化归思想在数学教学中的运用与思考.doc

化归思想在数学教学中的运用与思考【内容摘要】 化归思想是数学思想中一种最基本，最典型的方法，本文从渗透在教材中的化归思想出发，论述笔者在教学中怎样运用化归思想完成知识传授的过程，教学中遇到的问题以及对问题的思考。 【关键词】 化归思想 运用 操作 思考【正文】在课堂教学中，无论是教师还是学生都有一个共识：课堂应该是一个“授人以渔，启之以智”的地方。由此看数学教学，不应只是教师简单地将数学表层知识传授给学生，而是让学生掌握解决具体数学问题的方法，以便解决生活实际中的问题。解数学问题，往往不是只有一种方式和方法，但这些众多的方法都有一个共同的、重要的特点，那就是化归。人们在研究和运用数学的长期实践中，获得了大量的成果，也积累了丰富的经验，许多问题的解决已经形成了固定的方法模式和约定俗成的步骤。这种有既定解决方法和程序的问题叫做规范问题，而把一个生疏或复杂的问题转化为规范问题的过程称为化归。我们也常把它称之为“转化思想”。可以说化归思想在数学教学中是贯穿始终的。灵活、恰当地运用好这一思想方法对提高学生的数学能力大有益处。一、化归法的运用(1) 运用化归思想指导新知识学习例如，有理数的运算是先学加法运算，而减法运算是通过化归成已学习的加法来运算。同理，在学了乘法的基础上如何计算除法呢，我们将陌生的除法转化为熟悉学过的乘法运算.再如，对于一元二次方程，人们已经掌握了求根公式和韦达定理等理论，因此求解一元二次方程的问题是规范问题，而把分式方程、无理方程、超越方程通过去分母、平方、换元等方法转化为一元二次方程的过程就是问题的规范化。其中换元法是实现规范化的手段，具有转化归结的作用，可以称之为化归的方法。（2）运用化归方法指导解题例如，在实数范围内分解，这个式子不能直接用公式进行分解，但是我们可以通过等价转化的方法：加上一项，然后减去，就可以将它配方为熟悉的完全平方形式，使分解能够顺利进行。（3）运用化归方法梳理知识结构 运用化归方法对逐章逐节学的知识进行消化、提炼、整理，就可得到系统的知识结构，将零星的知识编织成一张有序的、主次分明的知识网络，收到化厚为薄，纲举目张，易懂、易记、易用的效果。例如，在复习初中代数知识的时候，利用化归方法，借助于绝对值概念，可将有理数运算化归为算术数运算。这样，有理数内容学生就很容易掌握。 又如，用字母代替数则产生代数式。由于字母在代数式中的位置不同，从而可得到不同的代数式，根号内含字母的为无理式，根号内不含字母的为有理式，分母中不含字母的有理式为整式，分母中含字母的有理式为分式。整式、分式、无理式都可以应用化归方法通过已学过的简单知识去掌握。利用同类项概念，整式运算可化归为有理数运算；分式经过通分、约分可化为整式运算；无理式在化为最简根式后，则可化归为有理式运算。再如，用等号联结两个代数式就得到方程，若用不等号联结两个代数式就是不等式。而方程、不等式的求解过程，乃是通过移项法则和运用等式、不等式性质，将它们化归为式的运算。由于用等号联结的代数式有整式、分式、无理式，所以也就得到了整式方程、分式方程、无理方程。二、化归法的操作首先，在教学“有理数”时孕育化归思想。有理数是在算术数的基础上扩充产生的。通过教师的启发诱导，让学生懂得，借助绝对值的概念，可将有理数大小比较转化为算术数大小比较，有理数四则运算转化为算术数四则运算。这样，有理数一章内容学生就很容易掌握。在教学“整式加减法”时继续孕育化归思想，使学生认识到：所谓整式加减法其实就是合并同类项，而合并同类项就是把这些同类项的系数进行加减运算。因此，整式加减法的实质是通过同类项概念转化为有理数加减。通过这两次孕育，学生能初步体会到化归的基本思想：将新问题转化为旧知识。其次，在教学“一元一次方程和它的解法”时进一步孕育化归思想。指出x=既可以看作是方程的解，也可以看作是一个最简形式的方程，使学生明确最简方程是解一元一次方程的化归目标，解方程的过程是，首先寻找所给方程与目标的差异，然后设法消去差异，直至达到化归目标，即化为最简方程。化归的具体方法去分母、去括号、移项、合并同类项等。 在解“一元二次方程”和“可化为一元二次方程的有关方程”时，按照“明确化归目标寻找与目标的差异消除差异”等程序，探索解题思路，从而比较顺利地完成这些内容的学习。通过这样的方法，学生们就很容易自己归纳出解代数方程的基本思路，即无理方程有理化，分式方程整式化，高次方程低次化。更重要的是，学生掌握了化归思想，还可以用来指导解决更为复杂的问题。这个收获，要比掌握解一元一次方程的具体方法更为重要。因此，用化归思想指导方程教学更好。但是，化归方法的教学并未结束，我们发现化归方法还渗透在几何学习中，初中几何研究的是平面几何图形的性质（形状、位置、大小关系等），而这些变化无穷的平面图形则是由一些最简单、最基本的图形组合而成的。要解决一个几何问题，只要在复杂图形中，构造出基本图形，并且应用基本图形的性质，就可使问题得以解决，即把待解决的几何问题作为化归对象，把基本图形作为化归目标，将复杂图形化归为基本图形，这就是解几何问题的化归思想。以视图的教学举例，教材在编排设计上是围绕认识基本几何体、发展学生空间观念展开的，在过程上是让学生经历图形的变化、展开与折叠等数学活动过程的，在活动中引导学生认识常见的几何体以及点、线、面和一些简单的平面图形；通过对某些几何体的主视图、俯视图、左视图的认识，在平面图形与立体图形的转化中发展学生的空间观念。教材在设计思路上处理方法是“先空间、后平图，再通过展开与折叠、从三个方向看数学活动进行平面图形与立体图形的转化。”这就要求我们必须在授课过程中注意图形的化归思想渗透。我个人认为在实际操作中，因为大部分学生在小学时就积累一定的感性处理方法，我们要注意的就是将其上升为理论高度，在学习解斜三角形时，我们也能理解：把斜三角形问题转化为直角三角形来解，其实就是化归方法的应用。通过不断在新情境下应用化归方法，可以进一步巩固和发展对化归方法的理解，丰富实现化归的方法和技巧，从而使学生能比较自觉地运用化归方法指导解答综合题。三、问题与思考如何进行化归思想的教学？怎样让学生顺利完成化归？因为数学教学内容始终反映着显形的数学知识（概念、定理、公式、性质等）和隐形的数学知识（数学思想方法）这两方面。所以，在教学中，我们不仅应当注意显形的数学知识的传授，而且也应注意数学思想方法的训练和培养。对于化归思想方法的分析，我们得把课讲活、讲懂、讲深。“讲活”，就是让学生看到活生生的化归转化过程，而不是死的数学知识；“讲懂”就是让学生真正理解数学内容的联系，而不是囫囵吞枣，死记硬背；“讲深”是指学生不仅能掌握具体的数学知识，而且也能感受、领会、形成、运用内在的思想方法。化归的中心思想是善于对所要解决的问题进行变形，而所说的变形并不是一种无目的的活动。因此，我们应始终“盯住目标”。即应始终考虑怎样才能达到解决原来问题的目的。例如，怎样才能求出问题中的未知量？怎样才能证明问题中的结论？这就需要我们在确定化归的方向和方法时，既要保持一定的灵活性，多作些必要的尝试，又应有一定的韧性，即只要还有一线希望，就不要轻易放弃已有的工作。利用化归思想解题时，转化的途径和方法不一定相同，但有一个共同的规律，就是在待解决的问题和已解决问题之间架起一个联系的桥梁，这就是知识之间的“关系链”，这就要求我们在数学的教学过程中，要不断地构建知识结构，形成知识网络，要领悟蕴含在数学内容之中的数学思想方法，这些都是提高数学解题能力的条件和基础。 另外还应指出，虽然化归法在数学研究中有着十分重要的作用，但也有一定的局限性，并非所有的问题都能通过化归来解决。因此，在应用化归法解决问题时，也应兼顾其它方法的运用。总之，在数学教学过程中，要不断指导学生的学习方法，积极开展学习活动，培养学生的自主学习探索能力，帮助学生通过自身的思维活动和操作活动，从学会到会学，再通过学生自身的情感体验，达到领悟的境界。实践证明，只要我们深入研究教材，精心设计教学过程，把数学思想方法与知识的传授结合起来，耐心地、反复地进行渗透，就能使我们的学生在获取知识的同时，逐步掌握思考问题和解决问题的办法，形成解决问题的能力。6