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点击2010年高考数学中的图象试题湖北省襄樊市第一中学 441000 王 勇（特级教师）图象是表示函数的一种重要形式，其最大优点是直观，给出已知条件要求学生识别图象、根据所给图形要求学生匹配出相应图象、没有图象要求学生数形结合巧妙地利用图象解题等是高考考查的重要内容之一.本文以2010年高考试题为载体，谈图象题的类型及解法.1识图给出解析式，要求学生读懂题意，定性分析函数的性质，如单调性、奇偶性等，结合选择支不难找出正确答案.例1（2010·四川卷） 函数的图象大致是（ ）解析：对数函数的底数大于1，为增函数.又对数函数的图象必过点，故应选C.点评：本题考查了对数函数的图象和基本性质.例2（2010·四川卷） 下列四个图象所表示的函数，在点处连续的是（ ）解析：图在点处无定义；图在点处左右极限不相等；图在点处左右极限相等但不等于其函数值；图在点处连续.故选D.点评：本题主要考查函数连续的三要素，以及考生的识图能力.例3（2010·安徽卷） 设二次函数的图象可能是（ ）解析：对于A项，由图象开口向下知，由对称轴位置知又而由图知；对于项，由图知又而由图知；对于项，由图知又而由图知；对于项，由图知又由图知故选D.点评：本题主要考查二次函数的图象和性质.解题的关键是正确认识与二次函数图象的关系.例4（2010·山东卷） 函数的图象大致是（ ）解析：因为当或4时，所以排除；当时，所以排除故选A.点评：本题考查了函数的图象，载体是二次函数和指数函数，根据两种函数的特点，可以采取特殊值验证法排除.例5（2010·湖南卷） 函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）解析：函数的两个零点是对于，由抛物线知，函数不是增函数，错误；对于由抛物线知且且函数应为增函数，错误；对于由抛物线知满足为减函数.故选D.点评：本题考查函数的图象及识图能力，明确二次函数及对数函数图象与解析式中各字母系数的关系是正确求解的关键.例6（2010·江西卷） 四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数的图象如下：结果发现恰有一位同学作出的图象有错误，那么有错误的图象是（ ）解析：令的周期与的周期在答案的图象中容易识别的图象，如图所示，以点为原点建立平面直角坐标系，当时，此时，的图象对应点应在轴上方，的图象对应点在轴下方，故C答案错误.点评：本题考查三角函数的图象及性质，利用性质识别图象，属难题，把握三角函数的关键点是解题的关键.同时考查学生的思维能力.2译图给出图形，要求考生用另外的图象去“转译”此图形所蕴含的丰富信息.解决这类问题的基本步骤为：确定新图以图达意展现新貌代数意义仔细观察转译含义题示样图例7（2010·重庆卷） 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）A BC D解析：由图象可知又由于的图象过点故选D.点评：本题考查三角函数的图象及性质，准确找出图中的隐含条件是解决此类题的关键，属基础题.例8（2010·天津卷） 如图是函数在区间上的图象.为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（ ）A向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变横坐标缩短为原来的解析：由图象可知中故正数又由时，得所以所以 故选A.纵坐标不变点评：本题考查三角函数的图形和性质、图象的平移和伸缩变换，考查学生的识图、运算能力和转化的思想.例9（2010·新课标全国卷） 如图，质点在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为，角速度为1，那么点到轴距离关于时间的函数图象大致为（ ）解析：本题可采用特值法验证.在点时，点到轴的距离，此时，故排除；易知角速度为1，从转到轴需要的时间为即当时，到轴的距离为0，据此可排除B.故选C.点评：本题考查任意角的三角函数的概念、三角函数的图象，结合物理学的角速度问题，考查学科知识交汇点，解答此题的关键是找到点运动后对应的坐标.例10（2010·江西卷） 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记时刻五角星露出水面部分的图形面积为则导函数的图象大致为（ ）解析：当五角星匀速地升出水面，五角星露出水面的面积单调递增，则导函数的图象要在轴上方，排除；当露出部分到达图中的点到点之间时，增长速度变缓，图象要下降，排除；当露出部分在点上下一瞬间时，突然变大，此时在点处的不存在，排除D，而符合条件，故选A.点评：本题主要考查导数的几何意义，面积的变化率即为，同时考查学生分析、判断问题的能力，属难题.3用图华罗庚指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非”.有些题若能借助图象直观去解，即数形结合，则可收到事半功倍的效果.例11（2010·全国卷I） 已知函数.若且，则的取值范围是（ ）A BC D解析：的图象如图所示.结合图象可知 即得令显然时，在上为增函数，故选C.点评：本题主要考查对数函数的性质及不等式，难度中等，考生在做题时极易忽视的范围，而利用均值不等式从而错选B.例12（2010·江苏卷） 已知函数则满足不等式的的范围是_.解析：作出函数的图象如图所示，由图象可知；综上可知：的范围是点评：本题以分段函数为载体，考查函数的单调性及一元二次不等式的解法，求解的关键在于正确利用函数的图象和性质进行等价转化.例13（2010·湖南卷） 用表示两数中的最小值，若函数的图象关于直线对称，则的值为（ ）A B2 C D1解析：在同一坐标系中，分别作出函数与的图象（如图所示）.由图象知的图象为图中的实线部分由于的图象关于直线对称，于是故选D.点评：本题主要考查含绝对值符号的函数图象的作法以及函数图象的对称问题.求解本题应首先作出的图象（两函数图象中较低的部分），再利用对称性，由中点坐标公式求出值.例14（2010·新课标全国卷） 已知函数若互不相等，且则的取值范围是（ ）A BC D解析：的图象如图所示.互不相等，不妨设由图象可知：又即故选C.点评：本题考查利用图象求解的能力和对数的运算，考查数形结合的思想方法.例15（2010·新课标全国卷） 设函数（1）画出函数的图象；（2）若不等式的解集非空，求的取值范围.解析：（1）由于则函数的图象如图所示.（2）由函数与函数的图象可知，当且仅当或时，函数与函数的图象有交点.故不等式的解集非空时，的取值范围为点评：本题考查绝对值不等式的解法及函数图象，考查数形结合思想、分类讨论思想、转化思想、运算求解能力.属于中等难度题.通信地址：湖北省襄樊市第一中学邮 编：441000移动电话：13507271807E-mail：wy19651965第10页（共9页）