2022年数列专题复习指导.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载数列专题复习指导一、 复习要求等差数列及等比数列的定义,通项公式, 前 n 项和公式及性质； 一般数列的通项及前n 项和运算 . 二、 学习指导1、数列：是根据肯定次序排列而成的一列数,从函数角度看,这种次序法就就是函数的对应法就,因此数列可以看作是一个特别的函数,其特别性在于： 第一, 定义域是正整数集或其子集；其次,值域是有次序的, 不能用集合符号表示 . 讨论数列,第一讨论对应法就通项公式：an f n , n N * ,要能合理地由数列前 n 项写出通项公式, 其次讨论前 n 项和公式 S n : S n a 1 a 2 a n , 由 S 定义 , 得到S 1 n 1数列中的重要公式：a n . 一般数列的 a 及 S ,除化归为等差数列或等比数列外 ,S n S n 1 n 2求 S 仍有以下基此题型：裂项法,错位相减法 . 2、等差数列（1）定义： a 为等差数列 a n 1 a n d（常数）,n N *2 a n a n 1 a n 1（n2,n N *）；（2）通项公式：a n a 1 n 1 d , a n a m n m d ;前 n 项和公式：S n na 1 n n 1 d n a 1 a n ；2 2（3）性质：an an b,即 a 是 n 的一次型函数,系数 a 为等差数列的公差；Sn an 2bn , 即S 是 n 的不含常数项的二次函数；如 a , b 均为等差数列 , 就 a ±b , k a +c （ k , c 为常数）均为等差数列；当 m n p q 时, a m a n a p a q；当n为奇数时 , S 2 n 1 2 n 1 a n , S 奇 n 1 a 中,S 偶 n 1 a 中 . 3、等比数列（1）定义：a n 1 q（ q 为常数,a 0）；a n 2a n 1 a n 1（n 2,n N *）；a n（2）通项公式：a n a 1 q n 1 , a n a m q n m ;na 1 q 1前 n 项和公式：S n a 1 1 q n a 1 a n q；q 11 q 1 q（3）性质 : 当 m n p q 时, a m a n a p a q,当 2 n p q 时, a n 2a p a q,数列 k a 成等比数列 . 4、等差、等比数列的应用（1）基本量的思想： 常设首项、 公差及首项, 公比为基本量, 借助于消元思想及解方程组思想等；（2）敏捷运用等差数列、等比数列的定义及性质,简化运算 . 三、典型例题名师归纳总结 例 1. 已知数列a 为等差数列,公差d 0,其中ak 1,ak2,akn恰为等比数列,如第 1 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - k1,1k25 ,k317,求k 1k2k学习必备欢迎下载n.例 2. 设数列 a 为等差数列,S 为数列 a 的前 n 项和,已知 S 7 7 , S 15 75 , T 为数列 Sn 的前 n 项和,求 T n .n例 3. 正数数列 a 的前 n 项和为 S ,且 2 S n a n 1,求：（1）数列 a 的通项公式；（2）设 b n 1,数列 b 的前 n 项的和为 B ,求证：B n 1 . a n a n 1 2例 4. 等差数列 a 中,前 m 项的和为 77（ m 为奇数）,其中偶数项的和为 33,且 1a -a m =18,求这个数列的通项公式 . 例 5. 设 a 是等差数列,b n 1 a n,已知 b1+b2+b3= 21 ,b1b2b3= 1 ,求等差数列的通项 a . 2 8 8例 6. 已知数列 a n 中,S 是其前 n 项和,且 S n 1 4 a n 2 , n ,1 2 , , a 1 1 .（1）设 b n a n 1 2 a n , 求证： 数列 b n 是等比数列；（2）设 c n a nn , 求证： 数列 c n 是等差数列；2（3）求 a n 的通项公式 a 及前 n 项和 S . 例 7. 函数 f x 对任意 x R 都有 f x f 1 x 1 .2（1）求 f 1, f 1 f n 1 , n N * 的值；2 n n（2）数列 a n 满意 an f 0 f 1 f 2 f n 1 f 1 , 数列 a n 是等差数列吗？n n n请予以证明；（3）bn441,S n3216,Tn2 b 12 b 22 b n,试比较T 和S 的大小 . a nn例 8. 数列an的前 n 项和为S ,且Snnn1 nN.,求数列bn的通项公式；I 求数列an的通项公式；b 1b2b 3bnII如数列b n满意：an313213313n1III令cnanbnnN*,求数列cn的前 n 项和为Tn.4同步练习（一）挑选题名师归纳总结 1、已知a,b,ab成等差数列,a,b ,ab成等比数列,且0<logmab<1,就 m 取值范畴是y2第 2 页,共 6 页A、m>1 B、1<m<8 C、m>8 D、0<m<1或 m>8 2、设 a >0, b >0,a,x1,x2,b成等差数列,a,y 1,y2,b成等比数列,就A、x1x2y 1y2 B 、x 1x2y 1y2C、x1x 2<y 1y2 D、x1x 2>y 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3、已知S 是a 的前 n 项和,S =学习必备欢迎下载a n P （ PR, n N+）,那么数列 A、 是等比数列 B 、当 P 0 时是等比数列 C当 P 0,P 1 时是等比数列 D 、不是等比数列4、 a 是等比数列,且 a >0,a 2 a 4 2 a 3 a 5 a 4 a 6 25,就 a 3 a 5 等于A、5 B、10 C、15 D、20 5、已知 a , b , c 成等差数列,就二次函数 y ax 2 2 bx c 的图象与 x 轴交点个数是A、 0 B、1 C、2 D、1 或 2 6、如 x 的方程 x 2x a ,0 x 2x b 0（ a b ）的四个根可组成首项为 1 的等差数列,就 a b4A、3 B、11 C、13 D、318 24 24 72 7、从材料工地运输电线杆到 500 m 以外的大路,沿大路一侧每隔 50 m 埋栽一根电线杆,已知每次最多只能运 3 根,要完成运载 20 根电线杆的任务,正确方案是使运输车运行A、 11700 m B、14700 m C、14500 m D、 14000 m 8、已知等差数列 a 中,| a 3 | | a 9 |,公差 d<0,就使前n项和 S 取最大值的正整数 n 是A、4 或 5 B、5 或 6 C、6 或 7 D、8 或 9 （二）填空题9、已知数列 a 满意 a 1 2 a 2 3 a 3 na n n n 1 n 2 , 就它的前 n 项和 S =_. 10、设等差数列 a 共有 3 n 项,它的前 2 n 项之和为 100,后 2 n 项之和为 200,就该等差数列的中间 n 项的和等于 _. 11、长方体的三条棱成等比数列,如体积为216cm 3,就全面积的最小值是a_cm 2. 12、如不等于1 的三个正数a,b,c成等比数列,就2logba 1logc=_. （三）解答题13、已知一个等比数列首项为 1,项数是偶数,其奇数项之和为 85,偶数项之和为 170,求这个数列的公比和项数 . 14、已知等比数列 a 的首项为 1a >0,公比 q >-1 （ q 1）,设数列 b 的通项*b n a n 1 a n 2 , n N ,数列 a , b n 的前 n 项和分别记为 A ,B ,试比较 A 与 B 大小 . 15、数列 a 中,a 1 8 , a 4 2 且满意 a n 2 2 a n 1 a n ,（n N+）（1）求数列 a 通项公式；（2）设 S =| a |+| a |+ +| a | ,求 S ；（ 3）设 b n 1（nN+）T n b 1 b 2 b n , 是否n 12 a n 存在最大的整数 m ,使得对于任意的 n N+,均有 Tn m 成立？如存在,求出 m 的值；如不存在,32说明理由 . 名师归纳总结 16、已知数列 a 满意：a 12 ,an12 ann1 nnnN*.I 证明数列a nnn 是等比数列, 并第 3 页,共 6 页b的前 n 项和为S .求出数列 a 的通项公式； II 数列bn满意：b n2 nnN*,求数列2 a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例题参考答案名师归纳总结 例 1. 解题思路分析：从查找新、旧数列的关系着手, 设a 首项为a 1,公差为d .第 4 页,共 6 页a1,a 5,a17成等比数列 , a2a1a 17,a14d2a1a 14d,a12d5设等比数列公比为q,就qa5a1a14d2d2d4d3.a1对a kn项来说,在等差数列中：ak na1kn1dkn21a1在等比数列中：akna 1 qn1a 13n1,kn23n11 .k 1k2kn20 3121 3123n12 132 3n 31n3nn1 .注：此题把k1k2kn.看成是数列 k 的求和问题,着重分析k 的通项公式；这是解决数列问题的一般方法,称为“ 通项分析法”. 例 2. 解题思路分析：法一：利用基本元素分析法设a 首项为a1,公差为 d ,就S77a1726d7S1515a115214d75a112Sn2nn1Sn2n21n5此式为 n 的一次函数d2n22 Sn 为等差数列nTn1n2an44法二： a 为等差数列,设SnAn2Bn,S7A7227BB775解之得：A152S 15A1515B2S n1n25n,下略注：法二利用了等差数列前n 项和的性质 . 22例 3. 解题思路分析： （I ）涉及到a 及S 的递推关系 , 一般都用a =S -S n1（n2）消元化归 . 2S na n1, 4S =a +12 ,4S n1a n11 2（ n2） 4S nS n1=an1 2an112. 4a =a2a212an2 an1,nn整理得：an1ananan12 0,a >0,a nan12, a 为公差为 2 的等差数列在2S nan1中,令n,1a 11,a =2n1（II ）b n2 n12n1121121 11 2nnBn111111a111 21a111111. 2a1a2a2a3anna1n22 an2注：递推是学好数列的重要思想,例此题由4S =a +12 推出4S n1an11 2,它其实就是函数中的变量代换法. 在数列中一般用n,1 n1等去代替 n ,实际上也就是说已知条件中的递推关系是关于 n 的恒等式,代换就是对n 赋值 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载1,nN*,就S2n12na1an77例 4. 分析：利用前奇数项和和与中项的关系令m =2nS偶n1 n33名师归纳总结 2n177,n4,m7,an11,a1am2an22,又a -am=18,n1.第 5 页,共 6 页n133a =20,am=2,d3,a =3n23 .例 5. 解题思路分析： a 为等差数列, b 为等比数列,从求解 b 着手：b 1b 3b2,b31,即b 21.2282b1b2b3117b12或b11818b1b3b22）,两式相减有284bn2 1n1232n或bn14n122n548bn1an,anlog1bn,an2n3,或an2n5.22注：此题化归为b 求解,比较简洁；如用a 求解,就运算量较大. 例 6. （1）证明：由S n14 an2 ,n1 2,易知Sn4an12,nan14a n4a n1,即an12an2an2an1,an122a n2 ,anan12n1 .b n是以a22a1为首项, 2 为公比的等比数列. 由a 1,1S n14an2易得a2,5a22a 13 ,b nan12 an3（2）证明：cna n,cn1cnan1anan1n2an.2n2n12n2113n13由（ 1）知,an12an32n1,就cn1cn322n13.1n4故数列cn是以c 1a 11为首项, 以3 为公差的等差数列 4. 即cnan222n244（3）解：an3n41,an3n12n3n12n2.n24由题意有Sn4 an1243 n1 12n1223n4 2n12 .例 7. 解：（1）f1f 11f1f11,f11.2222224令x1,得f1f 111,nnn2（2）a nf0f1f2fnn1f 1 ,nn- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又anf 1 fnn1f1学习必备,欢迎下载f0n以上两式相加有2a nf0nf1f1fnn1.f1nf0n21,nann41,nN*,又an1ann11所以数列a1n1是等差数列 . 444（3）bn4a414,nn111111n111T n2 b 12 b 22 b n16 12 232n216 1112213n1n16 111 223n=16213216S.即T S n.nn参考答案（一）挑选题1、C 2 、B 3 、D 4 、A 5、D 6、 D 7、D 8 、B （二）填空题9、3 n229n 10、75 11、 216 12、2 （四）解答题 13 、公比为 2,项数为 8 名师归纳总结 14、当1q125时, An>Bn；当q4015,q 1 时, An<Bn；当q125时, An=Bn第 6 页,共 6 页2 15、（1）an=-2m=10；（2）S nnn29 n1n5；（3）m=7 29 nn6- - - - - - -