2022年高考复习函数的奇偶性及周期性.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载函数的奇偶性及周期性课前考点引领考点分析 考点新知 函数奇偶性的考查始终是近几年江苏命 明白奇函数、偶函数的定义,并能运用奇偶性题的热点,命题时主要是考查函数的概念、定义判定一些简洁函数的奇偶性 . 图象、性质等 . 把握奇函数与偶函数的图象对称关系,并能熟 能综合运用函数的奇偶性、单调性及周期 练地利用对称性解决函数的综合问题 . 性分析和解决有关问题 明白周期函数的意义, 并能利用函数的周期 性解决一些问题 . 1. 习题改编 函数 fx mx 2 2m 1x1 是偶函数,就实数 m_答案：12解析：由 fx fx ,知 m1 2. 2. 练习改编 函数 fx x 3x 的图象关于 _对称 . 答案：原点解析：由 fx x 3 x x 3x fx ,知 fx 是奇函数,就其图象关于原点对称3. 原创 设函数 fx 是奇函数且周期为3,如 f1 1,就 f2022 _答案： 1 解析：由条件,f2022 f671 ×32f2 f1 f1 1. 4. 练习 对于定义在 R 上的函数 fx ,给出以下说法： 如 fx 是偶函数,就 f 2f2 ； 如 f 2f2,就函数 fx 是偶函数； 如 f2 f2,就函数 fx 不是偶函数；如 f 2 f2 ,就函数 fx 不是奇函数其中,正确的说法是_填序号 答案：故也正确, 如举例奇函数fx x 2,x>0 ,解析：依据偶函数的定义, 正确,而与互为逆否命题,x 2,x<0 ,由于 f 2f2 ,所以都错误5. 练习测试 已知函数fx 是定义在R 上的奇函数,当x>0 时, fx x3x1,就当x<0 时, fx _答案： x3x 1 3x1,由于 fx 是奇函数,所以fx fx ,所以 fx x3x解析：如x<0,就 x>0,f x x1. 1. 奇函数、偶函数的概念一般地,假如对于函数fx 的定义域内任意一个x,都有 fxfx ,那么函数fx 就叫做偶函数一般地,假如对于函数fx 的定义域内任意一个x,都有 fx fx ,那么函数fx 就叫做奇函数2. 判定函数的奇偶性 判定函数的奇偶性,一般都依据定义严格进行,一般步骤是：1 考查定义域是否关于原点对称2 依据定义域考查表达式 f x是否等于 fx 或 fx 如 f x fx ,就 fx 为奇函数如f x fx ,就 fx 为偶函数如 f xfx 且 fx fx ,就 fx 既是奇函数又是偶函数如存在 x 使 f x fx 且 f x fx,就 fx 既不是奇函数又不是偶函数,即非奇非偶函数3. 函数的图象与性质名师归纳总结 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称第 1 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载4. 函数奇偶性和单调性的相关关系 1 留意函数 yfx 与 ykfx 的单调性与 kk 0 有关2 留意函数 yfx 与 y1 的单调性之间的关系f（ x）3 奇函数在 a,b和b, a上有相同的单调性4 偶函数在 a,b和b, a上有相反的单调性5. 函数的周期性设函数 yfx ,xD,假如存在非零常数T,使得对任意xD,都有 fx Tfx ,就称函数fx 为周期函数, T 为函数 fx 的一个周期 D 为定义域 课中技巧点拨题型 1 判定函数的奇偶性例 1 判定以下函数的奇偶性：2x22；3 fx x 11x；4 fx x233x21 fx x31 x；2 fx x11x解： 1 定义域是 ,00, ,关于原点对称,由 2 去掉肯定值符号,依据定义判定fx fx ,所以 fx 是奇函数1x20,1 x1由 得 故 fx 的定义域为 1,00,1,关于原点对称,且有 x 20. |x2|2 0,x 0且 x4.从而有 fx x22 1x21x2x,这时有 fx1（ x）2x1x2x fx ,故 fx 为奇函数3 由于 fx 定义域为 1,1,所以 fx 既不是奇函数也不是偶函数4 由于 fx 定义域为 3,3 ,所以 fx 0,就 fx 既是奇函数也是偶函数备选变式（老师专享）判定以下函数的奇偶性：21 fx x 4x；2 fx x2 x x 0； 3 fx lgx x 21 x x x 0解： 1 定义域为 R,f 10, f12,由于 f 1 f1,f 1 f1 ,所以 fx 既不是奇函数也不是偶函数；2 由于函数 fx 的定义域是 ,00, ,并且当 x0 时, x0,所以 f x x 2x x 2x fxx 0当 x0 时,x0,所以 f x x 2 x x 2x fxx 0故函数 fx 为奇函数3 由 xx21>0,得 xR,由 f x fx lgxx21lgx x21lg10,所以 fx fx ,所以 fx 为奇函数题型 2 函数奇偶性的应用例 2 1 设 aR,fx a·2xa22x1 xR,试确定 a 的值,使 fx 为奇函数；2 设函数 fx 是定义在 1,1上的偶函数,在 0,1上是增函数,如 fa2f4 a 2<0,求实数 a 的取值范畴名师归纳总结 解： 1 要使 fx 为奇函数,xR,需 fx f x 0.fx a2,第 2 页,共 5 页2x1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载a1. f xa2a2x1 2x1.由 a2 2x1 a2x10,得 2a2（2x1）0,2x12 由 fx 的定义域是 1,1 ,知 1<a2<1,解得3<a<5. 1<4a2<1,由 fa 2f4 a2<0,得 fa2<f4 a2由于函数fx 是偶函数,所以f|a2|<f|4 a2|由于 fx 在0,1上是增函数,所以|a2|<|4 a2|,解得 a<3 或 a> 1 且 a 2.综上,实数a 的取值范畴是3<a<5且 a 2.变式训练1 已知函数 fx x22x x00是奇函数,求a b 的值；f1mf1m2<0,求实数 m 的axbx x2 已知奇函数fx 的定义域为 2,2,且在区间 2,0内递减,如取值范畴解： 1 当 x>0 时, x<0,由题意得fx fx ,所以 x2x ax2bx. 从而 a 1,b1,所以 ab0. 2 由 fx 的定义域是 2,2 ,知21 m2,解得 1m 3. 2. 21 m22,由于函数fx 是奇函数,所以f1m<f1 m 2,即 f1m<fm21由奇函数fx 在区间 2,0内递减,所以在2,2上是递减函数,所以 1m>m21,解得 2<m<1. 综上,实数m 的取值范畴是1m<1.题型 3函数奇偶性与周期性的综合应用例 3 设 fx 是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数x,恒有 fx 2 fx ,当 x0,2时,fx 2xx1 求证： fx 是周期函数；2 当 x2,4时,求 fx 的解析式；3 运算 f0 f1 f2 f2022 的值1 证明：由于 fx 2 fx ,所以 fx 4 fx 2fx ,所以 fx 是周期为 4 的周期函数2 解：由于 x2,4,所以 x 4, 2,4x0, 2,26x8. 所以 f4 x24 x 4x 2 x 又 f4 x f x fx ,所以 fx x 26x8,即 fx x 26x8,x2, 43 解：由于 f0 0,f1 1, f20,f3 1,又 fx 是周期为 4 的周期函数,所以 f0 f1 f2 f3 f4 f5f6 f7 0,所以 f0 f1 f2 f2 015 f0 f1 f2+f3 0. 备选变式（老师专享）已知定义在R 上的函数 fx 对任意实数x、y 恒有 fx fy fx y,且当 x0 时, fx 0,又 f1 2 3. 1 求证： fx 为奇函数；2 求证： fx 在 R 上是减函数；3 求 fx 在3,6上的最大值与最小值1 证明：令 xy0,可得 f0 f0 f00,从而 f0 0.令 y x,可得 fx f xfx x0,即 f x fx ,故 fx 为奇函数2 证明：设 x 1、x2R,且 x1x2,就 x1 x20,于是 fx1 x20.从而 fx 1fx 2fx 1x2x2fx 2 f x 1x 2fx 2fx 2f x 1x 20.所以 fx 为减函数3 解：由2知,所求函数的最大值为f3,最小值为 f6f3 f3 f2 f1 2f1 f1名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载 3f12,f6 f 6 f 3f 3 4.于是 fx 在 3,6上的最大值为 2,最小值为 4. 新题举荐1. 2022 ·苏州期初 已知 fx 是定义在 R 上的奇函数,且 f7 _答案： 3 fx 4fx 当 x0,2时, fx x4,就解析： f7 f3 4 f3 f3 4f1 f1 3. 2. 2022江苏 已知 fx 是定义在 R 上的奇函数 当 x>0 时,fx x24x,就不等式fx>x 的解集用区间表示为 _答案： 5,0 5, 解析：作出 fx x 24xx>0 的图象,如下列图由于 fx 是定义在 R 上的奇函数,利用奇函数图象关于原点对称,作出 x<0 的图象不等式 fx>x 表示函数 yfx 的图象在 y x 的上方,观看图象易得,原不等式的解集为 5,05, 3. 2022天津 已知函数 fx 是定义在 R 上的偶函数,且在区间0, 内单调递增如实数a 满意 flog 2aflog 1a 2f1,就 a 的取值范畴是 _答案：1 2,2flog 2a f12解析：由于flog 1 a flog 2aflog 2a,所以原不等式可化为2又 fx 在区间 0, 上单调递增,所以 |log2a| 1,解得1 2 a 2.4. 2022 盐城二模 设函数 yfx 满意对任意的 xR,fx0 且 f 2x1f 2x 9.已知当 x0,1时,有fx 2|4x2|,就 f 2 013 6_答案：5 解析：由题知 f 1 22,由于 fx 0且 f 2x1f 2x 9,故 f 325,f 5 22,f 7 25,如此循环得f 6712f 4×168125,即 f 2 013 65. log 1 x , x 01. 定义在 R 上的函数 fx 满意 fx ,就 f2 015 _答案： 1 f x 1 f x 2解析： 由已知得 f 1log221,f0 0,f1 f0 f 1 1,f2f1 f0 1,f3 f2 f1名师归纳总结 - - - - - - - 110,f4 f3 f2 011,f5 f4 f3 1,f6 f5 f4 0,所以函数fx的值以 6 为周期重复性显现,所以f2 015 f5 1. 2. 已知 fx 是 R 上最小正周期为2 的周期函数,且当0x 2 时, fx x3x,就函数yfx 的图象在区间0,6上与 x 轴的交点个数为_答案： 7 解析：由条件,当0x2 时,fx xx 1x1 ,即当 0x2 时,fx 0 有两个根 0,1,又由周期性,当 2x<4时, fx 0 有两个根 2,3,当 4x<6时, fx 0 有两个根4,5,而 6 也是 fx 0 的根,故yfx 的图象在区间 0,6上与 x 轴的交点个数为7. 3. 设函数 fx 是定义在 R 上的奇函数, 且当 x0时,fx x2,如对任意的xt,t2,不等式 fx t 2fx第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载fx t 2fxf2x,易知 fx 在 R 上是恒成立,就实数t 的取值范畴是 _答案： 2, 解析：当 x0时, fx x2且 fx 是定义在 R 上的奇函数,又增函数, xt 2x, t 21x. xt, t2, t 21t 2, t 2. 4. 已知 fx 是偶函数, 且 fx 在0 ,上是增函数, 如 x求实数 a 的取值范畴1 2, 1 时,不等式 f1 xlog 2a fx2恒成立,解： fx 是偶函数,当x1 2,1 时,不等式f1 xlog 2a fx2等价于 f|1xlog 2a| f2x又 fx 在0, 上是增函数, |1xlog 2a| 2x, x21xlog 2a2x, 13 x log2a1 x1,上述不等式在 x1 2,1 上恒成立,13x max log2a1x1 min,2log2a0,解得1 4 a 1.1. 函数奇偶性的判定,本质是判定 fx 与 f x 是否具有等量关系,前提是定义域关于原点对称,运算中,也可以转化为判定奇偶性的等价关系式fx f x0 或 fx f x 0是否成立2. 如 fx 是偶函数,就 fxfx f|x|3. 奇偶函数的不等式求解时,要留意到： 奇函数在对称的区间上有相同的单调性,偶函数在对称的区间上 有相反的单调性备课札记 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页