高中数学经典题型--解三角形(含详细答案)(共42页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上 高中数学经典题型 解三角形 【编著】黄勇权 【第1题】 在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c， 且= sinB + c 求：角C的大小 【第1题】答案：已知：= sinB + c 等号左边：因为分子、分母每一项含有sin，故用正弦定理，将sin替换成边 即：= sinB + c 特别提示： 等号右边的sinB 不能换成边b， 这是因为sinB=,这样就会多出， 等号两边同时乘以c a2+b2 = sinB +c2 将c2移到等号左边， a2+b2 - c2 = sinB 由于等号左边是a2+b2-c2，只能构建cosC，故等号两边同时除以2ab，这一步非常重要。 = sinB cosC = sinB 等号右边，左边分子含c，分母含b，故用正弦定理把c、b换成sinC，sinB 这一步非常重要，很多同学想不到，因此就解不出来。 cosC = sinB cosC = sinC tanC= 即C=60°经典技巧：对于正弦定理，很多同学都不知道什么时候能用，什么时候不能用，其实， 在运用正弦定理将sin与对应边换时，一定要遵循能够消除2R为原则。 例如1：acosB+bcosA=2c 【能用】 由正弦定理：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入上式， 2RsinA*cosB+2RsinB*cosA=2*2RsinC 因为每一项都有2R，故能消除2R, 化简：sinA*cosB+sinB*cosA=2sinC 所以能用正弦定理。 例如2：bcosA+sinB=3c 【不能用】 由正弦定理：b=2RsinB，c=2RsinC代入上式， 得：2RsinB*cosA+sinB=2RsinC*3 因为第二项不含2R，无法消除2R, 所以不能用正弦定理 例如3：sin2A+sin2B=2sinBsinC 【能用】 由正弦定理：sinA=，sinB=，sinC=代入上式 （）2 + （）2 = 2 * 因为每一项都有（）2，故能消除2R，化简得： a2 + b2=2bc 所以能用正弦定理 例如4：acosB+bcosA=4bc 【能用】 由正弦定理：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入上式， 2RsinA*cosB+2RsinB*cosA=4b*2RsinC 因为要消除2R，所以只能代入一项，要么是b或c 而等号右边化简后sinA*cosB+sinB*cosA=sin（A+B）=sinC 所以我们只把c换为sinC，而b不动。 【解：】 acosB+bcosA=4bc 由正弦定理：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入上式， 2RsinA*cosB+2RsinB*cosA=4b*2RsinC sinA*cosB+sinB*cosA=4bsinC sin（A+B）=4bsinC sinC=4bsinC 因为sinC0，等号两边同时除以sinC， 1=4b 即：b=例如5：已知： 求：的值 【能用】 由正弦定理：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入上式， 因为分子、分母都有2R，能够消除2R， 即： 去分母得：2cosAsinB-3sinBcosB=3cosBsinC-2sinAcosB 把等号右边的项全部移到左边2cosAsinB+2sinAcosB-3sinCcosB-3cosBsinC=02sin（A+B）-3sin（B+C）=0 2sinC -3sinA=03sinA=2sinC 由正弦定理：sinA=，sinC=代入上式3*=2* 消除，得：3a=2c即：例如6：已知：2acosC+c =2b 求A的值。 【不能用】 虽然：由正弦定理a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入上式 每一项都有2R，而且也能消除2R， 化简得：2sinAcosC+sinC=2sinB 但是sinC,sinB这两项是单独的，无法产生关联。故不能用正弦定理，所以直接用余弦定理：2a × +c =2b +c =2b 两边同时乘以b，a2+b2- c2+bc=2b2即：b2+c2-a2 = bc 两边同时除以2bc =也就是：cosA=, 求得A=60°经典技巧：类似1、2acosC+c =2b 2、bsinA+c=2 3、acosB=2c-3b将边换成sin时，变成几个独立的sin，他们之间互不产生联系，故不能把边换成sin。把边换成sin的情况：有公因式可提取例如：3asinB - 2b =0 用以换 解：将a、b换成sin 即：3asinB - 2b =0 3sinAsinB-2sinB=0 提取公因式 sinB sinB（3sinA-2）=0 因为sinB0，则3sinA-2=0 解得sinA= 能构成类似sin（A+B）或sin（B-C）， 即构成两角之和或之差的三角函数 例如：acosB+bcosA=1用以换 解：将a、b换成sin 即：sinA cosB+sinB cosA =1 Sin（A+B）=1 A+B= ，故三角形ABC为直角三角形 例如：ccosB-bcosC=用以换 解：将b、c换成sin sinC cosB-sinB cosC = Sin（C - B）= 则：C - B=30°或者C - B=150° 【第2题】在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（+C）= 求：A的值。第2题【思考】已知sin（ + C）= 观察等号右边，用正弦定理，将a、b、c、换成sin。没有公因式可提取， 不能构成类似sin（A+B） 故不能用正弦定理【解】先将等号左边化简，sin（ + C）= SincosC+sinCcos= cosC+sinC= 去分母，两边同时乘以2a，得acosC+asinC=b+c 因为不能用正弦定理，所有的边a、b、c以及sinC都不动，于是用余弦定理，直接将cosC代入a× + asinC=b+c + asinC=b+c 去分母，两边同时乘以2b，得a2+b2-c2 + 2absinC=2b2+2bc把a2+b2-c2 移到右边，把+2bc移到左边，得2absinC - 2bc = 2b2 - a2- b2+c2 合并同类项得2absinC - 2bc =b2+c2- a2因为右边是b2+c2- a2，所以要构造cosA，故两边同时除以2ac，sinc - 1=对于sinc，则用正弦定理，a=2RsinA，c=2RsinC代入sinc - 1=cosA消除2R，得sinA -1 =cosA将cosA 与 -1 位置互换，得sinA-cosA=1 为了构造sin（A ± x）,两边同时除以2，得sinA - cosA= 把换为cos，换为sin，得cossinA - sincosA= sin（A- ）=sin（A- ）=sin如果两个角的正弦值相等，那么这两个角相等，或者两个角之和对于则：A- = 解得：A= 或（A- ）+= 解得：A=（舍去）【第3题】在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A+90°= C, 且2b+c=a求：A的值。【第3题】【解】因 为：A+90°= C，所以C= 90°+A又因为：A+B+C=180，所以B=180°- A- C=180°- A-（90°+A）=90°-2A 即B=90°-2A由于2b+c=a 由正弦定理a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入上式，并消除2R得，2sinB+sinC=sinA将C= 90°+A，B=90°-2A代入，得2sin（90°-2A）+sin（90°+A）=sinA 此项不要动，很多同学想不到要这么做2sin（90°-2A）+cosA=sinA将cosA移到等号右边，得2sin（90°-2A）=sinA - cosA 为了构造sin（A ± x）,两边同时除以2，得sin（90°-2A）=sinA - cosA把换为cos30°，换为sin30°sin（90°-2A）=cos30°sinA - sin30°cosAsin（90°-2A）=sin（A - 30°）如果两个角的正弦值相等，那么这两个角相等，或者两个角之和对于则：90°-2A=A - 30° -3A=-120° 解得A=40°或者（90°-2A）+（A-30°）=180° 90°-2A+A-30°=180° -A=60° 解得A= - 60°（舍去）经典技巧：在A、B、C中，只要知道其中一个角的值，其他两个角，都要想办法要用已知角去表示例如1：A=20°，那么，B=180°-A- C = 180°-20°-C=160°-C只要知道其中一个角的三角函数值，其他两个角，都要想办法要用已知角去表示例如2：已知sinA=，且A为锐角。 则cosA= 那么，B=180°-A- C ，sinB=sin（180°-A- C） =sin（A+C） =sinAcosC+cosAsinC =cosC+sinC只要知道其中两个角的关系，其他两个角，都要想办法要用已知角去表示例如3：已知A-B=15° 那么：B=15°+A C=180°-(A+B)=180°-(A+15°+A)=165°-2A例如4：已知 A=B 那么：B=4A C=180°- (A+B)=180°-(A+4A)=180°- 5A【第4题】在锐角ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinB=bcosA, 且a = bsin（+C）- c sin（+B）求：B - C的值。【第4题】【解】已知asinB=bcosA, 由正弦定理a=2RsinA，b=2RsinB代入上式，并消除2R得，sinAsinB=sinBcosA将sinBcosA移到左边，得sinAsinB - sinBcosA=0提取公因式sinBsinB（sinA-cosA）=0因为sinB0，则sinA-cosA=0即：tanA=1故A=那么 B=-（A+C）= -（+C） 又a = bsin（+C）- c sin（+B）将B= -（+C）代入上式a = bsin（+C）- c sin+-（+C）a = bsin（+C）- c sin（-C）a = bsin（+C）- c sinC由正弦定理a=2RsinA，b=2RsinB, c=2RsinC代入上式，并消除2R得，sinA=sinBsin（+C）- sinC * sinC把sinA=sin=1，sinB=sin-（+C）=sin(+C)代入上式，1=sin(+C)sin（+C）- sin2C1=sin(+C)2- sin2C运用半角角公式，这一步很关键，很多同学想不到要这么做。1 = - 1= - 去分母，两边同时乘以2，得2=1+sin2C-1+cos2C2= sin2C+cos2C 为了构造sin（2C± x）,两边同时除以 ，得= sin2C+cos2C = sin（2C+）把sin = 代入上式Sin=sin（2C+）如果两个角的正弦值相等，那么这两个角相等，或者两个角之和对于则 =2C+ 解得C= 0 （舍去） + 2C+ = 解得C=故：B= -（+C）= -（+）= B - C = - = 【第5题】 在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若bcosc=(2a - c)cosB, ()求B的大小； ()若b=，a+c=4，求ABC的面积。【第5题】答案【第一步】由正弦定理得b=2RsinB，a=2RsinA，c=2RsinC,分别把a，b，c代入bcosC=(2a - c)cosB中，消除2R，得：SinBcosC=(2sinA - sinC)cosB 括号展开SinBcosC=2sinAcosB - sinCcosB 将此项移到等号左边SinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB 而SinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）故有：sin（B+C）= 2sinAcosB 又因为 A=180 - (B+C) ,所以：sin（B+C）= sinA即：sinA=2sinAcosB 因为A为三角形内角，所以A0，那么sinA0，故等号两边同时除以sinA得：1=2cosB 即：cosB=因为B为三角形内角，所以B=60°【第二步】已知b=，a+c=4，又B=60°由a+c=4 等号两边同时平方a2+2ac+c2 =16即有：a2+c2 =16 - 2ac -（1）由余弦定理cosB= -（2）又因为cosB=，把（1）代入（2）则有：= 解得：ac= 故ABC的面积：S=sinB ac=*=8【第6题】 在锐角三角形ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c， 若a，b，c构成等比数列，且cos（A-C）+ = 2 求：B的值【第6题】【解】cos（A-C）+ = 2cos（A-C）+ =2×cos（A-C）+ =1- cosB cos（A-C）+ cosB= 将B变成A+C，这一步很关键。因为cosB=cos-（A+C）=-cos(A+C)cos（A-C）- cos（A+C）=， 开展，得：cosAcosC+sinAsinC -(cosAcosB-sinAsinB)= 去括号，合并同类项得，2sinAsinC=即：sinAsinC= -（1）又因为a，b，c构成等比数列，即b2=ab-（2）（1）与（2）一定要产生联系，由正弦定理a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入（2）（2RsinB）2=2RsinA×2RsinC 消除2R，得 sin2B=sinAsinC 而sinAsinC=故：sin2B= 所以sinB= 因为B为锐角，所以B=30°【第7题】设ABC的内角A，B，C，的对边分别为a，b，c，且a cosB=3，bsinA=4，()求边长a;()若ABC的面积S=10，求ABC的周长。【第7题】答案【第一步】【错误做法】因为a cosB=3由余弦定理得，a× =3化简得：a2+c2 - b2=3c这样做，是无法解出a【正确做法】由正弦定理得b=2RsinB，a=2RsinA， 分别把a，b代入a cosB=3，bsinA=4 中得：2RsinAcosB=3 -（1）2RsinBsinA=4 -（2）用（2）除以（1），tanB=，即，而sinB2+cosB2=1所以cosB=± 因为tanB0，故conB0，所以conB= - （舍去）所以得：conB= 又因为a cosB=3，把conB= 代入其中，解得a=5【第二步】已知bsinA=4，等号两边同时乘以c，得：cbsinA=4×c =2c而ABC的面积S=cbsinA=10，故2c=10，解得c = 5 由【第一步】知道a=5，conB= ，由余弦定理，得conB= 将conB= ，a=5，c=5代入上式，解得：b=2ABC的周长=a+b+c=5+5+2=10+2【第8题】 三角形ABC中,若cosAcosBsinC, 求：三角形ABC的形状。【第8题】【解】 因为 cosA+cosB=sinC cosA+cosB=sin-(A+B)即： cosA+cosB=sin(A+B) cosA+cosB=sinAcosB+cosAsinB 两边同时平方，这一步很关键，很多同学想不到要这么做。 (cosA+cosB)²=(sinAcosB+cosAsinB)² 展开，得： cos²A+cos²B+2cosAcosB=sin²Acos²B+2sinAcosAsinBcosB+cos²Asin²B 移项，合并同类项，得：cos²A(1-sin²B)+cos²B(1-sin²A)+2cosAcosB-2sinAcosAsinBcosB=0cos²A cos²B + cos²Bcos²A + 2cosAcosB - 2sinAcosAsinBcosB=0 合并同类项 2cos²Acos²B + 2cosAcosB - 2 sinAcosAsinBcosB=0 提取公因式2cosAcosB 2cosAcosB(cosAcosB-sinAsinB+1)=0 2cosAcosBcos(A+B)-1=0 而A+B180°即cos(A+B)1 则 cosA=0或cosB=0 A=90°或B=90°故 三角形ABC是直角三角形.专心-专注-专业