2022年数学第四章知识点+单元测试.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高中数学必修 2 圆与方程学问点总结 +习题（含答案）4.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程：xa2yb2r2圆心为 Aa,b, 半径为 r 的圆的方程2、点Mx 0,y 0与圆xa 2yb 2Fr2的关系的判定方法：b2=2r,点在圆上（ 1）x0a 2y0b2>r2,点在圆外（2）x0a2y 0（ 3）x0a 2y0b2<0r2,点在圆内4.1.2 圆的一般方程y2DxEy1、圆的一般方程：x22、圆的一般方程的特点：1 x2 和 y2 的系数相同,不等于 0没有 xy 这样的二次项 2 圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了3 、与圆的标准方程相比较,它是一种特别的二元二次方程,代数特点明显,圆的标准方程就指出了圆心坐标与半径大小,几何特点较明显；4.2.1 圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判定直线与圆的位置关系设直线 l ：axbyc0,圆 C ：x2y2DxEyF0,圆的半径为 r ,圆心D,E22到直线的距离为d,就判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（ 1）当dr时,直线 l 与圆 C 相离；（ 2）当dr时,直线 l 与圆 C 相切；（ 3）当dr时,直线 l 与圆 C 相交；4.2.2 圆与圆的位置关系两圆的位置关系名师归纳总结 设两圆的连心线长为l,就判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：C 与圆C2外切；第 1 页,共 9 页（ 1）当lr 1r2时,圆C 与圆C 相离；（ 2）当lr 1r2时,圆（ 3）当|r 1r2|lr1r2时,圆C 与圆 1C 相交；2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ 4）当l|r 1r2|时,圆C 与圆 1学习必备欢迎下载1r2|时,圆C 与圆 1C2内含；C 内切；（ 5）当l|r4.2.3 直线与圆的方程的应用 1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为 代数问题；其次步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“ 翻译” 成几何结论RMM'Qy4.3.1 空间直角坐标系O1、点 M 对应着唯独确定的有序实数组x,y ,z , x 、 y 、 z 分别是 P、Q、R 在 x 、 y 、Pz 轴上的坐标x2、有序实数组x,y,z ,对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组x ,y ,z来表示,该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标, 记 Mx ,y,z,x 叫做点 M 的横坐标, y 叫做点 M 的纵坐标, z 叫做点 M 的竖坐标；z4.3.2 空间两点间的距离公式1、空间中任意一点P 1x 1,y1,z 1到点P 2x2,y2,z2之间的距离公式z 22N1OMP1M2P2N2yP 1P 2x 1x22y 1y22z 1HM1Nx名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第四章测试时间： 120 分钟 总分： 150 分 一、挑选题 本大题共 12 小题,每道题 只有哪一项符合题目要求的 5 分,共 60 分在每道题给出的四个选项中,1已知两圆的方程是x 2 y 2 1 和 x 2y26x8y 90,那么这两个圆的位置关系是 A相离B相交C外切D内切2过点 2,1的直线中,被圆x2y22x4y0 截得的最长弦所在的直线方程为A 3xy50 B3xy70 Cx3y50 Dx 3y1 0 3如直线 1axy10 与圆 x2y22x 0 相切,就 a 的值为 A 1, 1 B2, 2 C1 D 1 4经过圆 x2y210 上一点 M2,6的切线方程是 A x6y10 0 B.6x2y10 0 Cx6y100 D2x6y10 0 5点 M 3, 3,1关于 xOz 平面的对称点是 A 3,3, 1 B3, 3, 1 C3, 3, 1 D3,3,1 6如点 A 是点 B1,2,3关于 x 轴对称的点,点 就|AC| C 是点 D2, 2,5关于 y 轴对称的点,名师归纳总结 A 5 B.13 C10 D.10 第 3 页,共 9 页7如直线 y kx1 与圆 x2y21 相交于 P、Q 两点,且 POQ120°其中 O 为坐标原点 ,就 k 的值为 A.3 B.2 C.3或3 D.2和2 8与圆 O1：x2y24x4y70 和圆 O2：x2y24x 10y13 0 都相切的直线条数是 A 4 B3 C2 D1 9直线 l 将圆 x2y22x 4y0 平分,且与直线 x2y0 垂直,就直线 l 的方程是 A 2xy0 B2xy20 Cx2y30 Dx 2y3 0 10圆 x2y24m2x2my4m 24m10 的圆心在直线xy40 上,那么圆的面积为 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A.9 B.学习必备欢迎下载C2 D由 m 的值而定11当点 P 在圆 x 2y 21 上变动时,它与定点 Q3,0的连结线段 PQ 的中点的轨迹方程是 A x 3 2y 24 Bx3 2y 21 C2x3 2 4y 21 D2x 3 24y 2 1 12曲线 y 14x 2与直线 ykx24 有两个交点, 就实数 k 的取值范畴是 5 5A 0,12 B 12, C 3, 3 4 D 12, 3 4 二、填空题 本大题共 4 小题,每道题 5 分,满分 20 分,把答案填在题中横线上 13圆 x 2y 21 上的点到直线 3x 4y250 的距离最小值为 _14圆心为 1,1且与直线 xy4 相切的圆的方程是 _15方程 x 2 y 2 2ax2ay0 表示的圆,关于直线 yx 对称；关于直线 xy0对称；其圆心在 x 轴上,且过原点；其圆心在 y 轴上,且过原点,其中表达正确选项_16直线 x2y0 被曲线 x 2y 26x2y150 所截得的弦长等于 _三、解答题 本大题共 6 小题,共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 1710 分自 A4,0引圆 x 2y 24 的割线 ABC,求弦 BC 中点 P 的轨迹方程1812 分已知圆 M：x 2y 22mx4ym 210 与圆 N：x 2y 22x2y20 相交于 A,B 两点,且这两点平分圆 N 的圆周,求圆 M 的圆心坐标1912 分已知圆 C1：x 2y 23x3y 30,圆 C2：x 2y 22x2y0,求两圆的公共弦所在的直线方程及弦长2012 分已知圆 C：x 2y 22x4y30,从圆 C 外一点 P 向圆引一条切线,切点为 M,O 为坐标原点,且有|PM |PO|,求 |PM |的最小值2112 分已知 C： x 3 2y4 21,点 A1,0,B1,0,点 P 是圆上动点,求d|PA| 2|PB| 2 的最大、最小值及对应的 P 点坐标2212 分已知曲线 C：x 2y 22kx4k10y 10k200,其中 k 1. 1求证：曲线 C 表示圆,并且这些圆心都在同一条直线上；2证明曲线 C 过定点；3如曲线 C 与 x 轴相切,求 k 的值1 解析： 将圆 x 2y 26x8y90,名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 化为标准方程得x 32y4学习必备欢迎下载216. 两圆的圆心距0 32 0425,又 r1r25,两圆外切 答案： C 2 解析： 依题意知,所求直线通过圆心1, 2,由直线的两点式方程得y2x 1,即2 1123x y50.答案： A 2|3 解析： 圆 x2y22x0 的圆心 C1,0,半径为 1,依题意得|1a01|1,即 |a1a 21a121,平方整理得a 1.答案： D 4 解析： 点 M2,6在圆 x 2y 210 上, kOM6 2,过点 M 的切线的斜率为k6 3,故切线方程为y66 3 x 2,即 2x6y10 0. 答案： D 5 解析： 点 M3, 3,1关于 xOz 平面的对称点是3,3,1答案： D 6 解析： 依题意得点A1, 2, 3,C2, 2, 5|AC|212 222 53213.答案： B 7 解析： 由题意知,圆心O0,0到直线 y kx1 的距离为1 2,121 2,k±3.答案： C 1k8 解析： 两圆的方程配方得,O1：x 22y221,O2：x22 y5216,圆心 O12,2,O22,5,半径 r11,r24,|O1O2|222 5225,r1r2 5. |O1O2|r1r2,两圆外切,故有3 条公切线 答案： B 9 解析： 依题意知,直线 l 过圆心 1,2,斜率 k2,l 的方程为 y22x1,即 2xy 0.答案： A 10 解析： x 2y 24m 2x2my4m 24m1 0,x2m1 2 ym 2m 2. 圆心 2m1,m,半径 r|m|. 依题意知 2m1m40,m1. 圆的面积S× 12 .答案： B 11 解析： 设 Px1,y1,Q3,0,设线段 PQ 中点 M 的坐标为 x, y,名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载就 xx132,yy1 2,x12x 3,y12y. 又点 Px1,y1在圆 x 2y 21 上,2x3 24y 21. 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 2x3 24y 21.答案： C 212 解析： 如下列图,曲线 y14x变形为 x 2y1 24y1,直线 ykx24 过定点 2,4,当直线 l 与半圆相切时,有|2k41|k 212,解得 k5 12. 当直线 l 过点 2,1时, k3 4. 因此, k 的取值范畴是 12<k5 34.答案： D 13 解析： 圆心 0,0到直线 3x4y250 的距离为 5,所求的最小值为 4. 14 解析： r|114|2,所以圆的方程为 x1 2y1 22. 215 解析： 已知方程配方得,x a 2ya 2 2a 2a 0,圆心坐标为 a,a,它在直线 xy0 上, 已知圆关于直线xy0 对称故 正确16 解析： 由 x 2y 26x2y150,得x3 2y1 225. 圆心 3,1到直线 x2y0 的距离 d|32× 1|55.在弦心距、半径、半弦长组成的直角三角形中,由勾股定理得,弦长2×25 54 5. 17 解：解法 1：连接 OP,就 OP BC,设 Px,y,当 x 0 时,kOP·kAP 1,即y x·x4 y 1,即 x2y24x0当 x0 时, P 点坐标为 0,0是方程的解,名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - BC 中点 P 的轨迹方程为x学习必备欢迎下载2y24x 0在已知圆内 解法 2：由解法 1 知 OPAP,取 OA 中点 M,就 M2,0,|PM |1 2|OA|2,由圆的定义知, P 点轨迹方程是以 M2,0为圆心, 2 为半径的圆故所求的轨迹方程为 x2 2y 24在已知圆内 18 解： 由圆 M 与圆 N 的方程易知两圆的圆心分别为 两圆的方程相减得直线 AB 的方程为2m1x2ym 210. A, B 两点平分圆 N 的圆周,AB 为圆 N 的直径, AB 过点 N1, 1,2m 1× 12× 1m 210,解得 m 1. 故圆 M 的圆心 M 1, 2M m, 2,N1, 119 解： 设两圆的交点为Ax1, y1, Bx2, y2,就A、 B 两点的坐标是方程组x 2y 23x3y30的解,两方程相减得：x y30,x 2y 22x2y0A、 B 两点的坐标都满意该方程,xy30 为所求将圆 C2 的方程化为标准形式,名师归纳总结 x 12y12 2,2|PC| 2第 7 页,共 9 页圆心 C21,1,半径 r 2. 圆心 C2 到直线 AB 的距离 d|113|1,2 2|AB| 2r2d2221 26. 即两圆的公共弦长为6. 20 解：如图：PM 为圆 C 的切线, 就 CM PM, PMC 为直角三角形, |PM|MC|2. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设 Px,y,C1,2,|MC |学习必备欢迎下载2. |PM | |PO |,x 2y 2x1 2y2 22,化简得点 P 的轨迹方程为：2x4y30. 求|PM |的最小值,即求 |PO|的最小值,即求原点 O 到直线 2x4y30 的距离,代入点到直线的距离公式可求得 |PM |最小值为3 5 10 . 21 解： 设点 P 的坐标为 x0,y0,就dx01 2y0 2 x 01 2 y0 22x0 2y0 22. 欲求 d 的最大、最小值,只需求 ux0 2y0 2 的最大、最小值,即求C 上的点到原点距离的平方的最大、最小值作直线 OC,设其交 C 于 P1x1, y1,P2x2,y2,如下列图就 u 最小值|OP1| 2|OC|P1C|251216. 此时,x1 3y1 44 5,x112 5,y116 5 . 2d 的最小值为34,对应点 P1 的坐标为12 5,16 5 . 同理可得 d 的最大值为74,对应点 P2 的坐标为18 5,24 5 . 22 解： 1 证明： 原方程可化为 xk2y2k525k1k 1,5k12>0. 故方程表示圆心为k, 2k5,半径为5|k1|的圆设圆心的坐标为x, y,就x k,y 2k5,消去 k,得 2x y50. 这些圆的圆心都在直线 2xy50 上2证明： 将原方程变形为2x4y10 k x 2y210y20 0,名师归纳总结 上式对于任意k 1 恒成立,第 8 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2x4y100,学习必备欢迎下载x2y210y200.解得x1,y 3.曲线 C 过定点 1, 33圆 C 与 x 轴相切,圆心 k, 2k5到 x 轴的距离等于半径,即|2k5|5|k 1|. 两边平方,得 2k52 5k12,k5±3 5. 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页