2022年高中物理奥赛必看讲义——动量与能量.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理 优秀资源动量和能量第一讲 基本学问介绍一、冲量和动量1、冲力（ F t 图象特点）冲量；冲量定义、物理意义冲量在 Ft 图象中的意义从定义角度求变力冲量（F 对 t 的平均作用力）2、动量的定义 动量矢量性与运算 二、动量定理1、定理的基本形式与表达2、分方向的表达式： Ix = Px , Iy = Py P= F 外3、定理推论：动量变化率等于物体所受的合外力；即t三、动量守恒定律1、定律、矢量性 2、条件 a、原始条件与等效 b、近似条件c、某个方向上满意 四、功和能a 或 b,可在此方向应用动量守恒定律1、功的定义、标量性,功在 FS图象中的意义 2、功率,定义求法和推论求法 3、能的概念、能的转化和守恒定律 4、功的求法 a、恒力的功： W = FScos = FSF = FS Sb、变力的功：基本原就过程分割与代数累积；利用FS图象（或先寻求F 对S 的平均作用力）c、解决功的“ 疑难杂症” 时,把握“ 功是能量转化的量度” 这一要点 五、动能、动能定理1、动能（平动动能）名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理 优秀资源2、动能定理a、 W 的两种懂得b、动能定理的广泛适用性六、机械能守恒1、势能a、保守力与耗散力（非保守力）势能（定义： Ep = W保）b、力学领域的三种势能（重力势能、引力势能、弹性势能）及定量表达 2、机械能 3、机械能守恒定律 a、定律内容 b、条件与拓展条件（留意系统划分）c、功能原理：系统机械能的增量等于外力与耗散内力做功的代数和；七、碰撞与复原系数1、碰撞的概念、分类（按碰撞方向分类、按碰撞过程机械能缺失分类）碰撞的基本特点：a、动量守恒； b、位置不超越；c、动能不膨胀；2、三种典型的碰撞 a、弹性碰撞：碰撞全程完全没有机械能缺失；满意m 1v10 + m2v20 = m1v1 + m2v21m 1v2+ 1m 2v2= 1m12 v 1+ 1m 2v2210220222解以上两式（留意技巧和“ 不合题意” 解的舍弃）可得：v1 = m1m2v 1022 v20,v2 = m2m 1v202 v10m 1mm2m 1对于结果的争论：当 m1 = m2 时, v1 = v20 ,v2 = v10 ,称为“ 交换速度”；当 m1 m 2 ,且 v20 = 0 时, v1 v10 ,v2 0 ,小物碰大物,原速率 返回；当 m1 m 2 ,且 v20 = 0 时, v1 v10 ,v2 2v10 ,b、非（完全）弹性碰撞：机械能有缺失（机械能缺失的内部机制简介）,只满意动 量守恒定律名师归纳总结 c、完全非弹性碰撞：机械能的缺失达到最大限度；外部特点： 碰撞后两物体连为一第 2 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理 优秀资源个整体,故有m 1 v 10 m 2 v 20v1 = v2 = m 1 m 23、复原系数：碰后分别速度（v2 v1）与碰前接近速度（v10 v20）的比值,即：v 2 v 1e = ；依据“ 碰撞的基本特点”,0 e 1 ；v 10 v 20当 e = 0 ,碰撞为完全非弹性；当 0 e 1 ,碰撞为非弹性；当 e = 1 ,碰撞为弹性；八、“ 广义碰撞” 物体的相互作用1、当物体之间的相互作用时间不是很短,作用不是很剧烈,但系统动量仍旧守恒时,碰撞的部分规律仍旧适用,但已不符合“ 碰撞的基本特点”（如：位置可能超越、机械能可能膨胀）；此时,碰撞中“ 不合题意” 的解可能已经有意义,如弹性碰撞中 v1 = v10 ,v2 = v20的解；2、物体之间有相对滑动时,机械能缺失的重要定势：中 S 相指相对路程； E = E内= f滑· S相,其其次讲 重要模型与专题一、动量定理仍是动能定理 物理情形：太空飞船在宇宙飞行时,和其它天体的万有引力可以忽视,但是,飞船会 定时遇到太空垃圾的碰撞而受到阻碍作用；设单位体积的太空匀称分布垃圾 n 颗,每颗的 平均质量为 m ,垃圾的运行速度可以忽视；飞船维护恒定的速率 v 飞行,垂直速度方向 的横截面积为 S ,与太空垃圾的碰撞后,将垃圾完全粘附住；试求飞船引擎所应供应的 平均推力 F ；模型分析：太空垃圾的分布并不是连续的,对飞船的撞击也不连续,如何正确选取研 究对象,是此题的前提；建议充分懂得“ 平均” 的含义,这样才能相对模糊地处理垃圾与 飞船的作用过程、淡化“ 作用时间” 和所考查的“ 物理过程时间” 的差异；物理过程需要 人为截取,对象是太空垃圾；先用动量定理推论解题；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理优秀资源 V = S·v t 的空间,遭受n V取一段时间 t ,在这段时间内,飞船要穿过体积颗太空垃圾,使它们获得动量 也即飞船引擎的推力； P ,其动量变化率即是飞船应赐予那部分垃圾的推力,F = P= Mtv= mnVv= mnSvtv2 = nmSvttt假如用动能定理,能不能解题呢？同样针对上面的物理过程,由于飞船要前进x = v t 的位移,引擎推力F 须做功 W = F x ,它对应飞船和被粘附的垃圾的动能增量,而飞船的 Ek为零,所以：W = 1 Mv 22即： F v t = 1 （n m S·2v t）v2得到： F = 12 nmSv2两个结果不一样,不行能都是正确的；分析动能定理的解题,我们不能发觉,垃圾与飞船的碰撞是完全非弹性的,需要消耗大量的机械能,因此, 认为 “ 引擎做功就等于垃圾动能增加” 的观点是错误的；但在动量定理的解题中,由于 I = F t ,由此推出的 F = 均推力, 再对飞船用平稳条件,P 必定是飞船对垃圾的平 tF 的大小就是引擎推力大小了；这个解没有毛病可挑,是正确的；（同学活动）摸索：如图 1 所示,全长 L、总质量为M 的松软绳子, 盘在一根光滑的直杆上,现用手握住绳子的一端,以恒定的水平速度试求手的拉力 F ；v 将绳子拉直； 忽视地面阻力,解：解题思路和上面完全相同；答：Mv2L二、动量定理的分方向应用名师归纳总结 物理情形：三个质点A、B 和 C ,质量分别为第 4 页,共 18 页m1 、m2 和 m3 ,用拉直且不行伸长的绳子AB 和 BC- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理优秀资源 ）；现对质点C施相连,静止在水平面上,如图2 所示, AB和 BC之间的夹角为（加以冲量I ,方向沿 BC ,试求质点A开头运动的速度；模型分析：第一,留意“ 开头运动” 的懂得,它指绳子恰被拉直,有作用力和冲量产 生,但是绳子的方位尚未发生变化；其二,对三个质点均可用动量定理,但是,B 质点受 冲量不在一条直线上,故最为复杂, 可采纳分方向的形式表达；其三, 由于两段绳子不行 伸长,故三质点的瞬时速度可以寻求到两个约束关系；下面详细看解题过程绳拉直瞬时, AB绳对 A、B 两质点的冲量大小相等（方向相反）,设为 I 1 ,BC绳对 B、C两质点的冲量大小相等（方向相反）,设为 I2 ；设 A 获得速度 v1（由于 A 受合冲量只有I1 , 方向沿 AB ,故 v1的反向沿 AB）,设 B 获得速度 v2（由于 B 受合冲量为 1I + 2I ,矢量和既不沿 AB ,也不沿 BC方向, 可设 v2与 AB绳夹角为 ,如图 3 所示）,设 C 获得速度 v 3（合冲量I+ 2I 沿 BC方向,故 v3 沿 BC方向）；对 A 用动量定理,有：I1 = m1 v11I +2I = m2v2B 的动量定理是一个矢量方程：,可化为两个分方向的标量式,即：I 2cos I 1 = m 2 v 2cos I2sin = m2 v2sin 质点 C的动量定理方程为：I I2 = m 3 v 3v1 = v2cos3AB绳不行伸长,必有BC绳不行伸长,必有v2cos = v六个方程解六个未知量（I1 、I2 、v1 、v2 、v3 、 ）是可能的,但繁复程度非同一般；解方程要留意条理性,否就易造成纷乱；建议实行如下步骤名师归纳总结 1、先用式消掉v2 、v3 ,使六个一级式变成四个二级式：第 5 页,共 18 页I 1 = m 1 v 1I2cos I1 = m2 v1I 2sin = m2 v 1 tg I I2 = m 3 v 1cos + sin tg - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理优秀资源 2、解式消掉 ,使四个二级式变成三个三级式：I1 = m1 v1 I 2cos I 1 = m 2 v 1I = m3 v 1 cos + I2m2m3sin2m23、最终对式消I 1 、 I 2 ,解 v1 就便利多了；结果为：v1 = m2m 1mIm2cosm 1m3sin22m3（同学活动：训练解方程的条理和耐心）摸索：v2 的方位角 等于多少？解：解“ 二级式” 的即可；代入消I 1 ,得 I2 的表达式,将I2 的表达式代入就行了；答： = arc tg （m 1m2tg）；m2三、动量守恒中的相对运动问题物理情形：在光滑的水平地面上,有一辆车,车内有一个人和N个铅球,系统原先处于静止状态； 现车内的人以肯定的水平速度将铅球一个一个地向车外抛出,车子和人将获得反冲速度；第一过程,保持每次相对地面抛球速率均为v ,直到将球抛完；其次过程,保持每次相对车子抛球速率均为 v ,直到将球抛完；试问：哪一过程使车子获得的速度 更大？模型分析：动量守恒定律必需选取争论对象之外的第三方（或第四、第五方）为参照 物,这意味着,本问题不能选车子为参照；一般选地面为参照系,这样对“ 其次过程” 的 铅球动量表达, 就形成了难点, 必需引进相对速度与确定速度的关系；至于“ 第一过程” ,比较简洁： N次抛球和将N个球一次性抛出是完全等效的；设车和人的质量为 M ,每个铅球的质量为 m ；由于矢量的方向落在一条直线上,可以假定一个正方向后,将矢量运算化为代数运算；设车速方向为正, 且第一过程获得的速度大小为 V1 其次过程获得的速度大小为 V2 ；第一过程,由于铅球每次的动量都相同,可将多次抛球看成一次抛出；车子、人和 N个球动量守恒；名师归纳总结 0 = Nm-v + MV1第 6 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 得： V1 = Nm v M名师整理优秀资源其次过程,必需逐次考查铅球与车子（人）的作用；第一个球与（ N 1）个球、人、车系统作用,完毕后,设“ 系统” 速度为 u1 ；值得留意的是,依据运动合成法就 v 球 地 v 球 车 v 车 地,铅球对地的速度并不是（-v ）,而是（ -v + u 1）；它们动量守恒方程为：0 = m-v + u 1 + M +N-1m u1得： u1 = m vM Nm其次个球与（ N -2 ）个球、人、车系统作用,完毕后,设“ 系统” 速度为 u2 ；它们动量守恒方程为：M+N-1m u1 = m-v + u2 + M+N-2mu2u3 ；铅球得： u2 = Mmv + Mm1 mvNmN第三个球与（ N -2 ）个球、人、车系统作用,完毕后,设“ 系统” 速度为对地的速度是（-v + u3）；它们动量守恒方程为：M+N-2m u2 = m-v + u3 + M+N-3mu3得： u3 =Mmv + Mm1 mv + Mm2mvNmNN以此类推（过程留意：先找 uN和 uN-1关系,再看 uN和 v 的关系,不要急于化简通分） ,uN的通式已经可以找出：V2 = uN = iMm Nmv + Mm1 mv + Mm2mv + + MmmvNN即： V2 = Nmv1Mim我们再将式改写成：V1 = iNmv1M不难发觉, 式和式都有N项,每项的分子都相同,但 式中每项的分母都比式中的分母小,所以有：V1 V2 ；结论：第一过程使车子获得的速度较大；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - （同学活动）摸索：质量为名师整理优秀资源m 的人,它们静止在光滑的M 的车上,有n 个质量均为水平地面上；现在车上的人以相对车大小恒为v、方向水平向后的初速往车下跳；第一过程,N 个人同时跳下；其次过程,N 个人依次跳下；试问：哪一次车子获得的速度较大？；解：其次过程结论和上面的模型完全相同,第一过程结论为V 1 = in1Mmvnm答：其次过程获得速度大；四、反冲运动中的一个重要定式物理情形：如图4 所示,长度为L、质量为 M的船停止在静水中（但未抛锚）,船头上有一个质量为m的人,也是静止的；现在令人在船上开头向船尾走动,忽视水的阻力,试问：当人走到船尾时,船将会移动多远？（同学活动）摸索：人可不可能匀速（或匀加速）走动？当人中途停下休息,船有速度吗？人的全程位移大小是恒吗？L 吗？本系统选船为参照,动量守模型分析：动量守恒展现了已知质量情形下的速度关系,要过渡到位移关系,需要引 进运动学的相关规律；依据实际情形（人必需停在船尾）,人的运动不行能是匀速的,也 不行能是匀加速的 , 运动学的规律应挑选 S = v t ；为寻求时间 t ,就要抓人和船的位移 约束关系；对人、船系统,针对“ 开头走动中间任意时刻” 过程,应用动量守恒（设末态人的速率为 v ,船的速率为V）,令指向船头方向为正向,就矢量关系可以化为代数运算,有：0 = MV + m-v 即： mv = MV 由于过程的末态是任意选取的,此式展现了人和船在任一时刻的瞬时速度大小关系；而且不难推知,对中间的任一过程,两者的平均速度也有这种关系；即：名师归纳总结 mv = MV第 8 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理 优秀资源设全程的时间为t ,乘入式两边,得：mv t = M V t 设 s 和 S分别为人和船的全程位移大小,依据平均速度公式, 得：m s = M S 受船长 L 的约束,s 和 S具有关系：s + S = L 解、可得：船的移动距离 S =MmmL （应用动量守恒解题时,也可以全部都用矢量关系,但这时“ 位移关系” 表达起来难 度大一些必需用到运动合成与分解的定式；时间答应的话,可以做一个对比介绍；）另解：质心运动定律 人、船系统水平方向没有外力,故系统质心无加速度系统质心无位移；先求出初态系统质心 （用它到船的质心的水平距离x 表达；依据力矩平稳学问,得：x = 2mLM）,m又依据, 末态的质量分布与初态比较,相对整体质心是左右对称的；弄清了这一点后,求解船的质心位移易如反掌；（同学活动）摸索：如图5 所示,在无风的天空,人抓住气球下面的绳索,和气球恰能静止平稳,人和气球地质量分别为 m 和 M ,此时人离地面高 h ；现在人欲沿悬索下降到地面,试问：要人充分安全地着地,绳索至少要多长？解：和模型几乎完全相同,此处的绳长对应模型中的“ 船的长度”（“ 充分安全着地” 的含义是不答应人脱离绳索跳动着地）；答：mMMh ；（同学活 动 ） 思考：如图 6 所示,两个倾角相同的斜面,相互倒扣着 放 在光 滑 的水 平 地面上,小斜面在大斜面的顶端；将它们无初速释放后,小斜面下滑,大斜面后退；已知大、名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 小斜面的质量分别为名师整理优秀资源M 和 m ,底边长分别为a 和 b ,试求：小斜面滑究竟端时,大斜面后退的距离；解：水平方向动量守恒；解题过程从略；答：Mmm（ab）；M ,半径为 R进阶应用：如图7 所示,一个质量为的光滑均质半球,静置于光滑水平桌面上,在球顶有一 个质量为 m的质点,由静止开头沿球面下滑；试求：质 点离开球面以前的轨迹；解说： 质点下滑, 半球后退, 这个物理情形和上面的双斜面问题非常相像,认真分析,是适用的； 定式解决了水平位移 由于同样满意水平方向动量守恒,故我们介绍的 “ 定式”（位置） 的问题, 竖直坐标就需要从数学的角度想 一些方法；为寻求轨迹方程,我们需要建立一个坐标：以 半球球心 O为原点, 沿质点滑下一侧的水平轴为 x y 坐标；坐标、竖直轴为 由于质点相对半球总是做圆周运动的（离开球 面前）,有必要引入相对 运动中 半球球心 O 的方 位角 来表达质点的瞬时位置,如图 8 所示；由“ 定式” ,易得：x = MMmRsin 而由图知： y = Rcos 不难看出,、两式实际上已经是一个轨迹的参数方程；为了明确轨迹的性质,我 们可以将参数 消掉,使它们成为：名师归纳总结 Mx2R2+ y2= 1 R和MMmR的椭圆；第 10 页,共 18 页MR2m这样,特点就明显了：质点的轨迹是一个长、短半轴分别为五、功的定义式中S 怎么取值- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理 优秀资源在求解功的问题时,有时遇到力的作用点位移与受力物体的（质心）位移不等,S是取力的作用点的位移,仍是取物体（质心）的位移呢？我们先看下面一些事例；1、如图 9 所示, 人用双手压在台面上推讲台,结果双手前进了一段位移而讲台未移动；试问：人是否做了功？2、在本“ 部分”第 3 页图 1 的模型中, 求拉力做功时,S 是否可以取绳子质心的位移？3、人登静止的楼梯, 从一楼到二楼； 楼梯是否做功？4、如图 10 所示,双手用等大反向的力F 压固定汽缸两边的活塞,活塞移动相同距离S,汽缸中封闭气体被压缩；施力者（人）是否做功？在以上四个事例中,S如取作用点位移,只有第 1、2、4 例是做功的（留意第 3 例,楼梯支持力的作用点并未移动,而只是在不停地 交换作用点 ）,S 如取物体（受力者）质心位移,只有第 2、3 例是做功的,而且,尽管第 2 例都做了功,数字并不相同；所以,用不同的判据得出的结论显现了本质的分歧；面对这些似是而非的“ 疑难杂症”根本点；,我们先回到“ 做功是物体能量转化的量度” 这一第 1 例,手和讲台面摩擦生了热,内能的生成必定是由人的生物能转化而来,人确定 做了功； S宜取作用点的位移；第 2 例,求拉力的功,在前面已经阐述,S取作用点位移为佳；第 3 例,楼梯不需要输出任何能量,不做功,S取作用点位移；第 4 例,气体内能的增加必定是由人输出的,压力做功,S取作用点位移；但是,假如分别以上四例中的受力者用动能定理,第 1 例,人对讲台不做功,S 取物体质心位移；第 2 例,动能增量对应 S取 L/2 时的值物体质心位移；第 4 例,气体宏观动能无增量,S取质心位移；（第 3 例的分析临时延后； ）以上分析在援引理论学问方面都没有错,如何使它们统一？原先,功的概念有广义和狭义之分； 在力学中, 功的狭义概念仅指机械能转换的量度；而在物理学中功的广义概念指除热传递外 的一切能量转换的量度；所以功也可定义为能量转换的量度；一个系统总能量的变化,常以系统对外做功的多少来量度；能量可以是机械能、电能、热能、化学能等各种形式, 也可以多种形式的能量同时发生转化；应的广义的功, 其次个理论对应的就是狭义的功,由此可见, 上面分析中, 第一个理论对 它们都没有错误, 只是在现阶段的教材名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理 优秀资源中仍没有将它们准时地区分开来而已；而且,我们不难归纳：求广义的功,S 取作用点的位移；求狭义的功,S 取物体（质心）位移；那么我们在解题中如何处理呢？这里给大家几点建议：1、抽象地讲 “ 某某力做的功”一般指广义的功；2、讲“ 力对某物体做的功” 经常指狭义的功；3、动能定理中的功肯定是指狭义的功；当然,求解功地问题时,仍要留意详细问题详细分析；如上面的第 3 例,就相对复杂一些；假如认为所求为狭义的功,S取质心位移,是做了功,但结论仍旧是难以令人接受的；下面我们来这样一个处理：将复杂的形变物体（人）看成这样一个相对抱负的组合：刚性物体下面连接一压缩的弹簧（如图11 所示）,人每一次蹬梯,腿伸直将躯体重心上举,等效为弹簧将刚性物体举起；这样,我们就不难发觉,做功的是人的双 腿而非地面,人既是输出能量（生物能）的机构,也是得到能量（机械能）的机构这里的物理情形更象是一种生物情形；义功为宜；此题所求的功应懂得为广以上四例有一些共同的特点：要么,受力物体情形比较复杂（形变,不能简洁地看成一个质点；如第2、第 3、第 4 例）,要么,施力者和受力者之间的能量转化不是封闭的（涉及到第三方,或机械能以外的形式；如第 1 例）；以后,当遇到这样的问题时,需要我们谨慎对待；（同学活动）摸索：足够长的水平传送带维护匀速v 运转；将一袋货物无初速地放上去,在货物达到速度 v 之前,与传送带的摩擦力大小为 f ,对地的位移为 S ；试问：求摩擦力的功时,是否可以用 W = fS ？解：按一般的懂得,这里应指广义的功（对应传送带引擎输出的能量）,所以“ 位移”取作用点的位移；留意, 在此处有一个隐含的“ 交换作用点” 的问题, 认真分析, 不难发觉,每一个（相对皮带不动的）作用点的位移为 擦生热的总和； ）答：否；（同学活动）摸索：如图2S ；（另解：求货物动能的增加和与皮带摩名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理 优秀资源12 所示,人站在船上,通过拉一根固定在铁桩的缆绳使船靠岸；试问：缆绳是否对船和人的系统做功？解：分析同上面的“ 第 3 例”；答：否；六、机械能守恒与运动合成（分解）的综合物理情形：如图 13 所示,直角形的刚性杆被固定,水平和竖直部分均足够长；质量分别为 m1 和 m2的 A、B 两个有孔小球,串在杆上,且被长为L 的轻绳相连；忽视两球的大小,初态时,认为它们的位置在同一高度,且绳处于拉直状态；现无初速地将系统释放,忽视一切摩擦,试求 B 球运动 L/2 时的速度 v2 ；模型分析： A、B 系统机械能守恒；A、B 两球的 瞬时速度不等,其关系可据“ 第三部分” 学问介绍 的定式（滑轮小船）去寻求；（同学活动） A 球的机械能是否守恒？B 球的机械能是否守恒？系统机械能守恒的理由是什么（两法分析： a、“ 微元法” 判定两个W T 的代数和为零； b、无非弹性碰撞, 无摩擦, 没有其它形式能的生成）？v ,依据“ 第三由“ 拓展条件” 可以判定,A、B 系统机械能守恒,（设末态 A 球的瞬时速率为v1 ）过程的方程为：m2gL = 21m1v2 + 1m2v21222在末态,绳与水平杆的瞬时夹角为30° ,设绳子的瞬时迁移速率为部分” 学问介绍的定式,有：v1 = v/cos30° , v2 = v/sin30°3两式合并成： v1 = v2 tg30 ° = v 2/解、两式,得：v2 = 3 m2gLm 1m2七、动量和能量的综合（一）名师归纳总结 物理情形： 如图 14 所示,两根长度均为L 的刚性轻杆,第 13 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 一端通过质量为名师整理优秀资源m和 2m的小球相连；将此装置m的球形铰链连接,另一端分别与质量为的两杆合拢,铰链在上、竖直地放在水平桌面上,然后小扣一下,使两小球向两边滑动,但两杆始终保持在竖直平面内；忽视一切摩擦,试求：两杆夹角为90° 时,质量为2m的小球的速度v2 ；模型分析：三球系统机械能守恒、水平方向动量守恒,并留意约束关系两杆不行伸长；（同学活动）初步判定：左边小球和球形铰链的速度方向会怎样？设末态（杆夹角 90° ）左边小球的速度为 v 1（方向：水平向左） ,球形铰链的速度为v（方向：和竖直方向夹 角斜向左）,对题设过程,三球系统机械能守恒,有：mg L-2 L = 21 m v22 + 1 mv 2 + 21 2m 2v212三球系统水平方向动量守恒,有：mv1 + mvsin = 2mv 2 左边杆子不形变,有：v1cos45 ° = vcos45 ° - 右边杆子不形变,有：vcos45 ° + = v 2cos45 °四个方程,解四个未知量（v 1 、v 2 、v 和 ）,是可行的；举荐解方程的步骤如下1、两式用v2 替代 v 1和 v ,代入式,解 值,得： tg = 1/4 2、在回到、两式,得：v1 = 5 v2 , v = 317 v 2 3v 2即可；结果： v2 = 3 gL223、将 v 1 、v 的替代式代入式解20（同学活动）摸索：球形铰链触地前一瞬,左球、铰链和右球的速度分别是多少？解：由两杆不行形变,知三球的水平速度均为零, 为零；一个能量方程足以解题；名师归纳总结 答： 0 、2 gL、 0 ；第 14 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师整理 优秀资源（同学活动）摸索：当两杆夹角为90 ° 时,右边小球的位移是多少？解：水平方向用“ 反冲位移定式” ,或水平方向用质心运动定律；答：382L；进阶应用：在本讲模型“ 四、反冲 ” 的“ 进阶应用”（见图 8）中,当质点 m滑到方位角 时（未脱离半球） ,质点的速度 v 的大小、方向怎样？解说：此例综合应用运动合成、动量守恒、机械能守恒学问,数学运算比较繁复,是一道考查同学各种才能和素养的难题；据运动的合成,有：v 点 半球 = v 点 地 + v 地 半球 = v 点 地 - v 半球 地其中 v 半球 地 必定是沿地面对左的,为了书写便利,我们设其大小为 v 2 ；v 点 半球 必定是沿半球瞬时位置切线方向（垂直瞬时半径）的,设大小为 v 相 ；依据矢量减法的三角形法就,可以得到 v 点 地（设大小为 v1）的示意图,如图 16 所示；同时,我们将v1的 x、y 重量 v1x 和 v1y 也描画在图中；由图可得： v 1y = （v 2 + v1x）tg 1 m v22,质点和半球系统水平方向动量守恒,有：Mv2 = mv1x对题设过程,质点和半球系统机械能守恒,有：mgR1-cos = 1 M v + 221即：mgR1-cos = 1 M v22 + 1 m（2v2 + 2 v 1 y）21 x三个方程,解三个未知量（下v2 、v1x 、v1y）是可行的,但数学运算繁复,举荐步骤如名师归纳总结 1、由、式得：v1x = M v2 , v m1y = mmMtg v2得：v1第 15 页,共 18 页2、代入式解v2 ,得： v2 =M22m2gR1cosv1,MmMm2tg23、由v2 = v2 + v2解11 x1y- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - =名师整理优秀资源（MMmtg）2 gR 1cosM22 Mmsin2m2sin2M2MmmMmsin2v1 的方向：和水平方向成 角, = arctgv1y = arctgv1x这就是最终的解； 一 个 附 属 结 果 ： 质 点 相 对 半 球 的 瞬 时 角 速 度= v 相 = R2 g mM 1cos；RMmsin2八、动量和能量的综合（二）物理情形：如图 17 所示,在光滑的水平面上,质量为 M = 1 kg 的平板车左端放有质 量为 m = 2 kg 的铁块,铁块与车之间的摩擦因素 = 0.5 ；开头时,车和铁块以共同速 度 v = 6 m/s 向右运动,车与右边的墙壁发生正碰,且碰撞是弹性的；车身足够长,使铁块不能和墙相碰；重力加速度g = 10 m/s2 ,试求： 1、铁块相对车运动的总路程；2、平板车第一次碰墙后所走的总路程；模型分析：本模 型介绍有两对相互作 用时的处理常规；能 量关系介绍摩擦生热 定式的应用；由于过 程比较复杂,动量分 析仍要帮助以动力学分析,综合程度较高；由于车与墙壁的作用时短促而猛烈的,而铁块和车的作用是舒缓而柔和的,当两对作 用同时发生时,通常处理成“ 让短时作用完毕后