九章线代数及其应用.ppt

九章线代数及其应用 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望 我们先从解二元线性方程组引入二阶行我们先从解二元线性方程组引入二阶行列式的概念及计算考虑二元线性方程组列式的概念及计算考虑二元线性方程组 一、一、二阶行列式二阶行列式9.1 行列式的概念与计算行列式的概念与计算如果如果 那么方程组的解为那么方程组的解为 如果对于方程组的系数如果对于方程组的系数,按其在方程组中出现的按其在方程组中出现的位置相应地排列成一个方形表位置相应地排列成一个方形表 引入记号引入记号|那么就可以得到一个二阶行列式，并规定为那么就可以得到一个二阶行列式，并规定为 此式的右端称为二阶行列式的展开式此式的右端称为二阶行列式的展开式 aij(i=1,2;j=1,2)称为二阶行列式的元素，横排称为二阶行列式的元素，横排的的称为行，竖排的称为列称为行，竖排的称为列例例 计算下列各行列式计算下列各行列式 将一个二阶行列式将一个二阶行列式D的行与列依次互换得到的的行与列依次互换得到的行列式称为行列式行列式称为行列式D的转置行列式，记为的转置行列式，记为D T，如，如二阶行列式二阶行列式 的转置行列式为的转置行列式为 二、二阶行列式的性质二、二阶行列式的性质行列式行列式D与它的转置行列式与它的转置行列式DT的值相等的值相等性质性质1 1性质性质2 如果行列式的某一行（列）的每一个元素都如果行列式的某一行（列）的每一个元素都是二项式，则此行列式等于把这些二项式各取一项是二项式，则此行列式等于把这些二项式各取一项作成相应的行（列），其余的行（列）不变的两各作成相应的行（列），其余的行（列）不变的两各行列式的和行列式的和性质性质3 如果把行列式如果把行列式D的某一列（行）的每一个元素的某一列（行）的每一个元素同乘以一个常数同乘以一个常数k则此行列式的值等于则此行列式的值等于kD也就是也就是说，行列式中某一列（行）所有元素的公因子可以提说，行列式中某一列（行）所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面到行列式记号的外面性质性质4 如果把行列式的某两列（或两行）对调，则如果把行列式的某两列（或两行）对调，则所得的行列式与原行列式的绝对值相等，符号相反所得的行列式与原行列式的绝对值相等，符号相反例例 利用行列式的性质计算下列式子利用行列式的性质计算下列式子类似地，三元线性方程组类似地，三元线性方程组 的系数所构成的行列式规定为的系数所构成的行列式规定为 三、三、三阶行列式三阶行列式此式的右端称为三阶行列式按第一行的展开式此式的右端称为三阶行列式按第一行的展开式 三阶行列式的计算方法可用图示记忆法，凡三阶行列式的计算方法可用图示记忆法，凡是实线上三个元素相乘所得到的项带正号，凡是是实线上三个元素相乘所得到的项带正号，凡是虚线上三个元素相乘所得到的项带负号这种展虚线上三个元素相乘所得到的项带负号这种展开法称为对角线展开法开法称为对角线展开法 下面介绍三阶行列式的展开式：下面介绍三阶行列式的展开式：其中其中A11、A12、A13分别称为分别称为a11、a12、a13的代数的代数余子式余子式例例 计算下列三阶行列式：计算下列三阶行列式：定义定义 设设n-1阶行列式已经定义，规定阶行列式已经定义，规定n阶行列式阶行列式 一个三阶行列式可以用三个二阶行列式来表示，所一个三阶行列式可以用三个二阶行列式来表示，所以可以用二阶行列式来定义三阶行列式，可以用三阶行列以可以用二阶行列式来定义三阶行列式，可以用三阶行列式来定义四阶行列式，式来定义四阶行列式，依此类推，一般地，可以用，依此类推，一般地，可以用n n个个n n-1-1阶行列式来定义阶行列式来定义n n阶行列式，下面给出阶行列式，下面给出n n阶行列式的阶行列式的定义：定义：四、四、n阶行列式阶行列式其中其中 A A1j1j=(-1)=(-1)1+j1+jM M1j 1j(j=1,2,=1,2,n)这里这里M1j为元素为元素a1j的余子式，即为划掉的余子式，即为划掉A的第的第1行第行第j 列后所得的列后所得的n-1阶行列式，阶行列式，A1j称为称为a1j的代的代数余子式数余子式 由定义可以看出，行列式是由行列式不同行、由定义可以看出，行列式是由行列式不同行、不同列的元素的乘积构成的和式这种定义方法称不同列的元素的乘积构成的和式这种定义方法称为归纳定义，通常，把上述定义简称为按行列式的为归纳定义，通常，把上述定义简称为按行列式的第第1行展开行展开解解 因为因为a12 12=a13 13=0=0 所以由定义所以由定义例例 计算行列式计算行列式.解解 由定义，将由定义，将Dn 按第一行展开，得按第一行展开，得 如果行列式的某一行（列）的每一个元素都是二如果行列式的某一行（列）的每一个元素都是二项式，则此行列式等于把这些二项式各取一项作成相应的项式，则此行列式等于把这些二项式各取一项作成相应的行（列），其余的行（列）不变的两各行列式的和行（列），其余的行（列）不变的两各行列式的和行列式行列式D与它的转置行列式与它的转置行列式DT的值相等的值相等性质性质1 1性质性质2 2五、行列式的性质五、行列式的性质 如果把行列式如果把行列式D的某一列（行）的每一个的某一列（行）的每一个元素同乘以一个常数元素同乘以一个常数k则此行列式的值等于则此行列式的值等于kD也就也就是说，行列式中某一列（行）所有元素的公因子可以是说，行列式中某一列（行）所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面提到行列式记号的外面 如果把行列式的某两列（或两行）对调，如果把行列式的某两列（或两行）对调，则所得的行列式与原行列式的绝对值相等，符号相反则所得的行列式与原行列式的绝对值相等，符号相反 如果行列式的某两列（或两行）的对应如果行列式的某两列（或两行）的对应元素相同，则此行列式的值等于零元素相同，则此行列式的值等于零 如果行列式的某两列（或两行）的对应如果行列式的某两列（或两行）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零元素成比例，则此行列式的值等于零 “行列式的两列对应元素成比例行列式的两列对应元素成比例”就是指存在就是指存在一个常数一个常数k，使，使ali=kalj(l=1,2n)性质性质3 3性质性质4 4 推论推论性质性质5 5 性质性质6 如果把行列式的某一列（行）的每一个元如果把行列式的某一列（行）的每一个元素加上另一列（行）的对应元素的素加上另一列（行）的对应元素的k倍，则所得行列倍，则所得行列式与原行列式的值相等式与原行列式的值相等 由于行列式的整个计算过程方法灵活，变化较多，由于行列式的整个计算过程方法灵活，变化较多，为了便于书写和复查，在计算过程中约定采用下列标为了便于书写和复查，在计算过程中约定采用下列标记方法：记方法：1.以（以（r）代表行，（）代表行，（c）代表列）代表列2.把第把第i 行（或第行（或第i 列）的每一个元素加上第列）的每一个元素加上第j 行（或行（或第第j 列）对应元素的列）对应元素的k倍，记作（倍，记作（ri）+k（rj）或或（ci）+k（cj）3.互换互换i 行（列）和行（列）和j 行（列），记作（行（列），记作（ri）（rj）或（或（ci）（cj）性质性质7 行列式行列式D等于它的任一行（列）的各元素等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即与其对应的代数余子式乘积之和，即D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin （i=1,2,n）推论推论 行列式行列式D的一行元素分别与另一行对应的代的一行元素分别与另一行对应的代数余子式之乘积的和等于零，即数余子式之乘积的和等于零，即aj1Ai1+aj2Ai2+ajnAin=0 （i,j=1,2,n,ij）例按第三行展开计算行列式按第三行展开计算行列式 由由mn个数排成的个数排成的m行行n列数表列数表 称为一个称为一个m行行n列矩阵，简称为列矩阵，简称为mn矩阵其中矩阵其中aij表示第表示第i行第行第j列处的元素，列处的元素，i称为称为aij的行指标，的行指标，j称称为为aij的列指标的列指标定义定义1 19.2 矩阵及其初等变换矩阵及其初等变换一、一、矩阵的概念矩阵的概念 矩阵通常用矩阵通常用A，B，C大写字母表示，若需指大写字母表示，若需指明矩阵的行数和列数常写为或例如：明矩阵的行数和列数常写为或例如：为一个为一个23矩阵矩阵 在以后的讨论中，还会经常用到一些特殊的矩在以后的讨论中，还会经常用到一些特殊的矩阵，下面分别给出他们的名称阵，下面分别给出他们的名称,元素全为零的矩阵元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作称为零矩阵，记作O或或0，如：，如：当当m=n时，称时，称A为为n阶矩阵（或阶矩阵（或n阶方阵）阶方阵）只有只有1行（行（1n）或）或1列（列（m1）的矩阵，分）的矩阵，分别称为行矩阵和列矩阵，如：别称为行矩阵和列矩阵，如：若方阵的元素若方阵的元素 aij=0（ij），则称），则称A为对角矩为对角矩阵，阵，aii（i=1,2,n）称为称为A的对角元，如的对角元，如 为二阶对角矩阵为二阶对角矩阵 对角元全为数对角元全为数1的对角矩阵称为单位矩阵，的对角矩阵称为单位矩阵，n阶单位阶单位矩阵记为矩阵记为In形如形如 的矩阵分别称为上三角矩阵和下三角矩阵的矩阵分别称为上三角矩阵和下三角矩阵 把矩阵的行与列依次互换，得到的矩阵称为矩阵把矩阵的行与列依次互换，得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵即矩阵的转置矩阵即矩阵 的转置矩阵的转置矩阵 一个一个m行行n列矩阵列矩阵A的转置矩阵是一个的转置矩阵是一个n行行m列的矩阵列的矩阵那么就称这两个矩阵相等那么就称这两个矩阵相等.例例 已知已知 而且而且A=B，求，求a,b,c,d 解解 根据矩阵相等的定义，根据矩阵相等的定义，可得方程组可得方程组 解得解得a=5,b=2,c=2,d=-1，即当即当a=5,b=2,c=2,d=-1时时A=B 应当注意的是：矩阵与行列式是两个不同应当注意的是：矩阵与行列式是两个不同的概念，行列式是一个算式，计算结果是一个的概念，行列式是一个算式，计算结果是一个数，而矩阵是有数构成的一个数表；记法也不数，而矩阵是有数构成的一个数表；记法也不同，行列式用的是两条竖线，而矩阵用的是一对同，行列式用的是两条竖线，而矩阵用的是一对圆括号或中括号圆括号或中括号 显然，两个显然，两个m行行n列的矩阵相加（减）得到的列的矩阵相加（减）得到的和（差）仍是一个和（差）仍是一个m行行n列的矩阵应注意，只有当列的矩阵应注意，只有当两个矩阵的行数与列数分别相同时，它们才能作加两个矩阵的行数与列数分别相同时，它们才能作加减运算减运算容易验证，矩阵的加法运算满足以下规律：容易验证，矩阵的加法运算满足以下规律：（）交换律：（）交换律：A+B=B+A；（）结合律：（）结合律：(A+B)+C=A+(B+C)二二、矩阵的加法和减法、矩阵的加法和减法例例 已知已知 求求A+AT和和A-AT 定义定义 一个数一个数k与一个与一个m行行n列矩阵相乘，它们的乘积列矩阵相乘，它们的乘积为为kA，并且规定，并且规定Ak=kA例如，设例如，设 三、三、数与矩阵相乘数与矩阵相乘设甲、乙两家公司生产设甲、乙两家公司生产、三种型号的计算三种型号的计算机，月产量（单位：台）为机，月产量（单位：台）为 如果生产这三种型号的计算机的每台的利润（单如果生产这三种型号的计算机的每台的利润（单位：万元位：万元/台）为台）为 四、四、矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘则这两家公司的月利润（单位：万元）应为则这两家公司的月利润（单位：万元）应为 可见，甲公司每月的利润为可见，甲公司每月的利润为291万元，乙公司的万元，乙公司的利润为利润为341万元万元矩阵与矩阵乘法的一般定义如下：矩阵与矩阵乘法的一般定义如下：则由元素则由元素 构成的构成的mn矩阵矩阵 称为矩阵称为矩阵A与与B的乘积，记为的乘积，记为C=AB 乘积乘积C 中第中第i行第行第j列元素列元素Cij等于等于A的第的第i行元素与行元素与B 的第的第j列列 元素对应乘积之和，即元素对应乘积之和，即A的列数必须等于的列数必须等于B的行数，的行数，A与与B才能相乘；才能相乘；乘积乘积C的行数等于的行数等于A的行数，的行数，C的列数等于的列数等于B的列数的列数由定义可知：由定义可知：AD无意义无意义 由上例可知，单位矩阵由上例可知，单位矩阵I在矩阵的乘法中与数在矩阵的乘法中与数1在在数中的乘法中所起的作用相似数中的乘法中所起的作用相似若两个矩阵若两个矩阵A与与B满足满足AB=BA，则称，则称A与与B是可交换的是可交换的 由于矩阵乘法不满足交换律，所以在进行运算由于矩阵乘法不满足交换律，所以在进行运算时，千万要注意，不能把左、右次序颠倒时，千万要注意，不能把左、右次序颠倒矩阵乘法满足如下运算规律：矩阵乘法满足如下运算规律：（）结合律：（）结合律：(AB)C=A(BC)；（）分配律：（）分配律：A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA；（）（）k(AB)=(kA)B=A(kB)，k为任意常数为任意常数因为因为AB=BA，所以，所以A与与B可交换可交换.称为矩阵称为矩阵A的的k次幂矩阵次幂矩阵A的运算满足的运算满足 由于矩阵乘法一般不满足交换律，因此一般来说由于矩阵乘法一般不满足交换律，因此一般来说 矩阵的秩是矩阵的重要特性之一，它在线性矩阵的秩是矩阵的重要特性之一，它在线性方程组解的讨论中起着关键的作用方程组解的讨论中起着关键的作用.定义：矩阵定义：矩阵A A的阶梯形矩阵所含非零行的行数称为矩的阶梯形矩阵所含非零行的行数称为矩阵阵A A的秩，记为的秩，记为r r（A A）根据这个定义，可以得出求矩阵根据这个定义，可以得出求矩阵A A的秩的一般步骤：的秩的一般步骤：(1)(1)用矩阵的初等行变换把用矩阵的初等行变换把A A化为阶梯形矩阵；化为阶梯形矩阵；(2)(2)数一下阶梯形矩阵中有多少个非零行数一下阶梯形矩阵中有多少个非零行 9.3 矩阵的秩与逆矩阵矩阵的秩与逆矩阵一、矩阵的秩一、矩阵的秩所以所以 r（A）=3 3 所以所以 r（B）=3 3 若若n阶矩阵阶矩阵A可逆，矩阵可逆，矩阵A总可以通过一系列的总可以通过一系列的初等行变换化为单位矩阵，则用同样的初等行变换就初等行变换化为单位矩阵，则用同样的初等行变换就将将I化为化为A-1这就给我们提供了一个计算这就给我们提供了一个计算A-1的有效方的有效方法：法：若对若对(A|I)施以初等行变换将施以初等行变换将A变为变为I，则，则I I就变为就变为A-1，即即 二、用矩阵初等行变换求逆矩阵二、用矩阵初等行变换求逆矩阵例例 已知矩阵已知矩阵 求逆矩阵求逆矩阵A-1 值得注意的是，用初等行变换求逆矩阵时，必值得注意的是，用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用初等行变换，其间不能作任何初等列变须始终用初等行变换，其间不能作任何初等列变换且在求一个矩阵的逆矩阵时，不必考虑这个矩换且在求一个矩阵的逆矩阵时，不必考虑这个矩阵是否可逆，只要在用初等行变换的过程中，发现阵是否可逆，只要在用初等行变换的过程中，发现这个矩阵不能化成单位矩阵，则它就没有逆矩阵这个矩阵不能化成单位矩阵，则它就没有逆矩阵设设n元元n个方程组为个方程组为 其系数行列式为其系数行列式为 9.4 线性方程组的概念与克莱姆法则线性方程组的概念与克莱姆法则一、一、克莱姆法则克莱姆法则 在系数行列式在系数行列式D 中第中第 j 列的元素依次改换为列的元素依次改换为b1，b2，bn，得到的行列式记作，得到的行列式记作Dj，即：，即：关于线性方程组（关于线性方程组（1）的解有下述法则：）的解有下述法则：当线性方程组（当线性方程组（1）的系数行列式）的系数行列式D0时，该方程组有且只有唯一解：时，该方程组有且只有唯一解：例例 用克莱姆法则解方程组用克莱姆法则解方程组 克莱姆法则克莱姆法则解解 因为因为经计算还可得到经计算还可得到方程组的解为方程组的解为 一般的线性方程组，它的未知数个数与方程的一般的线性方程组，它的未知数个数与方程的个数可以相等也可以不相等对于个数可以相等也可以不相等对于n n个未知数个未知数n n个方个方程的线性方程组，当它的系数行列式不为零时，可程的线性方程组，当它的系数行列式不为零时，可以有以下三种求解方法：以有以下三种求解方法：克莱姆法则；克莱姆法则；逆矩阵；逆矩阵；矩阵法其中矩阵法矩阵法其中矩阵法还能用来求解未知数个数与方程个数不相等的线性还能用来求解未知数个数与方程个数不相等的线性方程组本节将运用矩阵法来讨论一般的线性方程方程组本节将运用矩阵法来讨论一般的线性方程组的解先考察先面的两个例子组的解先考察先面的两个例子例例 讨论线性方程组讨论线性方程组 二二、一般线性方程组的解、一般线性方程组的解最后一个矩阵对应于方程组：最后一个矩阵对应于方程组：因此有因此有 由于当由于当x3和和x4分别任意取定一个值时，都可分别任意取定一个值时，都可得到方程组的一组解，因此该方程组有无穷多得到方程组的一组解，因此该方程组有无穷多组解组解最后一个矩阵对应于方程组：最后一个矩阵对应于方程组：其中第三个方程其中第三个方程0=3是不可能成立的因而方程是不可能成立的因而方程组无解组无解 从以上两个例子最后得到的两个矩阵从以上两个例子最后得到的两个矩阵和和来来看，它们的左上角都是一个单位矩阵，以下各行中看，它们的左上角都是一个单位矩阵，以下各行中除去最后一列可能有非零元素（如矩阵除去最后一列可能有非零元素（如矩阵）外，其）外，其余元素均为零余元素均为零一个含有一个含有n个未知数的个未知数的m个方程的线性方程组个方程的线性方程组它的增广矩阵它的增广矩阵 一般经过适当的行初等变换，它的左上角会出一般经过适当的行初等变换，它的左上角会出现一个现一个r阶的单位矩阵（阶的单位矩阵（rn），而在以下（），而在以下（m-r）各）各行，除去最后一列可能有非零元素外，其余的元素行，除去最后一列可能有非零元素外，其余的元素均为零即增广矩阵经过行初等变换后可化成以下均为零即增广矩阵经过行初等变换后可化成以下形式，其中形式，其中rn：为说明方便起见，先介绍方程组的相容性的概念为说明方便起见，先介绍方程组的相容性的概念 定义定义 若方程组若方程组有解，则称方程组有解，则称方程组是相容是相容的；若方程组的；若方程组无解，则称方程组无解，则称方程组是不相容的是不相容的 下面分别按矩阵下面分别按矩阵出现的各种不同情形来讨论出现的各种不同情形来讨论对应的线性方程组的解对应的线性方程组的解1.若若cr+1=0，则线性方程组，则线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的系数矩阵与增广矩阵的秩相等，并且都等于的秩相等，并且都等于r（rn），则线性方程组），则线性方程组是是相容的当相容的当rn时方程组有无穷多组解，当时方程组有无穷多组解，当r=n时时方程组只有唯一解方程组只有唯一解2.若若cr+10，这时线性方程组，这时线性方程组的系数矩阵的秩为的系数矩阵的秩为r，而增广矩阵的秩为而增广矩阵的秩为r+1所以这个线性方程组相应地所以这个线性方程组相应地化为化为 因为因为cr+10，所以上述方程组中最后一个方程不，所以上述方程组中最后一个方程不能成立，即方程组是不相容的归纳上述讨论，得到能成立，即方程组是不相容的归纳上述讨论，得到如下两个定理：如下两个定理：定理定理1 1 线性方程组线性方程组相容的充分必要条件是它相容的充分必要条件是它的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等 定理定理2 2 线性方程组线性方程组是相容的，则当系数矩阵的是相容的，则当系数矩阵的秩秩r n时，方程组有无穷多组解；当系数矩阵的秩时，方程组有无穷多组解；当系数矩阵的秩r=n时，方程组的解是唯一的时，方程组的解是唯一的所以所以R（A）=R（AB）=3，即方程组是相容的即方程组是相容的这时，对应的方程组为这时，对应的方程组为 其中其中x3与与x4的值可以任取，令的值可以任取，令x3=c1，x4=c2，则方程组的解为则方程组的解为 其中其中c1与与 c2为任意常数为任意常数 在线性方程组在线性方程组中，若中，若b1=b2=bm=0，则方，则方程组程组称为齐次线性方程组称为齐次线性方程组 在齐次线性方程组在齐次线性方程组 三三、齐次线性方程组、齐次线性方程组中，显然它的增广矩阵的秩与系数矩阵的秩是相中，显然它的增广矩阵的秩与系数矩阵的秩是相等的因此根据定理等的因此根据定理1可知，齐次线性方程组总是可知，齐次线性方程组总是有解的根据定理有解的根据定理2，可以得到以下定理：，可以得到以下定理：定理定理3 3 设齐次线性方程组设齐次线性方程组的系数矩阵的系数矩阵A的秩的秩R（A）=r若若r=n，则方程组，则方程组只有零解；只有零解；若若rn，则方程组，则方程组有无穷多组非零解有无穷多组非零解对于对于n个未知数，个未知数，n个方程的齐次线性方程组，还可个方程的齐次线性方程组，还可由定理由定理3推得以下的定理：推得以下的定理：定理定理4 齐次线性方程组齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是它的系数行列式有非零解的充分必要条件是它的系数行列式|A|=0解 计算系数行列式：计算系数行列式：所以方程组只有唯一的一组零解，即所以方程组只有唯一的一组零解，即x=y=z=0 解解 计算系数行列式：计算系数行列式：所以方程组有无穷多组解为此写出它的增广矩所以方程组有无穷多组解为此写出它的增广矩阵，并作行初等变换如下：阵，并作行初等变换如下：这时，对应的方程组为这时，对应的方程组为 设设z=c，则方程组的解为，则方程组的解为 消元法是解二元、三元一次线性方程组常用的办消元法是解二元、三元一次线性方程组常用的办法，将其运用到解法，将其运用到解n元线性方程组中也是有效的它元线性方程组中也是有效的它的基本思想是将方程组中的一部分方程变成未知量较少的的基本思想是将方程组中的一部分方程变成未知量较少的方程，从而求出方程组的解下面通过例子说明方程，从而求出方程组的解下面通过例子说明如何解系数行列式不等于零的线性方程组如何解系数行列式不等于零的线性方程组例例 用消元法解线性方程组用消元法解线性方程组 9.5 线性方程组的消元解法线性方程组的消元解法解解 把方程组的消元过程与方程组对应的增广矩阵的把方程组的消元过程与方程组对应的增广矩阵的初等变换过程对照初等变换过程对照 方程组的消元过程方程组的消元过程 增广矩阵的变换过程增广矩阵的变换过程 由此得到方程组的解为由此得到方程组的解为 由上表可以看出，方程组的消元顺序与增广矩阵由上表可以看出，方程组的消元顺序与增广矩阵的初等变换顺序完全相同的初等变换顺序完全相同.一般地，对一个一般地，对一个n元线性方程组，当它的系数行列元线性方程组，当它的系数行列式不等于零时，只要对方程组的增广矩阵施以适当的式不等于零时，只要对方程组的增广矩阵施以适当的行初等变换，使它成为以下的形式：行初等变换，使它成为以下的形式：那么矩阵的最后一列元素就是方程组的解，即那么矩阵的最后一列元素就是方程组的解，即x1=c1，x2=c2，xn=cn这种消元法称为矩阵法这种消元法称为矩阵法例例 用矩阵法解线性方程组用矩阵法解线性方程组 因此方程组的解为因此方程组的解为 由此可见，用矩阵的初等行变换表示线性方程由此可见，用矩阵的初等行变换表示线性方程组求解过程，不仅简便而且清晰明了组求解过程，不仅简便而且清晰明了 归纳起来，用矩阵法求线性方程组的解的过归纳起来，用矩阵法求线性方程组的解的过程可以表述为：首先用增广矩阵表示线性方程组程可以表述为：首先用增广矩阵表示线性方程组AX=B，然后将用初等行变换化为行简化阶梯形矩，然后将用初等行变换化为行简化阶梯形矩阵，最后写出简化阶梯形矩阵所对应的线性方程阵，最后写出简化阶梯形矩阵所对应的线性方程组，从中解出原方程组的解组，从中解出原方程组的解