2022年抛物线知识点归纳总结与习题3.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 抛物线总结抛l y2F 2pxF y22pxx22pyx22pyp0 p0 x p0 p0 y y y y l l x 物O F 线x O O x F O l 定义范畴对称性焦点平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点 F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线；MMF=点 M到直线 l 的距离 x0,yRx0,yRxR y0xR y0关于 x 轴对称关于 y 轴对称p ,0 2p ,0 20,p 20,p 2焦点在对称轴上名师归纳总结 顶点xx 1ppO0,0AFypp第 1 页,共 12 页离心率e=1 准线xpyp2222方程准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等；顶点到准AFpy 1线的距离2焦点到准p线的距离焦半径AFx 1pAFy 1pA x 1,y 12222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 焦 点弦长x 1x 2px 1x 2py 1y 2py 1y 2pAByA x y 1 1oFx B x 2,y 2焦点弦AB 的几条性质如 AB 的倾斜角为以 AB 为直径的圆必与准线l 相切,就ABp y2pA x 1,y 1,就AB2p如 AB 的倾斜角为B x 2,y 2sin2cos2切线y yp xx0x x 2p2y y 22 px xy0411AFBFAB2AFBFAFBFAFBFpy yp xx0x xp yy 0方程1. 直线与抛物线的位置关系直线,抛物线,消 y 得：（1）当 k=0 时,直线 l 与抛物线的对称轴平行,有一个交点；（2）当 k 0 时, 0,直线 l 与抛物线相交,两个不同交点； =0, 直线 l 与抛物线相切,一个切点； 0,直线 l 与抛物线相离,无公共点；（3）如直线与抛物线只有一个公共点, 就直线与抛物线必相切吗 .（不肯定）名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线 l ：ykxb抛物线2b 20x 2,p0x2,x 1x2,仍可进一步求出联立方程法：y2kxbk2x 22 kbp xy2px0 , 以及x 1,就有设交点坐标为A x 1y 1,Bx2yy 1y2kx 1bkx 2bkx 1x22 bb2,y 1y 2kx 1b kx 2b k2x 1x 2kb x 1在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如a.相交弦 AB的弦长1k2x 1x 224x 1x 21k22aaAB1k2x 1x2或AB11y 1y211y 1y 224y 1y 21kk2k2b. 中点Mx 0y 0, x0x 12x 2,y0y 12y2点差法：,Bx2y 2,代入抛物线方程,得设交点坐标为A x 1y 1y 122px 1y 222 px 2将两式相减,可得名师归纳总结 a.y 1y2y 1y22p x 1x2AB 的 中 点 为Mx 0y0,第 3 页,共 12 页y 1y22px 1x2y 1y2在涉及斜率问题时,kABy2p21yb.在 涉 及 中 点 轨 迹 问 题 时 , 设 线 段y1y22p22pp,x 1x2y 1y2y0y 0即k ABp,y0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 同理,对于抛物线2 x2py p0 ,如直线 l 与抛物线相交于A、B两点,点Mx 0y 0是弦 AB 的中点,就有kABx 1x22x 0x02）直线的斜2pp2p（留意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点,率存在,且不等于零）一、抛物线的定义及其应用例 1、设 P是抛物线 y24x 上的一个动点1 求点 P到点 A 1,1 的距离与点 P到直线 x1 的距离之和的最小值；2 如 B3,2 ,求 | PB| | PF| 的最小值例 2、2022· 山东高考 设 M x0,y0 为抛物线 C：x28y 上一 点,F 为抛物线C的焦点,以 F 为圆心、 | FM| 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,就 y0 的取值范畴是 A 0,2 B0,2 C2 , D2 , 二、抛物线的标准方程和几何性质例 3、抛物线 y 22px p>0的焦点为 F,准线为 l ,经过 F 的直线与抛物线交于 A、B两点,交准线于 C点,点 A 在 x 轴上方, AKl ,垂足为 K,如 | BC| 2| BF| ,且| AF| 4,就 AKF的面积是 A4 B3 3 C4 3 D8 例 4、过抛物线 y 22px p>0的焦点 F 的直线交抛物线于点 A、B,交其准线 l于点 C,如 | BC| 2| BF| ,且 | AF| 3 就此抛物线的方程为 Ay 23 2x By 29x Cy 29 2x Dy 23x三、抛物线的综合问题例 5、2022· 江西高考 已知过抛物线 y22px p>0的焦点,斜率为 22的直线交抛物线于A x1,y1 ,B x2,y2 x1<x2 两点,且 | AB| 9. 1 求该抛物线的方程；2 O为坐标原点, C为抛物线上一点,如 OC OA OB ,求 的值名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 6、2022· 湖南高考 13 分 已知平面内一动点 到 y 轴的距离的差等于 1. 1 求动点 P 的轨迹 C的方程；P 到点 F1,0 的距离与点 P2 过点 F 作两条斜率存在且相互垂直的直线 l 1,l 2,设 l 1 与轨迹 C相交于点 A,B,l 2与轨迹 C相交于点 D,E,求 AD· EB 的最小值例 7、已知点 M1 ,y 在抛物线 C：y22px p>0上,M点到抛物线 C的焦点 F 的距离为 2,直线 l ：y1 2xb 与抛物线 C交于 A,B两点1 求抛物线 C的方程；2 如以 AB为直径的圆与 x 轴相切,求该圆的方程名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 练习题1已知抛物线 x 2ay 的焦点恰好为双曲线 y 2x 22 的上焦点,就 a 等于 A1 B4 C8 D16 2抛物线 y 4x 2上的一点 M到焦点的距离为 1,就点 M的纵坐标是 A17 16 B15 16 C. 16 7 D.15 1632022· 辽宁高考 已知 F 是拋物线 y2x 的焦点, A,B是该拋物线上的两点,| AF| | BF| 3,就线段 AB的中点到 y 轴的距离为 A. 34 B1 C. 54 D.7 44已知抛物线 y 22px,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是 A相离 B相交 C相切 D不确定52022· 宜宾检测 已知 F 为抛物线 y28x 的焦点,过 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于A 、B两点,就| FA| FB|的值等于 A42 B8C 82 D16 6在 y2x 2 上有一点 P,它到 A1,3 的距离与它到焦点的距离之和最小,就点P的坐标是 A 2,1 B1,2 C2,1 D 1,2 7设抛物线 y 28x 的焦点为 F,准线为 l ,P 为抛物线上一点, PAl ,A 为垂足假如直线 AF的斜率为3,那么 | PF| A4 3 B8 C8 3 D16 82022· 陕西高考 设抛物线的顶点在原点,准线方程为 方程是 x2,就抛物线的 A y2 8x By28x Cy2 4x Dy24x92022 · 永州模拟 以抛物线 x 216y 的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为 _10已知抛物线的顶点在原点,对称轴为y 轴,抛物线上一点Q 3,m 到焦点的距离是 5,就抛物线的方程为 _名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 11已知抛物线y 24x 与直线 2xy40 相交于 A、B两点,抛物线的焦点为F,那么 |FA | |FB | _. 12过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于 如 x1x26,那么 | AB| 等于 _ 13依据以下条件求抛物线的标准方程：A x1,y1 ,B x2, y 2 两点,1 抛物线的焦点是双曲线 16 x29y2144 的左顶点；2 过点 P2 , 4 14已知点 A 1,0 ,B1 , 1 ,抛物线C：y 24x,O 为坐标原点,过点A的动直线 l 交抛物线 C于 M,P 两点,直线 MB交抛物线 C于另一点 Q. 如向量 OM名师归纳总结 与 OP 的夹角为 4,求 POM的面积第 7 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 一、抛物线的定义及其应用例 1、1 如图,易知抛物线的焦点为F1,0 ,准线是 x 1. 由抛物线的定义知：点 P 到直线 x1 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离于是,问题转化为：在曲线上求一点P,使点 P 到点 A 1,1 的距离与点 P 到F1,0 的距离之和最小 明显,连结 AF交曲线于 P 点,就所求的最小值为 | AF| ,即为 5. 2 如图,自点 B 作 BQ垂直准线于 Q,交抛物线于点P1,就 | P1Q| | P1F|. 就有| PB| | PF| | P1B| | P1Q| | BQ| 4. 即| PB| | PF| 的最小值为 4. 例 2、解析：圆心到抛物线准线的距离为p,即 p4,依据已知只要 | FM|>4 即可依据抛物线定 | FM| y02 由 y02>4,解得 y0>2,故 y0 的取值范畴是 2 , 二、抛物线的标准方程和几何性质 例 3、设点 A x1,y1 ,其中 y1>0. 由点 B作抛物线的准线的垂线,垂足为 B1. 就有 2,| BF| | BB1| ；又 | CB| 2| FB| ,因此有 | CB| 2| BB1| ,cosCBB 1| BB1| | BC|1 CBB 1 3 . 即直线 AB 与 x 轴的夹角为 3 . 又 | AF| | AK| x1p 24,因此 y14sin 32 3,因此 AKF的面积等于 1 2| AK| ·y11 2× 4× 2 34 3. 例 4分别过点 A、B作 AA1、BB1垂直于 l ,且垂足分别为 A1、B1,由已知条件 | BC|2| BF| 得| BC| 2| BB1| ,BCB 130° ,又 | AA1| | AF| 3,| AC| 2| AA1| 6,| CF| | AC| | AF| 633,F 为线段 AC的中点 故点F到准线的距离为p1 2| AA1| 3 2,故抛物线的方程为y23x. 三、抛物线的综合问题例 5、1 直线 AB的方程是 y22 xp 2 ,与 y 22px 联立,从而有4x25pxp 20,所以： x1x25p 4,由抛物线定义得： | AB| x1x2p9,所以 p4,从而抛物线方程是y28x. 2 由 p4,4 x 25pxp 20 可简化为 x25x40,从而 x11,x24,y1名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 22,y242,从而 A1 ,22 ,B4,42 ；设 OC x3,y3 1 ,2 2 4,4 2 4 1,4 2 2 2 又 y 38x3,即2 22 1 284 1 即2 1 24 1. 解得 0,或 2. 例 6、 1 设动点 P 的坐标为 x,y ,由题意有 x1 2y 2| x| 1. 化简得y 22x2| x|. 当x0 时,y24x；当x<0 时,y0. 所以,动点 P 的轨迹 C的方程为 y24x x0 和 y0 x<02 由题意知,直线 l 1 的斜率存在且不为 0,设为 k,就 l 1 的方程为 yk xyk x11 由 y 24x,得 k 2x 22 k 24 xk 20. 7 分 设 A x1,y1 ,B x2,y2 ,就 x1,x2是上述方程的两个实根,于是 x1x224 k 2,x1x21. 8 分 由于 l1l2,所以 l2的斜率为1 k. x3x424k 2,x3x41. 设 D x3,y3 ,E x4,y4 ,就同理可得 x11 x21 x31 · x41 x1x2 x1x2 1x3x4 x3x4 1 11分 1 k 216. 12 4 k 2 112 4k2 184 k 21 k 2 84× 2k2·当且仅当k21 k 2,即 k± 1 时, AD· EB 取最小值 16. 例 7 、1 抛物线 y 22px p>0的准线为 xp 2,由抛物线定义和已知条件可知| MF| 1 p 2 1p 22,解得 p2, 故所求抛物线 C的方程为 y24x. 2 联立y1 2xb,消去 x 并化简整理得 y28y8b0. y24x依题意应有 6432b>0,解得 b>2. 设 A x1,y1 ,B x2,y2 ,就 y1y2名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 8,y1y2 8b,设圆心 Q x0,y0 ,就应用 x0x1x2,y02y1y24. 2由于以 AB为直径的圆与 x 轴相切,所以圆的半径为r | y0| 4. 216. 又| AB| x1x22y1y2214y1y225y1y224y1y2 56432b所以 | AB| 2r 56432b8,解得 b8 5. 所以 x1x22b2y12b2y24b1648 5,就圆心 Q的坐标为 24 5,4 故所求圆的方程为 x24 5 2 y4练习题：a1解析 ：依据抛物线方程可得其焦点坐标为 0 ,4 ,双曲线的上焦点为 0,2 ,a依题意就有 42 解得 a8. 2解析 ：抛物线方程可化为 x 2y4,其准线方程为 y1 16. 设 M x0,y0 ,就由抛物线的定义,可知 16y01. y0 15 16. 3解析 ：依据拋物线定义与梯形中位线定理,得线段2| AF| | BF| 1 43 21 45 4. AB中点到 y 轴的距离为：名师归纳总结 4解析 ：设抛物线焦点弦为AB,中点为 M,准线 l ,A1、B1分别为 A、B 在直线第 10 页,共 12 页l 上的射影,就| AA1| | AF| ,| BB1| | BF| ,于是 M到 l 的距离 d1 2| AA1| | BB1|1 2| AF| | BF| 1 2| AB| 半径,故相切5解析 ：依题意 F2,0 ,所以直线方程为yx2 由yx2,消去 yy 28x得 x212x40. 设 A x1,y1 ,B x2,y2 ,就| FA| | FB| | x12 x22| | x1x2| x1x224x1x2144168 2. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6解析 ：如下列图,直线l 为抛物线 y2x2的准线, F 为其焦点, PNl , AN1l ,由抛物线的定义知,| PF| | AP| | PN| | AN1| ,当且仅当| PF| | PN| , | AP| A、P、N 三点共线时取等号 P点的横坐标与 A点的横坐标相同即为 1,就可排除 A、C、D.答案： B 7解析 ：设抛物线 y 28x 的焦点为 F,准线为 l ,P 为抛物线上一点, PAl ,A为垂足假如直线AF的斜率为3,那么 | PF| A43 B8 C83 D16 8解析 ：由准线方程x2,可知抛物线为焦点在 程,同时得 p4,所以标准方程为 y 22px8xx 轴正 ,半轴上的标准方9解析 ：抛物线的焦点为 F0,4 ,准线为 y 4,就圆心为 0,4 ,半径 r 8. 所以,圆的方程为 x 2 y4 264. a10解析 ：设抛物线方程为 x 2ay a 0 ,就准线为 y4. Q 3,m 在抛a物线上, 9am. 而点 Q 到焦点的距离等于点 Q 到准线的距离, | m 4|5. 将 m9 a代入,得 | 9 aa 4| 5,解得, a± 2,或 a± 18,所求抛物线的方程为 x 2± 2y,或 x 2± 18y. y 24x11解析 ：由,消去 y,得 x 25x40* ,方程 * 的两根2xy40为 A、B 两点的横坐标,故 x1x25,由于抛物线 y 24x 的焦点为 F1,0 ,所以| FA | | FB | x11 x21 7 12解析：因线段 AB过焦点 F,就| AB| | AF| | BF|. 又由抛物线的定义知 | AF|x11,| BF| x21,故 | AB| x1x228. 13解析：双曲线方程化为2 x92 y161,左顶点为 3,0 ,由题意设抛物线方程为名师归纳总结 y2 2px p>0,就p 23, p6,抛物线方程为y2 12x. 2 y第 11 页,共 12 页2 由于 P2 , 4 在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴,可设抛物线方程为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - mx或x 2ny,代入 P点坐标求得 m8,n 1,所求抛物线方程为 y 28x 或 x 2 y. 2 2y 1 y 214解：设点M 4,y1 ,P 4,y2 ,P,M,A三点共线,kAMkPM,名师归纳总结 即y1 y 2 141y1y2y 21 y 22,即44yy1 141 y1y2, y1y24. 第 12 页,共 12 页 OM ·OP 2 y 14·2 y 24y1y25. 向量OM 与 OP 的夹角为 4,| OM | ·| OP | ·cos 45. S POM1 2| OM | ·| OP | ·sin 45 2. - - - - - - -