一道应用题的说题.doc

关于一道应用题的说题 吴道勇（2013.3）原题再现：（2011乐清期末统考题）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数y=-x+120.（1）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式，并写出自变量的取值范围；（2）若该商场获得利润是500元，求销售单价x；（3）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？一说背景本题出自于乐清市2012年九年级上学期期末统考试题，实际上是将2010年包头市的中考题进行了适度的改编（题目背景、重要数据几乎是一模一样，具体题目见附页）。本题重点考查的是二次函数的应用和数学建模思想，其命题意图主要有以下三点：1 知识立意。通过生活中的知识问题（营销类问题）考查学生对一些基本数量关系式的掌握，如：利润=售价成本价，总利润=单个商品的利润×销售量。并以此为背景综合考查了一次函数、二次函数、方程、不等式等初中阶段所学的这些重要数学知识。2 思想立意。本题以二次函数为主线，着重考查了数学建模思想，如：建立二次函数模型、方程模型等，以及分类讨论思想、数形结合思想、转化思想。3 能力立意。题目将函数、方程、不等式等知识点巧妙地结合在一起，融数学知识、思想方法、能力素养于一体，较好地考查了学生全面运用所学知识解决实际问题的能力。总体上来看，本题的难度不大，但设置的问题按梯度递进，有区分度。二说题目1第（1）小题是已知总利润w，要求写出W与销售单价之间的关系式，并写出自变量的取值范围。考查的目的是学生是否会用相关知识建立二次函数模型，是否会根据题意求出x的取值范围。2 第（2）小题是已知利润为500元，求销售单价x。考查的目的是学生是否会通过第（1）问的解答转化为一元二次方程模型，在求出此方程的解后，是否会结合x的取值范围予以取舍。3第（3）小题是若使商场可获得最大利润，如何定销售单价，最大利润是多少？最值问题属于方案优化类问题，是本题的难点。三说解法解： （1） 自变量取值范围是（分析：a.关键在于挖掘题中隐含的两个基本数量关系式：“利润=售价成本价”，“总利润=单个商品的利润×销售量”，学生不难得到两个变量W与之间的关系式，抽象出二次函数的模型。b由题中的关键句子构建不等式模型，通过联立不等式组，即可求出x的取值范围。）（2）由，得，整理得，解得，而，所以，销售单价是70（分析：结合（1）中的结论学生不难将函数模型转化为方程模型，继而求出一元二次方程的解，但有些学生可能忽视x的限制条件，没有对解进行取舍。）（3）解法1（利用函数的增减性）：， 抛物线的开口向下，当时，随的增大而增大，而， 当时，当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元解法2（利用图像法数形结合）：先根据抛物线顶点坐标公式求出顶点坐标，画出其大致图像，然后由图像并结合自变量x的取值范围找到W取最大时对应的x的值，即可解决本小题。解（略）（分析：本小题是对学生利用前面所建立的数学模型解决实际问题的能力考查，有一定难度。易错点：a.在于有些学生思考简单，不考虑x能不能达到90，死套公式而导致错解；b.在这一范围内，x的取值有何方法？因找不到解决问题的途径而丢分。）四说变式、拓展变式1（部分条件改变，结论不变）：将已知条件中的“销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数y=-x+120.”改为：“当销售价为每件80元时，销售量为40件，单价每降低1元，销售量增加1件”，结论不变。（还可以改为“已知一次函数中两对自变量x、y的值，或者给出多对自变量x、y的值去探求一次函数的解析式，或者画出函数图像并给出图像上的两个点）变式2：（部分结论改变，条件不变）：将第（3）小题改为“若该商场获得的利润不低于500元，试确定销售量Y的最大值”（还可以改为：若该商场获得的利润不低于500元，试确定销售方案）拓展(湖北中考模拟题)：某服装经营部每天的固定费用为300元，现试销一种成本为每件80元的服装、规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于35%，经试销发现，每件销售单价相对成本提高x（元）（x为整数）与日均销售量y（件）之间的关系符合一次函数y=kx+b，且当x=10时，y=100；x=20时，y=80 （1）求一次函数y=kx+b的关系式； （2）设该服装经营部日均获得毛利润为W元（毛利润=销售收入-成本-固定费用），求W关于x的函数关系式；并求当销售单价定为多少元时，日均毛利润最大，最大日均毛利润是多少元？ （3）若该批试销服装总共有864件，刚好在规定的a天（a为整数）内全部销售完毕，则a的值是 _8、9或12（写出一个即可）解（1）、（2）略。（3）：8，或9，或12（写出一个即可）由ay=864，y=2x120得60x=，而0x28，即3260-x6060-x=2×33，或60-x=24×3，或60-x=22×32解得x=6，或x=12，或x=24，所以a=8，或9，或12设计以上的各种变式、拓展题目的在于培养学生在实际问题中如何建模的能力，实现举一反三、触类旁通的功效。五说反思1关注生活，挖掘题材基于“数学来源于生活，又服务于生活”的新课程理念，近年来各地的中考应用题大多是以现实生活为问题背景，注重联系生活实际考查学生的数学应用能力，体现时代性。这就要求我们在以后的教学中，应多关注生活，从生活现实中去挖掘题材，让学生从熟悉的、具体的问题情境中抽象出数学知识，自己建立出数学模型，有利于提高学生真正解决实际问题的能力。2追根溯源，回归课本仔细研究近年来各地的中考题，发现很多题都是来自于课本的例、习题，在课本中都会找到其影子，要么是原题，要么是改编题（延伸与拓展），如本题就是浙江版教材P48习题3的改编题。因此我们在中考复习中应当充分重视教材,深挖教材,汲取教材的营养价值,发挥 课本例、习题的示范功能。3精选例题，举一反三在教学中，我们应该精选具有代表性、典型性的例习题，要善于“借题发挥”，进行一题多变、多题组合、一题多解等各种变式训练，引导学生去探索数学问题的规律性和方法，以达到“做一题、通一类、会一片”的教学效果。附：2010年包头市中考数学题23（本小题满分10分）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，（1）求一次函数的表达式；（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围3