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第二章第二章 静静 电电 场场 其次章其次章 静静 电电 场场 2.1 库仑定律与电场强度库仑定律与电场强度 2.2 高斯定理高斯定理 2.3 静电场的旋度与静电场的电位静电场的旋度与静电场的电位 2.4 电偶极子电偶极子 2.5 电介质中的场方程电介质中的场方程 2.6 静电场的边界条件静电场的边界条件 2.7 导体系统的电容导体系统的电容 2.8 电场能量与能量密度电场能量与能量密度 2.9 电场力电场力 第二章第二章 静静 电电 场场 2.1 库仑定律与电场强度库仑定律与电场强度 2.1.1 库仑定律库仑定律 图 2 1 库仑定律用图 第二章第二章 静静 电电 场场 式中：R=r-r表示从r到r的矢量；R是r到r的距离；R是R的单位矢量；0是表征真空电性质的物理量，称为真空的介电常数，其值为 库仑定律表明，真空中两个点电荷之间的作用力的大小与两点电荷电量之积成正比，与距离平方成反比，力的方向沿着它们的连线，同号电荷之间是斥力，异号电荷之间是引力。点电荷q受到q的作用力为F，且F=-F，可见两点电荷之间的作用力符合牛顿第三定律。第二章第二章 静静 电电 场场 库仑定律只能干脆用于点电荷。所谓点电荷，是指当带电体的尺度远小于它们之间的距离时，将其电荷集中于一点的志向化模型。对于实际的带电体，一般应当看成是分布在确定的区域内，称其为分布电荷。用电荷密度来定量描述电荷的空间分布状况。电荷体密度的含义是，在电荷分布区域内，取体积元V，若其中的电量为q，则电荷体密度为 其单位是库/米3(C/m3)。这里的V趋于零，是指相对于宏观尺度而言很小的体积，以便能精确地描述电荷的空间变更状况；但是相对于微观尺度，该体积元又是足够大，它包含了大量的带电粒子，这样才可以将电荷分布看作空间的连续函数。第二章第二章 静静 电电 场场 假如电荷分布在宏观尺度h很小的薄层内，则可认为电荷分布在一个几何曲面上，用面密度描述其分布。若面积元S内的电量为q，则面密度为 对于分布在一条细线上的电荷用线密度描述其分布状况。若线元l内的电量为q，则线密度为 第二章第二章 静静 电电 场场 2.1.2 电场强度电场强度 电荷q对电荷q的作用力，是由于q在空间产生电场，电荷q在电场中受力。用电场强度来描述电场，空间一点的电场强度定义为该点的单位正试验电荷所受到的力。在点r处，试验电荷q受到的电场力为 第二章第二章 静静 电电 场场 对于体分布的电荷，可将其视为一系列点电荷的叠加，从而得出r点的电场强度为 同理，面电荷和线电荷产生的电场强度分别为 第二章第二章 静静 电电 场场 例例 2-1 一个半径为一个半径为a的匀整带电圆环，求轴线上的电场强度。的匀整带电圆环，求轴线上的电场强度。解解：取坐标系如图 2-2，圆环位于xoy平面，圆环中心与坐标原点重合，设电荷线密度为l。图图 2-2 例 2-1 用图 第二章第二章 静静 电电 场场 所以 第二章第二章 静静 电电 场场 2.2 高斯定理高斯定理 图 2 3 立体角 第二章第二章 静静 电电 场场 若S是封闭曲面，则 第二章第二章 静静 电电 场场 高斯定理描述通过一个闭合面电场强度的通量与闭合面内电荷间的关系。先考虑点电荷的电场穿过随意闭曲面S的通量：若q位于S内部，上式中的立体角为4；若q位于S外部，上式中的立体角为零。对点电荷系或分布电荷，由叠加原理得出高斯定理为(2-15)第二章第二章 静静 电电 场场 要分析一个点的情形，要用微分形式。假如闭合面内的电荷是密度为的体分布电荷，则式(2-15)可以写为 由于体积V是随意的，所以有 第二章第二章 静静 电电 场场 例例 2-2 假假设设在在半半径径为为a的的球球体体内内匀匀整整分分布布着着密密度度为为0的的电电荷，试求随意点的电场强度。荷，试求随意点的电场强度。解：解：当ra时，故故 第二章第二章 静静 电电 场场 当ra)(r0 的结论。对随意轴上的随意点，电位为 第二章第二章 静静 电电 场场 图2-4 匀整带电圆盘第二章第二章 静静 电电 场场 例例 2-5 求匀整带电球体产生的电位。求匀整带电球体产生的电位。解：解：(ra)(ra时，当ra时，第二章第二章 静静 电电 场场 例例 2-6 若半径为a的导体球面的电位为U0,球外无电荷，求空间的电位。解：解：即 第二章第二章 静静 电电 场场 再对其积分一次，得 在导体球面上，电位为U0，无穷远处电位为零。分别将r=a、r=代入上式，得 这样解出两个常数为 第二章第二章 静静 电电 场场 所以 总之，真空中静电场的基本解可归纳为 第二章第二章 静静 电电 场场 2.4 电偶极子电偶极子 图 2-5 电偶极子 第二章第二章 静静 电电 场场 用电偶极矩表示电偶极子的大小和空间取向，它定义为电荷q乘以有向距离l，即 电偶极子在空间随意点P的电位为 其中，r1和r2分别表示场点P与q和-q的距离，r表示坐标原点到P点的距离。当1r时，第二章第二章 静静 电电 场场 第二章第二章 静静 电电 场场 从而有 其电场强度在球坐标中的表示式为 第二章第二章 静静 电电 场场 图 2-6 电偶极子的电场分布 第二章第二章 静静 电电 场场 2.5 电介质中的场方程电介质中的场方程2.5.1 介质的极化介质的极化 极化强度的单位是C/m2。第二章第二章 静静 电电 场场 2.5.2 极化介质产生的电位极化介质产生的电位 图 2-7 极化介质的电位 第二章第二章 静静 电电 场场 设极化介质的体积为V，表面积是S，极化强度是P，现在计算介质外部任一点的电位。在介质中r处取一个体积元V，因|r-r|远大于V的线度，故可将V中介质当成一偶极子，其偶极矩为p=PV，它在r处产生的电位是 整个极化介质产生的电位是上式的积分：第二章第二章 静静 电电 场场 对上式进行变换，利用 变换为 再利用矢量恒等式：第二章第二章 静静 电电 场场 令 第二章第二章 静静 电电 场场 例例2-7 一一个个半半径径为为a的的匀匀整整极极化化介介质质球球，极极化化强强度度是是P0ez，求极化电荷分布及介质球的电偶极矩。求极化电荷分布及介质球的电偶极矩。解：取球坐标系，让球心位于坐标原点。解：取球坐标系，让球心位于坐标原点。极化电荷体密度为极化电荷体密度为 极化电荷面密度为 第二章第二章 静静 电电 场场 分布电荷对于原点的偶极矩由下式计算：积分区域D是电荷分布的区域。因此 得 第二章第二章 静静 电电 场场 2.5.3 介质中的场方程介质中的场方程 在真空中高斯定理的微分形式为E=/0，其中的电荷是指自由电荷。在电介质中，高斯定理的微分形式便可写为 将P=-P代入，得 这表明，矢量0E+P的散度为自由电荷密度。第二章第二章 静静 电电 场场 称此矢量为电位移矢量(或电感应强度矢量)，并记为D，即 于是，介质中高斯定理的微分形式变为 将介质中静电场的方程归纳如下：第二章第二章 静静 电电 场场 与其相应的积分形式为 第二章第二章 静静 电电 场场 2.5.4 介电常数介电常数 式中e为极化率，是一个无量纲常数。从而有 称r为介质的相对介电常数，称为介质的介电常数。对于匀整介质(为常数)，电位满足如下的泊松方程：第二章第二章 静静 电电 场场 例例 2-8 一个半径为a的导体球，带电量为Q，在导体球外套有外半径为b的同心介质球壳，壳外是空气，如图 2-8 所示。求空间任一点的D、E、P以及束缚电荷密度。图 2 -8 例 2-8 用图 第二章第二章 静静 电电 场场 解：解：(ra)介质内(arb)：第二章第二章 静静 电电 场场 介质外(ba，求两个导体球之间的电容。解：解：第二章第二章 静静 电电 场场 例例 2-12 一同轴线内导体的半径为a，外导体的内半径为b,内、外导体之间填充两种绝缘材料，arr0的介电常数为1，r0rb的介电常数为2，如图 2-14 所示，求单位长度的电容。图 2-14 例 2-12 用图 第二章第二章 静静 电电 场场 解解：设内、外导体单位长度带电分别为l、-l，内、外导体间的场分布具有轴对称性。由高斯定理可求出内、外导体间的电位移为 各区域的电场强度为第二章第二章 静静 电电 场场 内、外导体间的电压为 因此，单位长度的电容为 第二章第二章 静静 电电 场场 2.8 电场能量与能量密度电场能量与能量密度 2.8.1 电场能量电场能量 设每个带电体的最终电位为1、2、n，最终电荷为q1、q2、qn。带电系统的能量与建立系统的过程无关，仅仅与系统的最终状态有关。假设在建立系统过程中的任一时刻，各个带电体的电量均是各自终值的倍(1)，即带电量为qi，电位为i，经过一段时间，带电体i的电量增量为d(qi)，外源对它所作的功为id(qi)。外源对n个带电体作功为 第二章第二章 静静 电电 场场 因而，电场能量的增量为 在整个过程中，电场的储能为 第二章第二章 静静 电电 场场 第二章第二章 静静 电电 场场 2.8.2 能量密度能量密度 图 2-15 能量密度 第二章第二章 静静 电电 场场 将D=和Dn=S代入上式，有 利用矢量恒等式 第二章第二章 静静 电电 场场 则 并且留意在导体表面S上n=-n，得 第二章第二章 静静 电电 场场 式中V已经扩展到无穷大，故S在无穷远处。对于分布在有限区域的电荷，1/R，D1/R2,SR2,因此当R时，上式中的面积分为零，于是 对于各向同性介质：第二章第二章 静静 电电 场场 例例2-13 若若真真空空中中电电荷荷q匀匀整整分分布布在在半半径径为为a的的球球体体内内，计计算算电电场能量。场能量。解：解：用高斯定理可以得到电场为用高斯定理可以得到电场为(ra)(ra)第二章第二章 静静 电电 场场 所以 第二章第二章 静静 电电 场场 例例2-14 若一同轴线内导体的半径为a，外导体的内半径为b，之间填充介电常数为的介质，当内、外导体间的电压为U(外导体的单位为零)时，求单位长度的电场能量。解解：设内、外导体间电压为U时，内导体单位长度带电量为l，则导体间的电场强度为 两导体间的电压为 第二章第二章 静静 电电 场场 即 单位长度的电场能量为 第二章第二章 静静 电电 场场 2.9 电电 场场 力力 虚位移法求带电导体所受电场力的思路是：假设在电场力F的作用下，受力导体有一个位移dr，从而电场力作功Fdr；因这个位移会引起电场强度的变更，这样电场能量就要产生一个增量dWe；再依据能量守恒定律，电场力作功及场能增量之和应当等于外源供应带电系统的能量dWb，即 第二章第二章 静静 电电 场场 1.电荷不变电荷不变 假假如如虚虚位位移移过过程程中中，各各个个导导体体的的电电荷荷量量不不变变，就就意意味味着着各各导体都不连接外源，此时外源对系统作功导体都不连接外源，此时外源对系统作功dWb为零，即为零，即 因此，在位移的方向上，电场力为 第二章第二章 静静 电电 场场 2.电位不变电位不变 假假如如在在虚虚位位移移的的过过程程中中，各各个个导导体体的的电电位位不不变变，就就意意味味着着每每个个导导体体都都和和恒恒压压电电源源相相连连接接。此此时时，当当导导体体的的相相对对位位置置变变更更时时，每每个个电电源源因因要要向向导导体体输输送送电电荷荷而而作作功功。设设各各导导体体的的电电位位分分别别为为1、2、n，各各导导体体的的电电荷荷增增量量分分别别为为dq1、dq2、dqn，则电源作功为则电源作功为系统的电场能量为 第二章第二章 静静 电电 场场 系统能量的增量为 第二章第二章 静静 电电 场场 例 2-15 若平板电容器极板面积为A，间距为x，电极之间的电压为U，求极板间的作用力。解：设一个极板在yoz平面，其次个极板的坐标为x，此时，电容器储能为 当电位不变时，其次个极板受力为 第二章第二章 静静 电电 场场 当电荷不变时，考虑到 将能量表达式改写为 第二章第二章 静静 电电 场场 虚位移法还能分析导体受到的力矩。若假设某一导体绕z轴有一个角位移d，则其所受力矩的z重量Tz作功为Tzd，这时，力矩计算式为