2011年深圳市高三年级第一次调研考试文科数学试题(2011年深圳一模文科数学试题).doc
2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数一、选择题：本大题每小题5分，满分50分12345678910DBCADCBCCB5. 数列是首项与公比均为的等比数列.6. 利用平行四边形法则做出向量，再平移即发现. 7从振幅、最小正周期的大小入手：的振幅最大，故为；的最小正周期最大，故为从而为. 8. 圆面的圆心在平面区域内,则9. 程序框图的作用是将三个实数按从小到大的顺序排列，若，则.10.画图即知:函数的图象与直线有唯一公共点 故两个函数的所有次不动点之和或利用函数的图象与函数的图象关于直线对称即得出答案.二、填空题：本大题每小题5分；第14、15两小题中选做一题，如果两题都做，以第14题的得分为最后得分)，满分20分11. 12. 13 14 15.第13题写或不写都可以，写成如等均可.11.每个个体被抽入样的概率均为，在内的频率为0.0005×（30002500）0.25，频数为10 000×0.252 500人，则该范围内应当抽取的人数为2 500×25人.12. 画出左(侧)视图如图,其面积为13. 将各11 ,12,13,14,15对应的函数值分别写成,分母成等差数列,可知分母14. 最长线段即圆的直径.15. 根据射影定理得三、解答题：本大题6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分14分）已知向量与向量垂直，其中为第二象限角（1）求的值；（2）在中，分别为所对的边，若，求的值【命题意图】本题主要考查向量的数量积、二倍角公式、同角间三角函数关系、余弦定理、两角和的正切公式等基础知识，以及运算求解能力. 解: (1) , 即3分 为第二象限角, 6分 (2) 在中, 9分, 11分 14分17（本小题满分12分）MSDCBA如图，在四棱锥中，平面平面，是线段上一点，（1）证明：平面；（2）设三棱锥与四棱锥的体积分别为与，求的值【命题意图】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.（1） 证明: 平面平面,平面平面,平面，平面,1分平面 2分四边形是直角梯形，,都是等腰直角三角形,4分平面，平面，,平面6分（2） 解: 三棱锥与三棱锥的体积相等,由( 1 ) 知平面,得,9分设由,得从而 12分18（本小题满分14分）已知函数，其中实数是常数（1）已知，求事件A“”发生的概率；（2）若是上的奇函数，是在区间上的最小值，求当时的解析式【命题意图】本小题主要考查古典概型、函数的奇偶性与零点、导数、解不等式等知识, 考查化归与转化、分类列举等数学思想方法，以及运算求解能力.解：(1) 当时，等可能发生的基本事件共有9个：4分其中事件 “”，包含6个基本事件： 4分故6分答：事件“”发生的概率.7分(2) 是上的奇函数，得8分 , 9分 当时，因为，所以，在区间上单调递减，从而；11分 当时，因为，所以，在区间上单调递增，从而. 13分综上，知 14分19（本题满分12分）ABCDOFE如图，有一正方形钢板缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线是以直线AD为对称轴，以线段的中点为顶点的抛物线的一部分工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形若正方形的边长为2米，问如何画切割线，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值ABCDOFExyP【命题意图】本小题主要考查二次函数的切线、最值等知识，考查坐标思想、数形结合、化归与转化等数学思想方法，以及将实际问题转化为数学问题的能力.解法一：以为原点，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧的方程为点的坐标为，故边缘线的方程为. 4分要使梯形的面积最大，则所在的直线必与抛物线弧相切，设切点坐标为，直线的的方程可表示为，即，6分由此可求得，.，8分设梯形的面积为，则. 10分当时，故的最大值为. 此时.11分答：当时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为. 12分解法二：以为原点，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧的方程为点的坐标为， 故边缘线的方程为. 4分要使梯形的面积最大，则所在的直线必与抛物线弧相切，设切点坐标为，直线的的方程可表示为，即，6分由此可求得，.，7分设梯形的面积为，则. 10分当时，故的最大值为. 此时.11分答：当时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为. 12分20（本题满分14分）已知椭圆的左焦点及点，原点到直线的距离为（1）求椭圆的离心率；（2）若点关于直线的对称点在圆上，求椭圆的方程及点的坐标【命题意图】本小题主要考查椭圆的标准方程与简单几何性质、点关于直线对称等知识，考查数形结合、方程等数学思想方法，以及运算求解能力.解：(1)由点，点及得直线的方程为，即，2分原点到直线的距离为，5分 故椭圆的离心率. 7分(2) 解法一：设椭圆的左焦点关于直线的对称点为，则有 10分解之，得.在圆上，13分故椭圆的方程为,点的坐标为14分解法二：因为关于直线的对称点在圆上，又直线经过圆的圆心,所以也在圆上, 9分从而， 10分故椭圆的方程为. 11分与关于直线的对称, 12分解之，得.13分故点的坐标为14分21（本小题满分14分）设数列是公差为的等差数列，其前项和为 （1）已知，（）求当时，的最小值；（）当时，求证：；（2）是否存在实数，使得对任意正整数，关于的不等式的最小正整数解为?若存在，则求的取值范围；若不存在，则说明理由【命题意图】本小题主要考查等差数列通项、求和与不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力.(1) () 解: 当且仅当即时,上式取等号.故的最大值是4分 () 证明: 由()知，当时,，6分，8分9分 (2)对,关于的不等式的最小正整数解为，当时，；10分当时，恒有，即,从而12分 当时,对,且时, 当正整数时,有13分所以存在这样的实数,且的取值范围是.14分第 15 页 共 15 页
