2022年相似三角形题型归纳.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 三角形题型归纳一、线段比例问题（构造平行）1、下图中, E为平行四边形ABCD的对角线 AC上一点, AEEC=13, BE的延长线交CD的延长线于 G,交 AD于 F,求证： BFFG=12.2、已知：如图,在直角三角形ABC中, BAC= 90° , AB= AC,D为 BC的中点, E 为 AC上一点, 点 G在 BE上,连结 DG并延长交 AE于 F,如 FGE= 45° ,（1）求证： BD· BC= BG· BE；（2）求证： AGBE；（3）如 E 为 AC的中点,求 EFFD的值；3、如图 1,在 Rt ABC中, BAC=90° , AD BC于点 D,点 O是 AC边上一点,连接 BO交名师归纳总结 AD于 F,OEOB交 BC边于点 E（1）求证： ABF COE；（2）当 O为 AC的中点,时,第 1 页,共 11 页如图 2,求的值；（3）当 O为 AC边中点,时,请直接写出的值- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4、如图,四边形ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形,点R为 DE 的中点, BR分别交 AC,CD于点 P,Q（1）请写出图中各对相像三角形（相像比为1 除外）；（2）求BP PQ QR B A P O D R C E 二、相像比乘积处理方法（逆向和正向分析找解题思路）1、如下图,已知在ABC 中, AD平分 BAC,EM是 AD的中垂线,交BC延长线于E. 求证：DE 2=BE· CE.2、过 ABC的顶点 C任作始终线, 与边 AB及中线 AD分别交于点 F和 E,求证：AEED=2AFFB. 3、假如四边形ABCD的对角线交于O,过 O作直线 OG AB 交 BC于 E,交 AD于 F,交 CD的名师归纳总结 延长线于 G,求证： OG 2=GE· GF.第 2 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4、已知如图, CD是 Rt ABC斜边 AB上的高, E 为 BC的中点, ED的延长线交 CA于 F；求证：5、如图,在Rt ABC中, CD是斜边 AB上的高,点M在 CD上,DHBM 且与 AC的延长线交于点 E. 求证：（1） AED CBM；（2）6、如图, BD、CE分别是 ABC 的两边上的高,过D作 DGBC 于 G,分别交 CE及 BA的延长线于 F、 H；求证：（1）DG 2BG· CG；（2）BG· CGGF· GH7、已知如图, P 为平行四边形 ABCD的对角线 AC上一点,过 P的直线与 AD、BC、CD的延长名师归纳总结 线、 AB的延长线分别相交于点E、 F、G、H.求证：第 3 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 8、（ 1）如图 1,点在平行四边形ABCD的对角线 BD上,始终线过点P 分别交 BA,BC的延长线于点 Q,S,交于点求证：（2）如图 2,图 3,当点在平行四边形ABCD的对角线或的延长线上时是否仍旧成立？如成立,试给出证明；如不成立,试说明理由（要求仅以图三、 构造相像帮助线 A、X 字型2 为例进行证明或说明） ；1、如图： ABC中, D是 AB上一点, AD=AC,BC边上的中线 AE交 CD于 F；求证：2、四边形 ABCD中, AC为 AB、AD的比例中项,且AC平分 DAB；求证：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3、如图, 过平行四边形ABCD的顶点 A的直线交 BD于 P,交 CD于 Q,并交 BC的延长线于R,求证：PQPD2BAPCQDRPRPB2四、 相像类定值问题1、如图,在等边ABC 中, M、N分别是边 AB,AC的中点, D为 MN上任意一点, BD、CD的延长线分别交 AC、AB于点 E、F求证：2、已知,在 ABC 中作内接菱形 CDEF,设菱形的边长为 a求证：3、如图,在 ABC 中,已知CD为边 AB上的高,正方形EFGH的四个顶点分别在ABC上；名师归纳总结 求证：第 5 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4、如下列图, .ABCD中,AC与 BD交于 O点,E 为 AD延长线上一点, OE交 CD于 F,EO延长线交 AB于 G求证：5、一条直线截ABC的边 BC、CA、AB（或它们的延长线） 于点 D、E、F求证：6、已知： P 为.ABCD边 BC上任意一点, DP交 AB的延长线于Q点,求证：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 五、证明线段相等ABAC分别过点 B、C作两腰的平行线,经过点A 的直线与两平行线1、在等腰ABC,分别交于点 D、E,连接 DC,BE,DC与 AB边相交于点 M,BE与 AC边相交于点 N；1 如图 1,如 DE / CB,写出图中全部与 AM相等的线段,并选取一条给出证明；2 如图 2,如 DE与CB不平行,在 1 中与 AM相等的线段中找出一条仍旧与AM相等的线段,并给出证明；2、在面积为24 的 ABC中,矩形 DEFG的边 DE在 AB上运动,点F、G分别在 BC、 AC上；（1）如 AE8,DE2EF,求 GF的长；（2）如 ACB90° ,如图 2,线段 DM、EN分别为名师归纳总结 ADG和 BEF的角平分线,求证：MGNF；（3）请直接写出矩形DEFG的面积的最大值；第 7 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3、在 ABC中,点 D从 A 动身,在 AB边上以每秒一个单位的速度向B 运动,同时点F从 B动身,在 BC边上以相同的速度向C运动,过点 D作 DE BC交 AC于点 E运动时间为t 秒（1）如 AB5, BC6,当 t 为何值时,四边形DFCE为平行四边形； （ 2）连接 AF、CD如BD DE,求证： BAF BCD；（3）AF交 DE于点 M,在 DC上取点 N,使 MN AC,连接 FN求证：BF CFDN CN；如 AB5,BC6,AC4,当 MNFN时,请直接写出 t 的值AAADEDEDMENBFCBFCBFC六、对应练习题1、如下图,在ABC 中, D、E 分别为 BC的三等分点, CM为 AB上的中线, CM分别交 AE、AD于 F、G,就 CFFGGM=532名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、已知：在四边形 ABCD中, AD BC, BAC D,点 E、F 分别在 BC、CD上,且 AEFACD,摸索究 AE与 EF之间的数量关系； （1）如图 1,如 ABBCAC,就 AE与 EF之间的 数量关系是什么； （2）如图 2,如 ABBC,你在（ 1）中得到的结论是否发生变化？写出猜 想,并加以证明； （3）如图 3,如 AB kBC,你在（ 1）中得到的结论是否发生变化？写出猜 想,并加以证明3、在 Rt ABC,C=90° , D为 AB边上一点,点M、N分别在 BC、AC边上,且 DMDN作MF AB于点 F,NEAB于点 E（1）特别验证：如图 1,如 AC=BC,且 D为 AB中点,求证：DM=DN,AE=DF；（2）拓展探究：如AC BC如图 2,如 D为 AB中点,（1）中的两个结论有一个仍成立,请指出并加以证明；如图3,如 BD=kAD,条件中“ 点M在 BC边上” 改为“ 点 M在线段 CB的延长线上” ,其它条件不变,请探究AE与 DF的数量关系并加以证明名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4、（ 1）如图 1,在 ABC中,点 D,E,Q分别在 AB,AC,BC上,且 DE BC,AQ交 DE于点P求证：DP PE （2）如图,在ABC中, BAC=90° ,正方形 DEFG的四个顶点BQ QC在 ABC的边上,连接 AG,AF分别交 DE于 M,N两点如图 2,如 AB=AC=1,直接写出 MN的长；如图 3,求证 MN 2=DM· EN5、已知线段 OAOB,C为 OB上中点, D为 AO上一点,连 AC、BD交于 P 点（ 1）如图 1,当 OA=OB且 D为 AO中点时, 求 AP 的值；（2）如图 2,当 OA=OB,AD = 1 时,求 tan BPC；PC AO 4AAPD DPB C O B C O图 2 图 1 6、如图 1,D是 ABC的 BC 边上的中点, 过点 D的一条直线交 AC于 F,交 BA的延长线于 E,AG BC交 EF于 G,我们可以证明 EG·DC=ED·AG成立（不要求考生证明）. （1）如图 2,如将图 1 中的过点 D的一条直线交 AC于 F,改为交 CA的延长线于 F,交 BA的延长线于 E,改为交 BA于 E,其它条件不变,就 EG·DC=ED· AG仍成立吗？假如成立,请给出证明；假如不成立,请说明理由；（2）依据图 2,请你找出 EG、FD、 ED、FG四条线段之间的关系 , 并给出证明 ;（3）如图 3, 如将图 1 中的过点 D的一条直线交 AC于 F,改为交 CA的反向延长线于 F. 其它条件不变,就（2）得到的结论是否成立？E F 名师归纳总结 B A G C G A D C G E A C F 第 10 页,共 11 页F E D B B D 图 2 图 3 图 1 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 7、已知：在ABC中 AB AC,点 D 为 BC边的中点,点F 是 AB 边上一点,点E 在线段 DF的延长线上, BAE BDF,点 M在线段 DF上,ABE DBM（ 1）如图 1,当 ABC45°时,求证： AE2 MD；（2）如图 2,当 ABC60° 时,就线段 AE、MD 之间的数量关系为：；（3）在（2）的条件下延长 BM到 P,使 MP BM,连接 CP,如 AB7,AE2 7,求 tan ACP的值8、如图 13,梯形 ABCD中,AD BC,ABC2BCD 2a,点 E 在 AD上,点 F 在 DC上,且BEF=A.（1）BEF=_用含 a 的代数式表示 ；（2）当 ABAD时,猜想线段 EB、EF 的数量关系,并证明你的猜想；（3）当 AB AD时,将“ 点 E 在 AD上” 改为“ 点 E 在 AD的延长线上, 且 AEAB,ABmDE,ADnDE” ,其他条件不变 （如图 14）,求 EB/EF 的值（用含 m、n 的代数式表示） ；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页
