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kt结构力学第三章静定结构的受力分析 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望2静定结构的定义：静定结构的定义：从几何组成的观点看，几何不变且无多余约束从几何组成的观点看，几何不变且无多余约束的结构称为静定结构。的结构称为静定结构。从静力分析的观点看，静定结构的内力可以由从静力分析的观点看，静定结构的内力可以由三个平衡方程唯一确定。三个平衡方程唯一确定。平衡方程为：平衡方程为：或：或：（A,B,C不在同一直线上）不在同一直线上）3-1 3-1 杆件受力分析杆件受力分析3一、隔离体一、隔离体1.内力正负号内力正负号 在结构力学中，要求弯矩图画在杆件受拉边，在结构力学中，要求弯矩图画在杆件受拉边，不注正负号不注正负号,剪力图和轴力图要注明正负号。上剪力图和轴力图要注明正负号。上图中弯矩正负号的规定通常用于梁。图中弯矩正负号的规定通常用于梁。42.隔离体隔离体作隔离体应注意下列几点：作隔离体应注意下列几点：1）隔离体与其余部分的联系要全部切断，代隔离体与其余部分的联系要全部切断，代之以相应的约束力；之以相应的约束力；2）约束力要与被切断的约束性质相应；约束力要与被切断的约束性质相应；AACAACB53）隔离体只画受到的力，不画该隔离体施加隔离体只画受到的力，不画该隔离体施加给其余部分的力；给其余部分的力；4）不要遗漏力。隔离体受力图应包括荷载以不要遗漏力。隔离体受力图应包括荷载以及受到的全部约束力；及受到的全部约束力；5）已知力按实际方向表示，注明数值。未知已知力按实际方向表示，注明数值。未知力按正方向表示。力按正方向表示。二、荷载与内力之间的微分关系和增量关系二、荷载与内力之间的微分关系和增量关系1.微分关系微分关系yMMdMxqyqxFNFN+dFNdxo71）剪剪力力图图上上某某点点切切线线的的斜斜率率等等于于该该点点横横向向荷荷载的集度，载的集度，但正负号相反。但正负号相反。2）弯距图上某点切线的斜率等于该点的剪力。弯距图上某点切线的斜率等于该点的剪力。3）弯距图上某点的曲率等于该点的横向荷载的弯距图上某点的曲率等于该点的横向荷载的集度，但集度，但正负号相反。正负号相反。4）轴力图上某点的斜率等于该点轴向均布荷载轴力图上某点的斜率等于该点轴向均布荷载的的集度集度 ，但正负号相反。，但正负号相反。小结：小结：8因此：因此：若剪力等于若剪力等于0，Q图为水平线图为水平线,M 图平行图平行于杆轴；于杆轴；若剪力为常数，若剪力为常数，Q图为斜直线图为斜直线,M图图为抛物线为抛物线,且凸向与荷载指向相同且凸向与荷载指向相同.若剪力为若剪力为x 的一次函数，即为均布荷载时，的一次函数，即为均布荷载时，M 图为抛物线。图为抛物线。92.集中荷载与内力之间的增量关系集中荷载与内力之间的增量关系xyFPMB左左MB右右FQB右右 dxBFQB左左101）在在有有集集中中力力作作用用点点的的左左右右截截面面，剪剪力力有有突突变。剪力图有台阶，台阶高度等于力值变。剪力图有台阶，台阶高度等于力值FP。2）M 图上有尖点，尖点指向同集中力的指向。图上有尖点，尖点指向同集中力的指向。小结：小结：113.集中力偶与内力之间的增量关系集中力偶与内力之间的增量关系mxyMB左左MB右右FQB右右 dxBFQB左左 121）集集中中力力偶偶作作用用点点左左右右截截面面的的弯弯矩矩产产生生突突变变，M 图有台阶，台阶高度等于图有台阶，台阶高度等于m。2）左右截面剪力不变。左右截面剪力不变。小结：小结：mm/2m/2l/2l/2内力图形状特征无何载区段 均布荷载区段集中力作用处平行轴线斜直线 Q=0区段M图 平行于轴线Q图 M图备注二次抛物线凸向即q指向Q=0处，M达到极值发生突变P出现尖点尖点指向即P的指向集中力作用截面剪力无定义集中力偶作用处无变化 发生突变两直线平行m集中力偶作用面弯矩无定义在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。14三、分段叠加法作弯矩图三、分段叠加法作弯矩图 分段叠加法是依据叠加原理得到的作分段叠加法是依据叠加原理得到的作 M 图图的的简便作图法。简便作图法。叠加原理：叠加原理：结构中由全部荷载所产生的内力结构中由全部荷载所产生的内力或变形等于每一种荷载单独作用所产生的效果或变形等于每一种荷载单独作用所产生的效果的总和。的总和。只有线性变形体才适用叠加原理。只有线性变形体才适用叠加原理。qABBA=AqB+MAMBMAMBMAMB15现在讨论分段叠加法的做法，见下图。现在讨论分段叠加法的做法，见下图。ABDCFPqmBACFPDCqDmMCMDMCMDBACFPCDqmDMCMCMDMD16 在求出各控制截面在求出各控制截面A、C、D、B在全部荷载在全部荷载作用下的弯矩后，任意直杆段的作用下的弯矩后，任意直杆段的 M 图就转化为图就转化为作相应简支梁在杆端力偶及杆间荷载作用下的作相应简支梁在杆端力偶及杆间荷载作用下的M 图的问题。图的问题。ABDCFPqmCDABMCMD基线基线基线基线基线基线17步骤：步骤：1）选定控制截面，求控制截面在全部荷载作选定控制截面，求控制截面在全部荷载作用下的用下的 M 值，将各控制面的值，将各控制面的 M 值按比例画在值按比例画在图上，在各控制截面间连以直线图上，在各控制截面间连以直线基线基线。控制截面控制截面：集中力或者集中力偶作用截面，：集中力或者集中力偶作用截面，分布荷载的起点和终点以及梁的左、右端支座分布荷载的起点和终点以及梁的左、右端支座截面等。截面等。2）对于各控制截面之间的直杆段，在基线上对于各控制截面之间的直杆段，在基线上叠加该杆段作为简支梁时由杆间荷载产生的叠加该杆段作为简支梁时由杆间荷载产生的 M图。图。18例例3-1-1 作图示单跨梁的作图示单跨梁的M、FQ图图。1 1）求支座反力）求支座反力 AFDC8kN4kN/m16kN.mBEFyA=17kNFyF=7kN1m 1m1m 1m4m解：解：192）选控制截面选控制截面A、C、D、F并求弯矩值。并求弯矩值。已知已知 MA0，MF0。1m1mAC8kN17kNMCFQCA2mDF16kN.mMD7kNFQDF取右图取右图AC段为隔离体：段为隔离体：取右图取右图DF段为隔离体：段为隔离体：203)作作M图图 将将MA、MC、MD、MF的值按比例画在图上，并的值按比例画在图上，并连以直线（称为基线）；对连以直线（称为基线）；对AC、CD、DF段，再叠段，再叠加上相应简支梁在杆间荷载作用下的加上相应简支梁在杆间荷载作用下的 M 图即可。图即可。4)作作FQ图图 M图（图（kNm）CDAF172630237BECDAF1797FQ图（图（kN）BE721例例3-1-2 作图示单跨梁的作图示单跨梁的M、FQ图。图。解：解：1）求支座反力求支座反力 130kN40kNAFD160kN40kN/m80kNmBE310kN1m 1m2m2m4mC222）选控制截面选控制截面A、C、D、E、F，并求弯矩值并求弯矩值 。已知已知 MA0，MF0。1m1mAC80kNm130kNMcFQCAAC160kN80kNm1m1m2mDMD130kNFQDC取右图取右图ACAC段为隔离体：段为隔离体：取右图取右图ADAD段为隔离体：段为隔离体：23对悬臂段对悬臂段EFEF：243)作作M、FQ图图 将将MA、MC、MD、ME、MF的值按比例画在图的值按比例画在图上，并连以直线（称为基线）；对上，并连以直线（称为基线）；对AC、DE、EF段，再叠加上相应简支梁在杆间荷载作用下的段，再叠加上相应简支梁在杆间荷载作用下的M图即可。图即可。190AFDCE1303012040FQ 图（图（kN）BM图图（kNm）340FADCBE13021028014016025小结：小结：1）弯矩叠加是指竖标以弯矩叠加是指竖标以基线基线或或杆轴杆轴为准叠加，为准叠加，而非图形的简单拼合；而非图形的简单拼合；2）应熟悉简支梁在常见荷载下的弯矩图；应熟悉简支梁在常见荷载下的弯矩图；3）先画先画M 图后画图后画FQ图，注意荷载与内力之间图，注意荷载与内力之间的微分关系。的微分关系。26四、斜杆受力分析四、斜杆受力分析以下图示斜梁为例进行讨论。以下图示斜梁为例进行讨论。FyA=ql/2AlCBxFyB=ql/2FxA=0qqlcosqlsinqll tg1）支座反力如上图示。）支座反力如上图示。解：解：2）求任一截面）求任一截面C之之MC、FQC、FNC 。27取右图取右图ACAC段为隔离体：段为隔离体：qxcosqxsinqxql/2(qlcos)/2(qlsin)/2sAql/2CqxMCFQCFNCr28qxcosqxsinqxql/2(qlcos)/2(qlsin)/2sAql/2CqxMCFQCFNCr29 斜杆上的竖向分布荷载可以分解为垂直杆轴斜杆上的竖向分布荷载可以分解为垂直杆轴和沿杆轴方向的分布荷载，如下图示。和沿杆轴方向的分布荷载，如下图示。qlcosqlsinql(qlcos)/2AB(qlsin)/2(qlsin)/2(qlcos)/2qcos2qcos sin30(qlcos)/2(qlcos)/2(qlsin)/2(qlsin)/2ql2/8M 图FQ 图FN 图3)作内力图。31例例3-1-3 作图示斜梁的内力图。作图示斜梁的内力图。90AlCBxl/cosqlcosqlsinqlqFQBFyAFxA32解：解：1)求求A、B截面剪力截面剪力和轴力和轴力FQABlABFNABrsqqlcos qlsin l/cos FQBAql332)求跨中截面求跨中截面MC取取图图示示CB段段为为隔离体：隔离体：FNABFQABBl/2（qlcos）/2MCqC下拉下拉343)作内力图。qlsinFN图qlcos/2qlcos/2ql2/8FQ 图M 图35注意下图示梁注意下图示梁C、D截面弯矩图的画法。截面弯矩图的画法。AqBDC363-2 3-2 静定多跨梁受力分析静定多跨梁受力分析一、静定多跨梁的构造特征和受力特征一、静定多跨梁的构造特征和受力特征1.构造特征构造特征 静定多跨梁由两部分组成，即静定多跨梁由两部分组成，即基本部分基本部分和和附属部附属部分分。组成的次序是。组成的次序是先固定基本部分，再固定附属部先固定基本部分，再固定附属部分分，见下图。，见下图。ABCDABCD附属部分附属部分1附属部分附属部分2基本部分基本部分372.受力特征受力特征 由静定多跨梁的组成顺序可以看出，由静定多跨梁的组成顺序可以看出，若荷载作若荷载作用在基本部分上，则附属部分不受力；若荷载作用在基本部分上，则附属部分不受力；若荷载作用在附属部分上，则基本部分同样受力。用在附属部分上，则基本部分同样受力。因此，静定多跨梁的内力分析因此，静定多跨梁的内力分析应从附属部分开应从附属部分开始始，即首先要求出附属部分传给基本部分的力。，即首先要求出附属部分传给基本部分的力。二、内力分析二、内力分析 解题步骤：解题步骤：1 1）画组成次序图画组成次序图 ；2）从附属部分开始求出约束力，并标注于图中。从附属部分开始求出约束力，并标注于图中。注意附属部分传给基本部分的力。注意附属部分传给基本部分的力。3）对于每一段单跨梁，用分段叠加法作对于每一段单跨梁，用分段叠加法作M 图。图。38例例3-2-1 作图示静定多跨梁的作图示静定多跨梁的M图和图和FQ图。图。ABD1.5mCEF4kN/m10kN20kN1.5m1m1.5m1.5m1m3m解：解：1）作组成次序图作组成次序图 组成次序图组成次序图 ABDCEF4kN/m10kN20kN392）求附属部分和基本部分的约束力求附属部分和基本部分的约束力 对于对于CECE段梁段梁:ABDCEF4kN/m10kN20kN1.5m1.5m1m1.5m1.5m1m3m9kN14kN3kN13kN6kN6kN40对于对于ACAC段梁段梁:ABDCEF4kN/m10kN20kN1.5m1.5m1m1.5m1.5m1m3m9kN14kN3kN13kN6kN6kN41 3）内力图如下图示内力图如下图示ABDCEFMM图（图（kNm）13.54.5364.5BDCEF FQ Q图（图（kNkN）9113766F42例例3-2-2 作图示静定多跨梁的作图示静定多跨梁的M图和图和FQ图。图。A40kNBC80kNDEF GH40kNm40kNKL40kNm20kN/m2m 2m 2m2m 2m 1m1m2m2m组成次序图组成次序图 解：解：1）作组成次序图作组成次序图 A40kNBC80kNDEFGH40kNm40kNKL40kNm20kN/m432）求附属部分和基本部分的约束力求附属部分和基本部分的约束力 梁各部分的受力如上图示，作用于铰结点梁各部分的受力如上图示，作用于铰结点D的集的集中力（中力（80kN）可看作直接作用于基本部分）可看作直接作用于基本部分AD上。上。FyAA40kNBC80kNDEFGH40kNm40kNKL40kNm20kN/m125kN10kNDF10kN65kN15kN25kNFyCFyHFyL44对于对于AD段梁：段梁：A40kNBC80kN10kND125kNFyC=15kNFyA=2m 2m 2m45对于对于FL段梁：段梁：10kNGH40kNKL40kNm20kN/mF65kNFyH=FyL=25kN1m2m2m1m463）内力图如下图示内力图如下图示ABC DEFGHKL30140202010603040M 图（图（kNm）ABCDEF GHKL15557010152550FQ图（图（kN）47例例3-2-3 求求x的值，使梁正、负弯矩相等。的值，使梁正、负弯矩相等。ADECBlxxlqqFyDADECBqq(l-x)/2q(l-x)/2FyCBBD跨为基本部分，跨为基本部分，AB跨为附属部分。跨为附属部分。解：解：48AB跨跨中弯跨跨中弯矩矩ME为：为：BD跨支座跨支座C负负弯矩弯矩MC为：为：令令ME=MC 得：得：ADECBqq(l-x)/2=0.4142 qlFyCB0.4142 llxxlq(l-x)/2FyDq49对于对于BDBD杆：杆：CDCD跨最大弯矩跨最大弯矩为为：DCq0.414215 qlFyCB0.414215 llFyD503-3 3-3 静定平面刚架受力分析静定平面刚架受力分析一、基本概念一、基本概念 平面刚架由梁和柱组成，梁和柱通常用刚结平面刚架由梁和柱组成，梁和柱通常用刚结点相连接。点相连接。刚结点有如下特征：刚结点有如下特征：几何特征几何特征一个简单刚结点相当于三个约一个简单刚结点相当于三个约束，能减少体系三个自由度。束，能减少体系三个自由度。变形特征变形特征在刚结点处，各杆端截面有相在刚结点处，各杆端截面有相同的线位移及角位移。同的线位移及角位移。静力特征静力特征刚结点能传递弯矩、剪力和轴刚结点能传递弯矩、剪力和轴力。力。518kNmB8kNm88B12kNm5kNm17kNmA175AA5252二、静定平面刚架分类二、静定平面刚架分类 悬臂刚架悬臂刚架梁为悬臂杆，如火车站之月台结梁为悬臂杆，如火车站之月台结构；构；悬臂刚架悬臂刚架简支刚架简支刚架三铰刚架三铰刚架 简支刚架简支刚架用三根链杆或一个铰和一根链杆用三根链杆或一个铰和一根链杆与基础相连组成的刚架；与基础相连组成的刚架；三铰刚架三铰刚架三个刚片三个刚片(包括基础包括基础)用三个铰两用三个铰两两相连组成的刚架。在竖向荷载作用下，三铰刚两相连组成的刚架。在竖向荷载作用下，三铰刚架的支座存在水平推力。架的支座存在水平推力。53例例3-3-1 作图示平面刚架内力图。作图示平面刚架内力图。AC2m4m4 kN/mKBDEHG2kN2m2mF2kNFxK=1kNFyK=2kNFyG=30kN2mFxA=3kN三、静定平面刚架内力分析举例三、静定平面刚架内力分析举例54解：解：ACDACD为附属部分，其余为基本部分。为附属部分，其余为基本部分。1）支座反力支座反力考虑附属部分考虑附属部分ACD：考虑刚架整体平衡：考虑刚架整体平衡：AC2mBD2kN2m2mFxA=3kN4 kN/m1kN8kN552)作作M图图取右图示取右图示EHK部分为隔离体：部分为隔离体：KEH1kN2kN4kN/m4m4mMEH1kN14kN56各柱上端弯矩为：各柱上端弯矩为：取右图示取右图示DE部分为隔离体：部分为隔离体：DE4kN/m2m8kNMED16kNE2824457ACKBDEHG6F84242848M M 图（图（kNm）858 3)作作F FQ Q 图图 杆端剪力可以用投影方程或力矩方程求解，本杆端剪力可以用投影方程或力矩方程求解，本题剪力很容易用投影方程求得。下面以题剪力很容易用投影方程求得。下面以EH杆为例杆为例说明用力矩方程求剪力的方法。说明用力矩方程求剪力的方法。取右图示取右图示EH杆为隔离体：杆为隔离体：E4kN/m4mFQHE4kNmHFQEH28kNm59ACKBDEHGF311614221FQ图（kN）604)作作FN图图 各杆各杆轴轴力可以用投影方程求解。根据剪力力可以用投影方程求解。根据剪力图图，取各取各刚结刚结点点为为隔离体，用投影方程求隔离体，用投影方程求轴轴力。力。E14161-1-302C0011H2-1-2161ACKDEHG11302FN图（kN）62例例3-3-2 作图示三铰刚架内力图。作图示三铰刚架内力图。ABDEqCql/83ql/8ql/8ql/8l/2l/2l/2解：解：1)支座反力支座反力整体平衡：整体平衡：63由由CEB部分平衡：部分平衡：BECl/2l/2由整体平衡：由整体平衡：642)作作M图图AD杆：杆：MDAql2/16(右拉右拉)M中中ql2/16(右拉右拉)ABDEqCql/83ql/8ql/8ql/8ql2/16ql2/16ql2/16M 图图653)作作FQ、FN图图很容易作出剪力图和轴力图如下图示。很容易作出剪力图和轴力图如下图示。FQ图图3ql/8ql/8ql/8ql/8ql/8ql/8ql/8FN图图66例例3-3-3 作图示三铰刚架内力图。作图示三铰刚架内力图。FyB1kN/mABDECFyAFxA1.385kN4.5kN1.5kNFxB1.385kN6m6m4.5m2m67解：解：1)支座反力支座反力考虑整体平衡考虑整体平衡:由由BEC部分平衡：部分平衡：FyB1kN/mABDECFyAFxAFxB6m6m4.5m2m682)作作M 图图斜杆斜杆DC中点弯矩为：中点弯矩为：弯矩图见下图。弯矩图见下图。ABDEC4.5kN1.5kN1.385kN6.236.231.385M 图图(kN.m)1kN/m1.385kN693)作作FQ图图 斜杆用力矩方程求剪力，竖杆、水平杆用斜杆用力矩方程求剪力，竖杆、水平杆用投影方程求剪力。投影方程求剪力。对于对于DC杆：杆：D1kN/m6mCFQDCFQCD6.2370对于对于EC杆：杆：竖杆竖杆AD、BE的剪力用投影方程很容易求得。的剪力用投影方程很容易求得。剪力图见下页图。剪力图见下页图。6mFQEC6.23EFQCEC71FQ 图(kN)AD1.393.831.860.991.39BEC724)作作FN图图竖杆、水平杆及斜杆均用投影方程求轴力。竖杆、水平杆及斜杆均用投影方程求轴力。结点结点D：D1.385FNDCs4.51373结点结点E：E1.385FNEC1.5s1374 右下图中，将结点右下图中，将结点C处的水平力和竖向力在杆处的水平力和竖向力在杆DC的轴向投影得：的轴向投影得：FS0 轴力图见下页图。轴力图见下页图。D1kN/mC1.385FNCD4.51.5s1.385A1.3851375FN 图(kN)ABDEC4.52.740.841.791.5076例例3-3-4 求图示支座不等高三铰刚架的支座反力。求图示支座不等高三铰刚架的支座反力。qFyBFxAFxBFSAaaaaaACB77解：解：2)取取AC部分为隔离体，将部分为隔离体，将FSA分解为分解为 及及 FxA3 。将支座将支座A的反力分解为竖向反力的反力分解为竖向反力 及沿及沿AB连线方向的反力连线方向的反力FSA。1）整体平衡整体平衡783）整体平衡求FxB及FyB79下面讨论对称结构的求解问题。下面讨论对称结构的求解问题。1)对称结构对称结构 对于求静定结构的内力来说，只要结构几何形对于求静定结构的内力来说，只要结构几何形状和支座对称就可以看作对称结构。若要计算结状和支座对称就可以看作对称结构。若要计算结构的位移，则还要求杆件的材料性能对称，杆件构的位移，则还要求杆件的材料性能对称，杆件刚度对称。刚度对称。2)对称结构的受力特性对称结构的受力特性 对称结构在对称荷载作用下，其受力对称；对对称结构在对称荷载作用下，其受力对称；对称结构在反对称荷载作用下，其受力反对称。称结构在反对称荷载作用下，其受力反对称。若对称结构的荷载不对称，则可以将荷载拆分若对称结构的荷载不对称，则可以将荷载拆分为对称荷载及反对称荷载两种情况分别求解。为对称荷载及反对称荷载两种情况分别求解。3)非对称荷载的处理非对称荷载的处理80 如下图示对称结构在对称荷载作用下，铰如下图示对称结构在对称荷载作用下，铰C左、右截面剪力关于竖轴反对称，故该剪力为左、右截面剪力关于竖轴反对称，故该剪力为0。于是很容易求得结构各部分的作用力。于是很容易求得结构各部分的作用力。ED2qa2qa2qa2qaAC0CB2qa2qa2qa2qa000aaaaaqCyABD813-4 3-4 静定平面桁架受力分析静定平面桁架受力分析一、概述一、概述1.桁架分类桁架分类按几何组成分为：按几何组成分为：1）简单简单桁架桁架从基础或者从一个基本的铰从基础或者从一个基本的铰接三角形开始，依次用两根不在同一直线上接三角形开始，依次用两根不在同一直线上的链杆固定一个结点的方法组成的桁架称为的链杆固定一个结点的方法组成的桁架称为简单桁架。简单桁架。822）联合联合桁架桁架两个简单桁架用一个铰及与两个简单桁架用一个铰及与之不共线的一根链杆连结，或者用三根不全之不共线的一根链杆连结，或者用三根不全平行也不全交于一点之链杆连结而成的桁架平行也不全交于一点之链杆连结而成的桁架称为联合桁架。称为联合桁架。A A1 1123833）复杂复杂桁架桁架既非简单桁架又非联合桁架既非简单桁架又非联合桁架则统称为复杂桁架。则统称为复杂桁架。842.基本假定基本假定1)各杆均为直杆，且位于同一平面内，杆轴线各杆均为直杆，且位于同一平面内，杆轴线通过铰结点中心。通过铰结点中心。2)荷载及支座反力作用在结点上，且位于桁架荷载及支座反力作用在结点上，且位于桁架平面内。平面内。3)铰结点为理想铰，即铰绝对光滑，无摩擦。铰结点为理想铰，即铰绝对光滑，无摩擦。所以，桁架的杆件只产生轴力，各杆均为二力杆。所以，桁架的杆件只产生轴力，各杆均为二力杆。853.轴力正负号轴力正负号 轴力以拉力为正，压力为负。轴力以拉力为正，压力为负。在结点和截面隔离体中，已知的荷载及轴力在结点和截面隔离体中，已知的荷载及轴力按实际方向表示，数值为正；未知轴力一律设按实际方向表示，数值为正；未知轴力一律设为拉力。为拉力。A10kNFN1FN2B15kNFN15kN86二、结点法二、结点法 结点法可以求出简单桁架全部杆件的轴力。结点法可以求出简单桁架全部杆件的轴力。为求各杆轴力，需作结点隔离体。若隔离体只为求各杆轴力，需作结点隔离体。若隔离体只包含一个结点，则称为结点法。包含一个结点，则称为结点法。作用在结点上的力系为作用在结点上的力系为平面汇交力系平面汇交力系，有两个，有两个平衡方程，可以求出两个未知力。当结点上的未平衡方程，可以求出两个未知力。当结点上的未知力有三个或三个以上时结点法失效，但有时能知力有三个或三个以上时结点法失效，但有时能求得其中的一个未知力。求得其中的一个未知力。87 由于平面汇交力系向平面上任意一点的力矩代由于平面汇交力系向平面上任意一点的力矩代数和等于零，故除了投影方程外，亦可以用力矩数和等于零，故除了投影方程外，亦可以用力矩方程求解。方程求解。不要用联立方程求桁架各杆的轴力。一个方程不要用联立方程求桁架各杆的轴力。一个方程求出一个未知轴力。求出一个未知轴力。对于对于简单桁架，截取结点隔离体的顺序与桁架简单桁架，截取结点隔离体的顺序与桁架几何组成顺序相反。几何组成顺序相反。平衡方程为：平衡方程为：或或88 几何组成顺序几何组成顺序A、B、C、D、E取结点隔离体顺序取结点隔离体顺序E、D、C、B、AABDCE89应熟练运用如下比拟关系：应熟练运用如下比拟关系：FNFNFNFxFylxlyl90例例3-4-1 用结点法求各杆轴力。用结点法求各杆轴力。解：解：1）支座反力）支座反力2）判断零杆）判断零杆FyA=FyB=30kN()FxA=0见图中标注。见图中标注。3）求各杆轴力）求各杆轴力取结点隔离体顺序为：取结点隔离体顺序为：A、E、D、C。结构对称，荷载对称，只需计算半边结构。结构对称，荷载对称，只需计算半边结构。A20kNBCDEGFH30kN2m2m2m2m1m1m-67.08-44.72-22.3660602020kN20kN30kN00091结点结点A（压）（压）结点结点EE60kNFNEF0A30kNFNAEFxADFyADFNAD1292结点D将FNDF延伸到F结点分解为FxDF及FyDFFxDFA20kNFNDCCFFyDFFNDFFNDFD1293FxDFA20kNFNDCCFFyDFFNDFFNDFD1294结点CFNCFC20kN202095例3-4-2 用结点法求AC、AB杆轴力。2m3m2m4mFPFPDCEGFABH3m4m96解：取结点A，将FNAC延伸到C分解，将FNAB延伸到B分解。4mCAFPBFNABFNACFxABFyABFxACFyAC2m3m3212974mCAFPBFNABFNACFxABFyABFxACFyAC2m3m321298小结：小结：2)判断零杆及特殊受力杆；判断零杆及特殊受力杆；3)结点隔离体中，未知轴力一律设为拉力，已结点隔离体中，未知轴力一律设为拉力，已知力按实际方向标注；知力按实际方向标注；1)支座反力要校核；支座反力要校核；4)运用比拟关系运用比拟关系 。99三、结点受力的特殊情况三、结点受力的特殊情况1）结点上无荷载，则结点上无荷载，则FN1FN20。由由FS0，可得，可得FN20，故，故FN10。FN1FN2s002）FN1FN20FN31003）FN1FN2FN3FN44）FN1FN2FN3FP1015）a)结结点点A在在对对称称轴轴上上由由Fy0 FN1 FN2=0 Fx0 FN3 FN4b)结结点点A不在不在对对称称轴轴上上由由Fy0 FN1FN2yFN3FN1FN2FN4A00AFPFPFP1234a)AFPFPFP12b)102四、截面法四、截面法 对于联合桁架或复杂桁架，单纯应用结点法对于联合桁架或复杂桁架，单纯应用结点法不能求出全部杆件的轴力，因为总会遇到有三不能求出全部杆件的轴力，因为总会遇到有三个未知轴力的结点而无法求解，此时要用截面个未知轴力的结点而无法求解，此时要用截面法求解。即使在简单桁架中，求指定杆的轴力法求解。即使在简单桁架中，求指定杆的轴力用截面法也比较方便。用截面法也比较方便。截面法选取的隔离体包含两个或两个以上的截面法选取的隔离体包含两个或两个以上的结点，隔离体上的力系是平面不汇交力系，可结点，隔离体上的力系是平面不汇交力系，可以建立三个平衡方程以建立三个平衡方程Fx0、Fy0、M0。所以作一个截面隔离体最多可以求出三个未。所以作一个截面隔离体最多可以求出三个未知轴力。知轴力。103对于联合桁架，应首先对于联合桁架，应首先切断联系杆切断联系杆。现在介绍现在介绍截面单杆截面单杆的概念。如果的概念。如果在某个截面所在某个截面所截的轴力均为未知的各杆中，除某一杆外其余各截的轴力均为未知的各杆中，除某一杆外其余各杆都交于一点杆都交于一点(或彼此平行或彼此平行 交点在无穷远处交点在无穷远处)，则则该杆称为该截面的单杆该杆称为该截面的单杆。关于截面单杆有下列。关于截面单杆有下列两种情况：两种情况：1)截面只截断彼此不交于同一点截面只截断彼此不交于同一点(或不彼此平或不彼此平行行)的三根杆件，则其中每一根杆件均为单杆。的三根杆件，则其中每一根杆件均为单杆。2)截面所截杆数大于截面所截杆数大于3，但除某一杆外，其余，但除某一杆外，其余各杆都交于同一点各杆都交于同一点(或都彼此平行或都彼此平行)，则此杆也是，则此杆也是单杆。单杆。104 上列各图中，上列各图中，杆杆1，2，3均为截面单杆均为截面单杆。截面单杆的性质：截面单杆的性质：截面单杆的轴力可根据截面隔截面单杆的轴力可根据截面隔离体的平衡条件直接求出离体的平衡条件直接求出。111123123123105例例3-4-3 用截面法求轴力用截面法求轴力FN1、FN2、FN3、FN4。解：解：1）对称结构对称荷载，支座反力如图示。）对称结构对称荷载，支座反力如图示。2）零杆如图示。）零杆如图示。aaaaaaaaFPFPFPFPFPABCDEII12340000002.5FP2.5FP01063）求轴力）求轴力FN1、FN2、FN3、FN4。结点结点CFN1FN2CFP12107取截面取截面II以左以左为为隔离体：隔离体：IaaaaFPFPACDI12340002.5FP012108IaaaaFPFPACDI12340002.5FP012109取截面取截面II以左以左为为隔离体：隔离体：aaaaFPFPACDII12340002.5FP012110例例3-4-4 求求FN1、FN2。解：解：1)求支座反力求支座反力2m60kNAD80kNIIIIIICBE1G2m2m2m2m2m80kN60kN22mF1112)求求FN1、FN2结点结点BB60kNFNBEFNBC取截面取截面II以左以左为为隔离体隔离体2m60kNADIIC2m2m80kN60kN2mFN2112取截面取截面IIII以右以右为为隔隔离体：离体：80kNIIIIBEFG2m2m2m2m2m2mFN1113例例3-4-5 求求FN1、FN2。ABFPaaaaaaFPC12D解：解：复复杂杂桁架，桁架，结结构构对对称。将荷称。将荷载载分分为对为对称和反称和反对对称两种情况求解。称两种情况求解。1141）对称结构对称荷载）对称结构对称荷载 结点结点C位于对称轴上，所以两位于对称轴上，所以两斜杆轴力等于零，见右图。斜杆轴力等于零，见右图。C00FP/20FPII0FPABaaaaaaFPC12DFP/2EF00115取截面取截面II以左以左为为隔离体：隔离体：FP/20FPIAaaa1DI0结点结点DD0FP/21162）对称结构反对称荷载）对称结构反对称荷载整体平衡整体平衡FP/20ABaaaaaaC12DFP/2IIIIFEF117结点结点F取截面取截面IIII以左为隔离体：以左为隔离体：F000结点结点EE000II0FP/4AaaII叠加叠加118四、零载法四、零载法 零载法是针对零载法是针对W0的体系，用静力法来研究的体系，用静力法来研究几何问题，用平衡方程解答的唯一性来检验体系几何问题，用平衡方程解答的唯一性来检验体系几何不变性的方法。几何不变性的方法。对于对于W0的体系，其静力特征为：的体系，其静力特征为：如体系几何不变如体系几何不变(静定结构静定结构)，则满足平衡方程，则满足平衡方程的解答是唯一正确的解答。若荷载为零，则内力的解答是唯一正确的解答。若荷载为零，则内力全为零。全为零。如体系几何可变或瞬变，则只有在特殊荷载作如体系几何可变或瞬变，则只有在特殊荷载作用下平衡方程才有解，而且其解答必定不是唯一用下平衡方程才有解，而且其解答必定不是唯一解。若荷载为零，其某些内力可能不为零。解。若荷载为零，其某些内力可能不为零。119 荷载为零而内力不全为零的内力状态称为自荷载为零而内力不全为零的内力状态称为自内力。内力。如果某体系存在自内力，则该体系为几何可如果某体系存在自内力，则该体系为几何可变体系。变体系。零载法把几何构造问题转化为静力平衡问题。零载法把几何构造问题转化为静力平衡问题。120例例3-4-6 用零载法检验下图示桁架是否几何不变。用零载法检验下图示桁架是否几何不变。b）CBEDFIAxxx22x22x2x1000a）0000121解：解：荷载为零，所以支座反力荷载为零，所以支座反力为零，且可判断为零，且可判断4根零杆如图根零杆如图a)示，余下部分见图示，余下部分见图b)。在图。在图b)中，令中，令AB杆轴力为杆轴力为x，按照，按照B，C，D，E，F的顺序用结的顺序用结点法求得杆件的轴力见图点法求得杆件的轴力见图b)。FS0 xx/20 x0sA22xxFNAIc）于是可得全部杆件的于是可得全部杆件的轴轴力均力均为为零，因此零，因此为为几几何不何不变变体系。体系。上面采用的方法称上面采用的方法称为为初参数法或通路法。通初参数法或通路法。通路法是解复路法是解复杂杂桁架的一种有效方法。桁架的一种有效方法。取结点取结点A的隔离体如图的隔离体如图c)所示：所示：1223-5 3-5 组合结构受力分析组合结构受力分析下面讨论组合结构的内力计算。下面讨论组合结构的内力计算。所谓组合结构是指结构中既有梁式杆，又有只所谓组合结构是指结构中既有梁式杆，又有只受轴力作用的二力杆。梁式杆的任一截面有弯矩、受轴力作用的二力杆。梁式杆的任一截面有弯矩、剪力和轴力作用。在用截面法取隔离体时，不能随剪力和轴力作用。在用截面法取隔离体时，不能随意切断梁式杆，可以切断二力杆，也可以拆开铰结意切断梁式杆，可以切断二力杆，也可以拆开铰结点，如下图示。点，如下图示。FPADECBFPECBFxBFyBFNED123例例3-5-1 作图示组合结构内力图。作图示组合结构内力图。解：解：结构对称荷载对称。结构对称荷载对称。1）求）求支座反力如图示。支座反力如图示。2）求求FNDE，取截面，取截面I II I以左为隔离体。以左为隔离体。C1kN/mBADEFG06kN6kNII3m3m3m3m0.5m0.7m124结结点点DFNDFFNDAD15kN0.733.08061253）求梁式杆的内力求梁式杆的内力M、FQ、FN。取取FCFC段作隔离体：段作隔离体：3.0130.2515求求MFF1kN/m3mFQCFCFQFCMFFNFCFNCF150.25m126求求FCFC杆的剪力和轴力杆的剪力和轴力3.0130.2515F1kN/m3mFQCFCFQFC0.75kN.mFNFCFNCF150.25m127取取AFAF段作隔离体：段作隔离体：3.0130.25152.5A1kN/m3mFQFAFFNAFFNFA152.50.75kNFQAF0.25m1283.0130.25152.5A1kN/m3mFQFAFFNAFFNFA152.50.75kNFQAF0.25m129M图图(kNm)0.750.750.75CAFFQ图图(kN)1.2461.2461.7441.744CAFFN图图(kN)15.1615.214.95CAF14.914)结构内力如下图示。结构内力如下图示。15kN-3.5kN15.4kNCBADEFG06kN6kN1303-6 3-6 三铰拱受力分析三铰拱受力分析 三铰拱式结构广泛应用于实际工程建设中三铰拱式结构广泛应用于实际工程建设中:桥梁、渡槽、屋架等。桥梁、渡槽、屋架等。三铰拱的构造特征为三铰拱的构造特征为:杆轴通常为曲线，三杆轴通常为曲线，三个刚片个刚片(包括基础包括基础)用不在同一直线上的三个铰用不在同一直线上的三个铰两两相连组成三铰拱结构。两两相连组成三铰拱结构。三铰拱的受力特征为三铰拱的受力特征为:在竖向荷载作用下