全国初中数学竞赛辅导(初2)第09讲_一元二次方程.doc

初中数学学科网（）第九讲 一元二次方程一元二次方程是中学代数的重要内容之一，是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础，其内容非常丰富，本讲主要介绍一元二次方程的基本解法方程ax2+bx+c=0(a0)称为一元二次方程一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和国式分解法对于方程ax2+bx+c=0(a0)，=b2-4ac称为该方程的根的判别式当0时，方程有两个不相等的实数根，即当=0时，方程有两个相等的实数根，即当0时，方程无实数根分析 可以使用公式法直接求解，下面介绍的是采用因式分解法求解因为所以例2 解关于x的方程：x2-(p2+q2)x+pq(p+q)(p-q)=0解 用十字相乘法分解因式得x-p(p-q)x-q(p+q)=0，所以x1=p(p-q)，x2=q(p+q)例3 已知方程(2000x)2-2001×1999x-1=0的较大根为a，方程x2+1998x-1999=0的较小根为，求-的值解 由方程(2000x)2-2001×1999x-1=0得(20002x+1)(x-1)=0，(x+1999)(x-1)=0，故x1=-1999，x2=1，所以=-1999所以-=1-(-1999)=2000例4 解方程：(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)分析 本题容易犯的错误是约去方程两边的(x-1)，将方程变为3x-1=4x+1，所以x=-2，这样就丢掉了x=1这个根故特别要注意：用含有未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程失根本题正确的解法如下解 (3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0，(x-1)(3x-1)-(4x+1)=0，(x-1)(x+2)=0，所以 x1=1，x2=-2例5 解方程：x2-3x-4=0分析 本题含有绝对值符号，因此求解方程时，要考虑到绝对值的意义解法1 显然x0当x0时，x2-3x-4=0，所以x1=4，x2=-1(舍去)当x0时，x2+3x-4=0，所以x3=-4，x4=1(舍去)所以原方程的根为x1=4，x2=-4解法2 由于x2=x2，所以x2-3x-4=0，所以 (x-4)(x+1)=0，所以 x=4，x=-1(舍去)所以 x1=4，x2=-4例6 已知二次方程3x2-(2a-5)x-3a-1=0有一个根为2，求另一个根，并确定a的值解 由方程根的定义知，当x=2时方程成立，所以3×22-(2a-5)×2-3a-1=0，故a=3原方程为3x2-x-10=0，即(x-2)(3x+5)=0，例7 解关于x的方程：ax2+c=0(a0)分析 含有字母系数的方程，一般需要对字母的取值范围进行讨论当c=0时，x1=x2=0；当ac0(即a，c同号时)，方程无实数根例8 解关于x的方程：(m-1)x2+(2m-1)x+m-3=0分析 讨论m，由于二次项系数含有m，所以首先要分m-1=0与m-10两种情况(不能认为方程一定是一元二次方程)；当m-10时，再分0，=0，0三种情况讨论解 分类讨论(1)当m=1时，原方程变为一元一次方程x-2=0，所以x=2(2)当m1时，原方程为一元二次方程=(2m-1)2-4(m-1)(m-3)=12m-11例9 解关于x的方程：a2(x2-x+1)-a(x2-1)=(a2-1)x解 整理方程得(a2-a)x2-(2a2-1)x+(a2+a)=0(1)当a2-a0，即a0，1时，原方程为一元二次方程，因式分解后为ax-(a+1)(a-1)x-a=0，(2)当a2-a=0时，原方程为一元一次方程，当a=0时，x=0；当a=1时，x=2例10 求k的值，使得两个一元二次方程x2+kx-1=0，x2+x+(k-2)=0有相同的根，并求两个方程的根解 不妨设a是这两个方程相同的根，由方程根的定义有a2+ka-1=0， a2+a+(k-2)=0 -有ka-1-a-(k-2)=0，即 (k-1)(a-1)=0，所以k=1，或a=1(1)当k=1时，两个方程都变为x2+x-1=0，所以两个方程有两个相同的根没有相异的根；(2)当a=1时，代入或都有k=0，此时两个方程变为x2-1=0，x2+x-2=0解这两个方程，x2-1=0的根为x1=1，x2=-1；x2+x-2=0的根为x1=1，x2=-2x=1为两个方程的相同的根例11 若k为正整数，且关于x的方程(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0有两个不相等的正整数根，求k的值解 原方程变形、因式分解为(k+1)(k-1)x2-6(3k-1)x+72=0，(k+1)x-12(k-1)x-6=0，即4，7所以k=2，3使得x1，x2同时为正整数，但当k=3时，x1=x2=3，与题目不符，所以，只有k=2为所求例12 关于x的一元二次方程x2-5x=m2-1有实根a和，且+6，确定m的取值范围解 不妨设方程的根，由求根公式得+=+=56， 符合要求，所以m21例13 设a，b，c为ABC的三边，且二次三项式x2+2ax+b2与x2+2cx-b2有一次公因式，证明：ABC一定是直角三角形证 因为题目中的两个二次三项式有一次公因式，所以二次方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0必有公共根，设公共根为x0 ，则两式相加得若x0=0，代入式得b=0，这与b为ABC的边不符，所以公共根x0=-(ac)把x0=-(ac)代入式得(a+c)2-2a(a+c)+bg2=0，整理得a2=b2+c2所以ABC为直角三角形例14 有若干个大小相同的球，可将它们摆成正方形或正三角形，摆成正三角形时比摆成正方形时每边多两个球，求球的个数解 设小球摆成正三角形时，每边有x个球，则摆成正方形时每边有(x-2)个球此时正三角形共有球此时正方形共有(x-2)2个球，所以即 x2-9x+8=0，x1=1，x2=8因为x-21，所以x1=1不符合题意，舍去所以x=8，此时共有球(x-2)2=36个练 习 九1解方程：(2)20x2+253x+800=0；(3)x2+2x-1-4=02解下列关于x的方程：(1)abx2-(a4+b4)x+a3b3=0；(2)(2x2-3x-2)a2+(1-x2)b2=ab(1+x2)3若对任何实数a，关于x的方程x2-2ax-a+2b=0都有实数根，求实数b的取值范围4若方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0有一个公共根，求(a+b)2000的值5若a，b，c为ABC的三边，且关于x的方程4x2+4(a2+b2+c2)x+3(a2b2+b2c2+c2a2)=0有两个相等的实数根，试证ABC是等边三角形初中数学学科网（）