可以看作伯努利试验。这个试验可以看作伯努利试验。例例6 某人射击命中率为某人射击命中率为0.02，独立射击，独立射击400次，试次，试求至少击中求至少击中2次的概率？次的概率？解解 设设表示击中的次数，则表示击中的次数，则所以分布律所以分布律则所求概率则所求概率本例题的实际意义：本例题的实际意义：不行忽视小概率事务不行忽视小概率事务;反过来看，假如一个人射击反过来看，假如一个人射击400次，击中竟不到次，击中竟不到两次，由于两次，由于很小，故怀疑很小，故怀疑“命中率命中率0.02”是否为真，即他的命中率不到是否为真，即他的命中率不到0.02。例例7 80台同类型设备，各台工作相互独立，发生故台同类型设备，各台工作相互独立，发生故障的概率障的概率，有两种配备修理工人的方法：，有两种配备修理工人的方法：4个人每人负责个人每人负责20台；台；3个人共同负责个人共同负责80台。台。问那种方案好问那种方案好?(比较发生故障而不能刚好修理的概率比较发生故障而不能刚好修理的概率)解解 设设表示表示“第一个人维护的第一个人维护的20台中同时发生故障台中同时发生故障的台数的台数”，表示表示“第第i个人维护的个人维护的20台中发生故障而不台中发生故障而不能刚好修理能刚好修理”，由题意可得由题意可得 第一个人维护的第一个人维护的20台中发生故障而不能刚好维台中发生故障而不能刚好维修的概率为修的概率为4个人维护的个人维护的80台中发生故障而不能刚好修理的概率台中发生故障而不能刚好修理的概率 设设表示表示“80台同时发生故障的台数台同时发生故障的台数”则则3人维护的人维护的80台中发生故障而不能刚好修理的概率台中发生故障而不能刚好修理的概率总之总之即第即第种方案的工作效率高。种方案的工作效率高。定理定理1（泊松泊松Poisson定理定理)设设是一常数，是一常数，n是是正整数，若正整数，若，则对任一固定的非负整数，则对任一固定的非负整数证明证明 由由得得注：注：二项分布是最重要的离散型概率分布之一，当二项分布是最重要的离散型概率分布之一，当时，即为（时，即为（01）分布；当）分布；当时，时，二项分布近似于下面介绍的泊松分布。二项分布近似于下面介绍的泊松分布。定义定义1.设随机变量设随机变量全部可能取的值为全部可能取的值为0,1,2,0,1,2,而而 且概率分布为：且概率分布为：.泊松分布泊松分布其中其中，则称，则称听从参数为听从参数为的泊松分布的泊松分布，记，记注：注：麦克劳林级数麦克劳林级数所以所以满足随机变量概率定义的条件。满足随机变量概率定义的条件。泊松分布的图形特点泊松分布的图形特点：当当 n 很大，很大，p 很小时，很小时，泊松泊松定理表明：定理表明：泊松分布是二项分布的极限分布泊松分布是二项分布的极限分布，参数参数 =n p 的的泊松分布泊松分布二项分布就可近似看成是二项分布就可近似看成是作业作业5P33：习题：习题2.2 EX1(2)(3)，EX2，EX5P38：习题：习题2.3 1，3，4，5例例1 一交通路口一段时间内汽车发生交通事故的次数一交通路口一段时间内汽车发生交通事故的次数听从参数为听从参数为的泊松分布，求至少发生两次的泊松分布，求至少发生两次事故的概率。事故的概率。解解 随机变量随机变量则则例例3 某城市有某城市有1%色盲者，问从这个城市里选出多少色盲者，问从这个城市里选出多少人才能使里面至少有一位色盲患者的概率少于人才能使里面至少有一位色盲患者的概率少于0.95？解解 设选出设选出n个人，个人，n人中色盲患者为人中色盲患者为则则两边取对数两边取对数所以得所以得随机变量的分布函数 其次章 一、分布函数的概念一、分布函数的概念二、分布函数的性质二、分布函数的性质第三节为为X 的的分布函数分布函数。记作。记作设设 X 是一个随机变量，是一个随机变量，定义定义1 1是随意实数，称函数是随意实数，称函数的值就表示的值就表示X 落在区间落在区间上的概率上的概率.分布函数分布函数一、分布函数的概念一、分布函数的概念 由定义，对随意实数由定义，对随意实数上的概率上的概率，用，用F(x)刻画随机点落在刻画随机点落在功能式功能式区间区间由于由于得得解解 (1)(1)当当时，时，当当时，时，则则例例1 1 设随机变量设随机变量X 的分布律为的分布律为求求(1)(1)X 的分布函数；的分布函数；(2)(2)当当时，时，则则 当当时，时，为必定事务，为必定事务，则则所以所以(2)一般地一般地，设离散型随机变量，设离散型随机变量的分布律为的分布律为由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得的分布函数为的分布函数为请看请看41页页二、分布函数的性质二、分布函数的性质 单调不减性单调不减性：右连续性：对随意实数右连续性：对随意实数 x 归一归一 性性：对任意实数对任意实数，且，且，则，则具有上述三特性质的实函数，必是某个随机变量的分具有上述三特性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。布函数。故该三特性质是分布函数的充分必要性质。故该三特性质是分布函数的充分必要性质。解解例例2 已知已知，求，求 A、B。所以所以例例3 已知离散型随机变量已知离散型随机变量 X 的分布函数为的分布函数为求求 X 的分布律。的分布律。解解 X 的可能取值为的可能取值为 3，4，5。所以所以 X 的分布律为的分布律为例例4 已知已知 X 表示弹着点与靶心的距离，表示弹着点与靶心的距离，击中靶上任一同心圆盘上点的概率与该圆盘面积击中靶上任一同心圆盘上点的概率与该圆盘面积成正比；成正比；靶子半径是靶子半径是 2 米；米；每次射击都中靶。每次射击都中靶。求求 X 的分布函数的分布函数 F(X)。解解 因为因为当当时，时，不行能发生，不行能发生，当当时，时，由由当当时，时，总之总之 X 的分布函数为的分布函数为其图形为一连续曲线其图形为一连续曲线对随意实数对随意实数 x 有有明显明显