2022年高等代数第二章多项式教案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章名师精编优秀教案多项式教学目的要求 一元多项式在本章中占有突出的重要位置它对培育、提高同学的数学素养是特别必要的.应着重把握以下问题：多项式的准确定义、多项式的系数和次数、零多项式零次多项式的意义、整除性问题的理论及方法、多项式与方程的联系与区分、多项式的函数观点、有里数域上多项式的有关问题、实数域上多项式、多元多项式的定义和运算、对称多项式的定义及基本定理等教学内容及学时安排 多项式的定义和运算（2 学时）；多项式的整除性（4 学时）；最大公因式（4 学时）；因式分解定理（4 学时）；重因式（4 学时）；多项式函数及多项式的根（4 学时）；复数域和实数域上的多项式（4 学时）；有理数域上的多项式（4 学时）多元多项式；对称多项式（2 学时）；习题课（2 学时）重点、难点 懂得基本概念,把握一元多项式次数定理,多项式的乘法消去律；带余除法定理的证明及应用,多项式因式分解的存在唯独性定理,多项式的可约与数域有关,多项式没有重因式的充分必要条件,余数定理,综合除法,代数基本定理, C、R、Q 上多项式,多元多项式的字典排列法,初等对称多项式表示对称多项式教学手段 传统教学和多媒体教学相结合21 一元多项式的定义和运算教学目的把握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质. 重点、难点一元多项式次数定理,多项式的乘法消去律教学过程讲授练习.多项式的定义令 R 是一个数环 ,并且 R 含有数1,因而R 含有全体整数 .在这一章里 ,凡是说到数环,都作这样的商定,不再每次重复先争论 R上一元多项式名师归纳总结 定义 1 数环 R 上一个文字a 1x 的多项式或一元多项式指的是形式表达式第 1 页,共 41 页a0xa 2x2,anxn,（）这里 n 是非负整数而a 0,a 1,a2,an都是R 中的数 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 在多项式 1中,a 0名师精编x优秀教案aixi叫做 i 次叫做零次项或常数项, a1叫做一次项 ,一般 , 项, ia叫做i 次项的系数 . fx 和 gx 有完全相同的项,或者只一元多项式常用符号fx,gx,来表示 . 2. 相等多项式 : 定义 2 如是数环R 上两个一元多项式差一些系数为零的项,那么 fx 和 gx 说是相等 ; f x=gx 2 n非负整数 n 叫做多项式 a 0 a 1 x a 2 x , a nx , a n 0 的次数 . 系数全为零的多项式没有次数 ,这个多项式叫做零多项式 .依据定义 2,零多项式总可以记为 0.以后谈到多项式 fx 的次数时 ,总假定 fx 0. 0多项式的次数有时就简洁地记作 f x . 3. 多项式的运算 : nf x a 0 a 1 x a nxmg x b 0 b 1 x b mx是数环 R 上两个多项式,并且设 m n,多项式 fx 与 gx的和 fx+gx 指的是多项式这里当a0b0a 1b 1xamb mxmanb nxnm<n 时,取b m1b n0多项式fx 与 gx 的积fxgx 指的是多项式c 0c 1xcnmn xm这里cka0b ka 1b k1ak1b 1akb 0,k,1,0,nm我们定义fx 和 gx 的差fx-gx= fx+-gx 名师归纳总结 4. 多项式加法和乘法的运算规章；第 2 页,共 41 页加法交换律 : fx+gx= gx + fx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 加法结合律 : 名师精编优秀教案fx+gx+hx= fx+gx+hx ; 乘法交换律 : fxgx=gxfx; 0, gx0. 乘法结合律 : fxgxhx=fxgxhx; 乘法对加法的安排律: fxgx+hx=fxgx+fxhx 有时候把一个多项式按"降幂 "书写是便利的,这时将多项式写成a 0xna 1xn1an1xan当a 00时,a0xn叫做多项式的首项5. 多项式的运算性质定理 2.1.1 设 fx 和 gx 是数环R 上两个多项式 ,并且 fx那么名师归纳总结 a 当 fx+gx0 时, 0所第 3 页,共 41 页0fxgxmax0fx,0gxbofxgx0fx0gx证：设0fxn ,0gxmfxa0a 1xanxn,a n0,gxb 0b 1xb mxm,b m0,并且mn.那么fxgxa0b 0a 1b 1xanb nxn,fxgxa0b 0a0b 1a 1b 0a nb mxnm,由（3）,fx+gx 的次数明显不超过n,另一方面, 由a n0,b m0 得 a n b m以由 5得 fxgx 的次数是n +m. 推论 2.1.2 fxgx=0 必要且只要fx 和 gx 中至少有一个是零多式证如是fx 和gx 中有一个是零多项式,那么由多项式乘法定义得fxgx= x 0 且 gx 0,那么由上面定理的证明得fxgx推论2.1.3 如是fxgx= fxhx, 且 fx0,那么hx=gx - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 证由 fxgx= 名师精编优秀教案 fx 0,所以由推论fxhx 得 fxgx-hx=02.1.2 必有 gx-hx=0, 即 gx=hx. 由于推论 2.1.3 成立 ,我们说 ,多项式的乘法适合消去法；我们用 RX 来表示数环 R 上一个文字 x 的多项式的全体,并且把在 R 中如上定义了加法和乘法运算的 RX 叫做数环 R 上的一元多项式环作业 P31: 1, 3. 2.2 多项式的整除性教学目的 把握一元多项式整除的概念及其性质 , 娴熟运用带余除法求以gx gx 0除 fx 所得的商式和余式 . 重点、难点 带余除法定理的证明 . 教学过程 讲授练习 . 1. 多项式整除的概念设 F 是一个数域 . Fx 是 F 上一元多项式环 . 定义 令 fx 和 gx 是数域 F 上多项式环 Fx 的两个多项式 .假如存在 Fx 的多项式hx, 使 gx=fxhx, 我们就说 ,fx 整除 能除尽 gx, 用符号 fx gx 表示, fx不能整除 gx ,fxgx 时,fx 说是 gx 的一个因式 . 2.多项式整除性的一些基本性质1 假如 fx gx,gx hx, 那么 fx hx. 2 假如 hx fx, hx gx, 那么 hx fx gx. 3 假如 hx fx, 那么对于 Fx 中任意多项式 gx 来说 ,hx fxgx. 4 假如 h x f i x ,i=1,2, ,t,那么对 Fx 中任意 g ix ,i=1,2, ,t, h x f 1 x g 1 x f 2 x g 2 x f t x g t x5 零多项式,也就是 F中不等于零的数,整除任一多项式 . 6 每一个多项式 fx 都能被 cfx 整除,这里 c是 F 中任一不等于零的数.事实上 ,fx =1/ccfx. 名师归纳总结 7 假如fxgx,gxfx,那么fx=cgx, 这里c 是 F 中任一不等于零的数. 第 4 页,共 41 页Fx 中可定理 2.2.1 设 fx 和 gx 是 Fx 的任意两个多项式,并且 gx0.那么在以找到多项式qx 和 rx, 使- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案fx =gxqx +rx, （3）这里或者 rx=0, 或者 rx的次数小于 gx 的次数 .满意以上条件的多项式 qx 和 rx 只有一对 . 证 先证定理的前一部分 . 如是 fx =0, 或 fx 的次数不小于 gx 的次数 .那么可以取q x=0, rx=fx. 现在假定 fx 的次数不小于 gx 的次数 ,我们把 fx 和gx 按降幂 写: n n 1 n mf x a 0 x a 1 x a n 1 x a nn n 1 n mf x b 0 x b 1 x b n 1 x b n这里 a 0 0 , b 0 0 ,并且 n m. 1 n m用中学代数中多项式除多项式的方法,自 fx 减去 gx 与 b 0 a 0 x 的积,那么 fx 的首项被消去,而我们得到 Fx 的一个多项式 f 1x : 1 n mf 1 x f x b 0 a 0 x g x .f 1x 有以下性质：或者 f 1x =0, 或者 f 1x 的次数小 fx 的次数 n. 如是 f 1x 0,并且f 1x 的次数 n 仍不小于 gx 的次数 m,那么用同样的 步骤我们可以得到 Fx 的一个多项式 f 2x : f 2 x f 1 x b 0 1a 10 x n 1 mg x .这里 a 10 是 f 1x 的首项系数 . f 2x 有以下性质：或者 f 2x =0,或者 f 2x 的次数小于f 1x 的次数 n . 这样作下去, 由于多项式 f 1x , f 2x ,的次数是递降的,最终肯定达到这样的一个多项式 f k x : f k x f lk 1 x b 0 1a k ,1 0 x n k 1 mg x .而 f k x 0或 f k x 的次数小于 m. 总起来,我们得到等式：1 n mf x b 0 a 0 x g x f 1 x ,f 1 x b 0 1a 10 x n 1 mg x f 2 x , . 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - fk1x b 01名师精编1优秀教案fkx ,a k,10xn kmgx 把这些等式加起来,得fxgx b 01a0xnmbo1a 10xn 1mb 01ak,10xnk1mfkx .这样, x的多项式qxb 01a0xnmbo1a 10n x1mb 01 ak1,0xnk1m,rx fkx rx 的次数小于gx 的次数满意等式（）,并且或者rx=0 ,或者现在证明定理的后一部分假定仍能找到x的多项式q x 和 r x ,使fx=gx q x+ r x, 并且或者r x ,或者r x 的次数小于gx 的次数,那么由等式（）减去等式（）,得如是rxrx0,gxqx q x= r x rx 4 小于gx那么qx q x也不能等于零这时等式右边的次数将的次数,而等式左边的次数将小于因而qxqx 0,这就是说, qx= q x,rx= r x 我们看到,在以上的证明中,对于已给多项式 fx 和 gx 来求出 qx 和 rx 方法正是中学代数中多项式除多项式的方法,这种方法叫作带余除法多项式 qx 和 rx分别叫作以 gx 除 fx 所得的商式和余式 ,如是 gx=0 ,那依据整除的定义,gx 只能整除零多项式 0.如是 gx .0,那么由以上定理,当且仅当以 gx 除 fx 所得余式 rx=0 的时候, gx能整除 fx. 3.系数所在范畴对整除性的影响名师归纳总结 设和F 是两个数域, 并且F 含有,那么多项式环F x含有多项式环x因第 6 页,共 41 页此上的一个多项式fx 也是 F 上的一个多项式设数域F 含有数域而fx 和 gx 是 x 的两个多项式 假如在Fx 里gx 不能整除 fx ,那么在Fx里 gx 也不能整除fx 事实上,如gx ,那么由于在x里 gx 不能整除fx ,fx 不能等于0因此在 Fx里gx 明显仍不能整除fx. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 假定gx0名师精编优秀教案,那么在 x里,以下等式成立：fx =gxqx +rx,Fx里,fx. 并且rx0但是 x的多项式qx 和 rx都是Fx的多项式,因而在这一等式仍旧成立于是由rx 的唯独性得出,Fx里 gx 仍旧不能整除作业： P38 ：1,2,3,4,5,7. 2.3 多项式的最大公因式名师归纳总结 教学目的要求把握两个 n 个多项式的公因式, 最大公因式互素的概念及性质 ; 第 7 页,共 41 页娴熟地应用辗转相除法求出fx,gx, 并会求ux,vx. 使得 : fxux+gxvx=fx,gx,运用概念或充要条件判定问题. 重点难点多项式最大公因式的存在唯独性定理 . 教学过程讲授、练习 . 1. fx 与 gx 的最大公因式设 F 是一个数域 ,F x 是 F 上一元多项式环. 定义一令fx 和 gx 是 F x 的两个多项式 .如是 F x 的一个多项式hx 同时整除fx 和gx, 那么 hx 叫做 fx 与 gx 的一个公因式 . 定义二设dx 是多项式fx 与gx 的一个公因式 .如是 dx 能被fx 与gx 的每一个公因式整除,那么 dx 叫做 fx与 gx 的一个最大公因式. 定理 2.3.1 F x 的任意两个多项式fx 与 gx 肯定有最大公因式.除一个零次因式外 , fx 与 gx 的最大公因式是唯独确定的,这就是说 ,如是 dx 是fx 与 gx 的一个最大公因,那么数域F 的任何一个不为零的数c 与 dx 的乘积cdx, 而且只有这样的乘积是fx 与 gx 的最大公因式 . 证我们可以完全类比着定理1.4.2 的证明来证明这个定理. 然而为了给出一种实际求最大公因式的方法,我们另外给出一个证明. 先证明定理的前一部分. 如是 fx=gx=0, 那么依据定义 , fx 与gx 的最大公因式就是0.假定 fx 与gx 不都等于零 ,比方说 ,gx0.应用带余除法 ,以 gx 除fx, 得商 式 q 1x 及余式r 1x. 假如 r1x0,那么再以 r 1x除 gx, 得商式q2 x 及余式 r2 x . 假如 r2 x0,再以 r2 x 除r1x, 如此连续下去 ,由于余式的次数每次降低 ,所以作了有限次这种除法后,必定得出这样一个余式r k x, 它整- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 除前一个余式rx. 名师精编: 优秀教案这样我们得到一串等式f x g x q 1 x r 1 x ,g x r 1 x q 2 x r 2 x ,r 1 x r 2 x q 3 x r 3 x ,1 r k 3 x r k 2 x q k 1 x r k 1 x ,r k 2 x r k 1 x q k x r k x ,r k 1 x r k x q k 1 x .我们说 , r kx就是 fx 与gx 的一个最大公因式 . 1 的最终一个等式说明 rk x 整除 rk 1x .因此得 , rk x 整除倒数其次个等式右端的两项, 因而也就整除 rk 2x . 同理 ,由倒数第三个等式看出 rk x 也整除 rk 3x .如此逐步往上推,最终得出 rk x 能整除 gx 与 fx. 这就是说 , r k x 是 fx 与gx 的一个最大公因式 . 其次 ,假定 hx 是fx 与gx 的任一公因式 ,那么由 1 的第一个等式 ,hx 也肯定能整除 r 1x 同理 ,由其次个等式 ,hx 也能整除 r 2x . 如此逐步往下推,最终得出 hx 能整除 rk x . 这样 , rk x 的确是 fx 与gx 的一个最大公因式 . 定理的后一论断可由最大公因式的定义以及前一章的性质 1, 6及 7直接推出 . 我们不但证明白任意两个多项式都有最大公因式,并且也获得了实际求出这样一个最大公因式的一种方法 . 这种方法叫做辗转相除法 .我们也看到 , 两个零多项式的最大公因式就是 0,它是唯独确定的 . 两个不全为零的多项式的最大公因式总是非零多项式 ,它们之间只有常数因子的差别 . 在这一情形我们商定 , 最大公因式指的是最高次项系数是1的那一个 .这样 ,在任何情形 ,两个多项式fx 与gx 的最大公因式就都唯独确定了 .我们以后用符号fx,gx 来表示这样确定的最大公因式 . 由于可以用辗转相除法求出两个多项式的最大公因式,我们仍可以得出一个名师归纳总结 _第 8 页,共 41 页结果 .我们知道 ,如是数域F 含有 F,那么 F x 的多项式 fx 与gx 可以看作_Fx的多项式 . 我们有以下事实: - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 令 _名师精编优秀教案1的最大公因式 ,而_ F 是含 F的一个数域 ,dx 是这两个多项式在 _ F x 中最高项系数为x 是这个多项式在 F x 中最高项系数为 1的最大公因式 .那么dd x d x . _这就是说 ,从数域 F过渡到数域 F 时, fx 与gx 的最大公因式没有转变 .事实上 ,如 fx=gx=0, 那么 d x d x 0 . 设 fx 与 gx 之中至少有一个不等于零 . 不论我们把 fx 与 gx 看成 F x_或 F x 的多项式 ,在我们对这两个多项式施行辗转相除法时 ,总得到同一的最终_余式 rk x . 因此这样得来的 rk x 既是 fx 与 gx 在F x 里的也是它们在 F x 里的一个最大公因式 .令 rk x 的首项系数是 c.那么由上面的商定d x d x 1 / cr k x例1 令 F 是有理数域 .求 F x 的多项式4 3 2f x x 2 x 4 x 4 x 3,3 2g x 2 x 5 x 4 x 3的最大公因式 .名师归纳总结 把 fx 先乘以2,再用gx 来除2x35 x124x315第 9 页,共 41 页2x44x38 x28x62x43 5 x3 x4 x24 x23 x5 x6x乘以2 x x 32310 x4 x14x12 33x214x2 2x x38 532x15这样,得到第一余式33 x14 x15把g x乘以 3,再用r 1r 1x x去除：6 6x x3215 x228 x12 x30 x93927 195 1682x13213 x 42 x（乘以 3）39 39x x2126 x182 x56x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 约去公因子 56 后,得出其次余式名师精编x优秀教案r2x3且 r2 x 整除 r1 xf x , g x x 3例 2令 F 是有理域求出 x的最大公因式4 3 2f x 4 x 2 x 16 x 5 x 93 2g x 2 x x 5 x 4的最大公因式 dx 以及满意等式（）的多项式 ux 与 vx 对 fx 与gx 施行辗转相除法但是现在不答应用一个零次多项式或除式由于在求多项式 ux 与vx 时,不仅要用到余式,同时也要用到商式施行除法的结果,我们得到以下一串等式：2f x g x 2 x 6 x 3 x 92g x 6 x 3 x 9 1 / 3 x 1 / 3 x 126 x 3 x 9 x 1 6 x 9由此得出, x-1 是 fx 与 gx 的最大公因式,而ux=-1/3x-1 ,vx=1/32x 2 -2x-3 定义 3 假如 x的两个多项式除零次多项式外不再有其它的公因式,我们就说,这两个多项式互素明显,如多项式 fx 与 gx 互素,那么,是它们的最大公因式；反之,如是 fx 与 gx 的最大公因式,那么这两个多项式互素定理 2.3.3 Fx 的两个多项式 fx 与 gx 互素的充分且必要条件是：在x 中可以求得多项式 ux 与 vx, 使f x u x g x v x 1 事实上,如 fx 与 gx 互素,那么它们有最大公因式,因而由定理 2.3.2, 可以找 ux 与vx, 使等式 4成立；反之,由等式（一公因式都能整除1,因而都是零次多项式. 3、互素的性质4）可得, fx 与 gx 的每名师归纳总结 （甲）如多项式 fx 和gx 都与多项式 hx 互素,那么乘积fx gx 第 10 页,共 41 页（乙）也与hx 互素；的乘积,而hx 与 fx 如多项式 hx 整除多项式fx 与 gx - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 互素,那么名师精编优秀教案hx 肯定整除 gx . （丙）如多项式gx 与 hx 都整除多项式fx ,而gx 与 hx 互素,那么乘积gx hx 也 肯定整除fx . 4、nn>2 个多项式互素的情形如多项式 hx 整除多项 f 1 x , f 2 x , , f n x,中的每一个, 那么 hx 叫做这 n 个多项式的一个公因式；如是 f 1 x , f 2 x , , f n x 的公因式 dx 能被这 n 个多项式的每一个公因式整除,那么 dx 叫 f 1 x , f 2 x , , f n x 做的一个最大公因式 . 简洁推出：如 d0 x 是多项式如是 f 1 x , f 2 x , , f n x 的一个最大公因式,那么d 0 x 与 f n x 多项式的最大公因式也是多项式如是 f 1 x , f 2 x , , f n x 的最大公因式 . 这样,由于两个多项式的最大公因式总是存在的,所以 在的,并且可以累次应用辗转相除法来求出 . n 个多项式的最大公因式也总是存与两个多项式的情形一样,n个多项式的最大公因式也只有常数因子的差别；我们商定n 个不全为零的多项式的最大公因式指的是最高次项数是 1 的那一个；那 n 个多项式f 1 x , f 2 x , , f n x 是最大公因式就是唯独确定的 .我们用符号（f 1 x , f 2 x , , f n x）表示这样确定的最大公因式 . 最终,如是多项式 f 1 x , f 2 x , , f n x 除零次多项式外,没有其它公因式,就说这一组多项式互素；我们要留意,n n>2 个多项 f 1 x , f 2 x , , f n x 互素时,它们并不肯定两两互素；例如,多项式名师归纳总结 f 1x x23 x,2f2xx25 x6 ,f3xx24x3第 11 页,共 41 页是互素的,但f 1x,f2xx2作业： P48 ：1,2,3,4,5,6,10 2.4 多项式的分解教学目的把握有可约的多项式的概念及性质；把握唯独分解定理；会用两个多项式的典型分解式求出它们的最大公因式. 重点、难点两条主要定理（唯独因式分解的定理）证明及应用；多项式的可约性与数域有关. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 教学过程讲授、练习 . 名师精编优秀教案1 . 不行约多项式的概念及性质给定 Fx 的任何一个多项式 fx, 那么 F 的任何不为零的元素 c 都是 fx 的因式 .另一方面, c 与 fx 的乘积 cfx 也总是 fx 的因式 .我们把 fx 的这样的因式叫做它的平凡因式 . 任何一个零次多项式明显只有平凡因式 .一个次数大于零的多顶式可能只有平凡因式,也可能仍有其它的因式 . 定义 令 fx 是 Fx的一个次数大于零的多项式 . 如是 fx在 Fx 中只有平凡因式, fx 就说是在数域 F 上（或在 Fx中）不行约 . 如 fx 除平凡因式外,在 Fx 中仍有其它因式,fx 就说是在 F 上（或在 Fx 中）可约 . 假如 Fx 的一个 nn>0 次多项式能够分解成 Fx 中两个次数都小于 n 的多项式 gx 与 hx 的积 : fx=gxhx, （1）那么 fx 在 F 上可约 . 如是 fx 在 Fx 中的任一个形如（么 fx 在 F 上不行约 . 1）的分解式总含有一个零次因式,那依据以上定义,对于零多项式与零次多项式我们既不能说它们是可约的,也不能说它们是不行约的. Fx 中都存在不行约多项式,由于 Fx 的任何一个一次多项式在任一多项式环总是不行约的 . 留意,我们只能对于给定的数域来谈论多项式可约或不行约 . 由于一个多项式可能在一个数域上不行约,但在另一数域上可约 . 一般指的是在数域 F 上不行约的多项式；（a） 假如多项式 px 不行约,那么 F 中任一不为零的元素 c 与 px 的乘积 cpx 也不行约 . 名师归纳总结 （b）设px 是一个不行约多项式而fx 是一个任意多项式,那么或者第 12 页,共 41 页px 与 fx 互至少,或者Px 整除fx. （c）假如多项式fx 与 gx 的乘积能被不行约多项式px 整除,那么至少有一个因式被px 整除 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案互不相等,而其它每一因式都等于这 t 个因式中的一个,并且 p ixi=1,2, ,t 假定对于能分解成 r-1 个不行约因式的乘积的多项式来说,定理成立 .我们证明c' 假如多项式 f 1 x , f 2 x , , f s x s 2 的乘积能够被不行约多项式整除,那么至少有一个因式被整除 . 2.唯独因式分解定理！定理 2.4.1 Fx 的每一个 nn>0 次多项式 fx 都可以分解成 Fx 的不可约多项式的乘积 . 证 如是多项式 fx 理成立,这时可以认为 fx 是一个不行约因式的乘积：fx=fx 如 fx 可约,那么 fx 可以分解成两个次数较低的多项式的乘积：f x f 1 x f 2 x如因式 f 1x 与 f 2 x 中仍有可约的,那么又可