2022年线性代数同济大学第四版习题答案.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 第六章 线性空间与线性变换1验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间并写出各个空间的一个基1 2 阶矩阵的全体 S1解 设 A B 分别为二阶矩阵 就 A B S1 由于A B S1 kA S1所以 S1 对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间11 00 020 01 030 10 040 00 1是 S1 的一个基 . 2主对角线上的元素之和等于0 的 2 阶矩阵的全体S2解设Aa cb aBd fe dA B S2由于AB acd ac ab dS 2kAka kckb kaS 2所以 S2 对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间11 00 120 01 030 10 0是 S2 的一个基3 2 阶对称矩阵的全体S3. . 0 11 030 00 1解设 A B S3 就 A T A B T B 由于A B T A T B T A B A B S3kA T kA T kA kA S3所以 S3 对于加法和乘数运算构成线性空间11 00 02是 S3 的一个基 . 名师归纳总结 2验证与向量 00 1T 不平行的全体3 维数组向量对于数组向量的加法和乘数运第 1 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 算不构成线性空间解 设 V 与向量 0 0 1 T 不平行的全体三维向量 设 r1 1 1 0 T r2 1 0 1 T 就Tr 1 r 2 V 但 r1 r 2 0 0 1 V 即 V 不是线性空间 . 3 设 U 是线性空间 V 的一个子空间 试证 如 U 与 V 的维数相等 就 U V证明 设 1 2 n为 U 的一组基 它可扩充为整个空间 V 的一个基 由于dim U dim V 从而 1 2 n也为 V 的一个基 就 对于 x V 可以表示为 x k1 1 k2 2kr r 明显 x U 故 V U 而由已知知 U V 有 U V4 设 Vr 是 n 维线性空间 Vn 的一个子空间 a1 a2 ar 是 Vr 的一个基 试证 Vn 中存在元素 ar 1 an 使 a1 a2 ar, ar 1 an 成为 Vn 的一个基证明 设 r n, 就在 Vn 中必存在一向量 ar 1 Vr 它不能被 a1 a2 ar 线性表示 将 ar 1添加进来 就 a1 a2 ar 1 是线性无关的 如 r 1 n 就命题得证 否就存在 ar 2 La1 a2ar 1 就 a1 a2 ar 2 线性无关 依此类推 可找到 n 个线性无关的向量 a1 a2 an 它们是 Vn 的一个基名师归纳总结 5在 R3 中求向量3 7 1T 在基1 1 3 5T2 6 3 2T3 3 1 0T下的坐标第 2 页,共 7 页解设123 是 R3 的自然基就3 7 1123 123A123 123A1其中A1 356 323 10A12 596 15283 815由于1 ,2 ,33 7 11 ,2 ,3 A11 ,2,32 5 96 15 283 8 153 7 11 ,2,333 82 154所以向量在基123下的坐标为 3382 154T- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6在 R3 取两个基1 1 2 1T2 2 3 3T3 3 7 1T1 3 1 4T2 5 2 1T3 1 16T试求坐标变换公式解设123是 R3 的自然基就1Ax 1x 2x 3121 123B123 121B1121 123A 121B1A其中A1 212 331 71B3 145 211 16设任意向量在基123 下的坐标为 x1 x2 x3T就1 ,2,3x 1x 2x 31 ,2,3 B故在基123 下的坐标为x 1x 2x 3B1Ax 1x 2x 31319181x 1x 2x 34 639132 9971047在 R4 中取两个基e1 1 0 0 0T e2 0 1 0 0T e3 0 0 1 0T e4 0 0 0 1T1 2 11 1T2 0 3 1 0T3 5 3 2 1T3 6 6 1 3T1求由前一个基到后一个基的过渡矩阵名师归纳总结 解由题意知1,2,3,4 e 1,e2,e3,e42 1 1 10 3 1 05 3 2 16 6 1 3第 3 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为名师归纳总结 A2 1 1 10 3 1 05 3 2 16 6 1 31x x x x1x 1x 2x 3x 4第 4 页,共 7 页2求向量 x1 x2 x3 x4T在后一个基下的坐标解由于 e 1,e2,e3,e4x x x x11,2,3,4A223344向量在后一个基下的坐标为33 23 18 26y 1y 2y 3y 42 0 5 61 3 3 61 1 2 11 0 1 31x 1x 2x 3x 4112 1 9 79 12 0 327 9 0 9273求在两个基下有相同坐标的向量. 解令112 1 9 79 12 0 327 9 0 933 23 18 26x 1x 2x 3x 4x 1x 2x 3x 427解方程组得x 1x 2x 3x 4k1 1 1 1k 为常数 8说明 xOy 平面上变换Tx yAx y的几何意义其中1A1 00 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解 由于T xy 0 1 0 1 xy y x所以在此变换下 T 与 关于 y 轴对称2 A 0 0 1 0解 由于T xy 0 0 0 1 xy 0y所以在此变换下 T 是 在 y 轴上的投影3 A 0 1 1 0解 由于T x y 0 1 1 0 x y x y所以在此变换下 T 与 关于直线 y x 对称4 A 0 1 1 0 . 解 由于T x y 0 1 1 0 x y y x所以在此变换下 T 是将 顺时针旋转 29 n 阶对称矩阵的全体 V 对于矩阵的线性运算构成一个 n n 1 维线性空间 . 给出 n 2阶矩阵 P 以 A 表示 V 中的任一元素 变换 TA P TAP 称为合同变换 . 试证合同变换 T 是 V中的线性变换名师归纳总结 证明设 A B V就 A T A B T B第 5 页,共 7 页TA B PTA BP P TA B TP- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A BP TP AP BP TP P TA P TBP P TAP P TBP TA TBTkA P TkAP kP TAP kTA从而合同变换T 是 V 中的线性变换R10函数集合V3 a2x 2 a1x a0e x | a2 a1 a0对于函数的线性运算构成3 维线性空间在 V3 中取一个基1 x2e xx 2 xex 3 e求微分运算D 在这个基下的矩阵. 解设1 D1 2xe x x 2e x 22 e x xe x32122 D3 Dx 3 e3易知123线性无关故为一个基 . 由1 ,2,31 ,2,31 2 00 1 10 0 1知即 D 在基123下的矩阵为P1 2 00 1 10 0 111 2 阶对称矩阵的全体对于矩阵的线性运算构成A 1V 3Ax 1x 2x 2x 3|x 1,x 2 ,x 3R 0 1. 3 维线性空间 . 在 V3 中取一个基0 01 00 0A 20 11 0A 3在 V3 中定义合同变换TA 1 10 1A1 01 1, 求 T 在基 A1 A2 A3下的矩阵 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解 由于名师归纳总结 故TA 1 1 10 11 00 01 01 11 11 1A 1A 2A 3A 3第 7 页,共 7 页TA 21 10 10 11 11 01 10 11 2A 22TA 3 1 10 10 00 11 01 10 00 1A 30 0 11 1 10 1 2 TA 1,TA 2,TA 3 A 1 ,A 2 ,A 3 从而T 在基 A1 A2 A3 下的矩阵A1 1 10 1 20 0 1. - - - - - - -
