【2020中考试题分类】知识点35 解直角三角形及其应用.docx

知识点 35 解直角三角形及其应用一、选择题a8（2020·温州）如图，在离铁塔150米的 处，用测倾仪测得塔顶的仰角为 ，测A倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为150aA(1.5150tan )米B(1.5D(1.5)米)米tana150C(1.5150sina )米答案Asina解析本题考查了解直角三角形的应用，过点A作AEBC，垂足为E，由题意 AECDBBE BE=150=150tana150，在RtABE中，tan AE,BE，BCBECE1.5AEDC150米150tan，因此本题选A7（2020·黔西南州）如图，某停车场入口的栏杆 AB，从水平位置绕点 O 旋转到 AB的位置，已知 AO 的长为 4 米 若栏杆的旋转角AOA，则栏杆 A 端升高的高度为（）44米米sina答案B解析本题考查了锐角三角函数的应用如答图，过点 A作 ACAB 于点 C在 RtOCA¢A C¢中，sin A O ，所以 ACAO·sin由题意得 AOAO4，所以 AC4sin，因此本题选 B8（2020·安徽）如图，在RtABC中，C90°，点D在AC上，DBCA，若AC4，4cosA ，则BD的长度为（ ）5CDAB9125154A 4BCD4答案C3.在RtBCD中，cosDBC- ACAB2 2AC 45BCBD解析在RtABC中，cosA ，则AB AC5，BCAB 5445515 ，cosDBCcosA，BD BC ×3 .54449（2020·重庆A卷）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡的CD坡度（或坡比） i=1:0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD=45m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼（参考数据：sin28°0.47，cos28°0.88，tan28°0.53）的高度约为（）ABA76.9mB82.1mC94.8mD112.6m1 答案B解析如图，过点D作DEAB于E，作DFBC交BC的延长线于点F，则四边形DFBF是矩形.在RtDCF中，CD的坡度为1:0.75，.设DF=4k，CF=3k，则CD=5k.CD=45，k=9，DF=36,CF=27，BE=36，DE=BF=27+60=87.在RtADE中， AE=DE·tanADQ=87×0.53=46.11，AB=46.11+3682.1（m）C7.（2020·苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB 的高度，他作了如下操作：（1）在点 处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角ÐACE = ；（2）量得测角仪的高度CD = a；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离bbaa+答案A解析本题考查了利用三角函数计算物体高度，作CFAB于F，由题意得CF=DB=b，tanACF=AF:CF,，AB=AF+FB=AF+CD=a +btana ,因此本题选A.12（2020·聊城）如图，在 RtABC中，AB2，C30°，将 RtABC绕点A 转得到 RtABC，使点B的对应点B落在AC上，在BC上取点D，使BD2，那么，点D到BC的距离等于（）CDABBC33A2(1)BC33答案D解析本题可直接通过解直角三角形解答如图，设 DEBC 于点 E，交 AC 于点 F，则BDFC30°，DF2BF在 RtBDF 中，设 BFx，根据勾股定理，得 x222(2x)2，解得 x，DF由旋转知 ABAB2在 RtABC 中，C30°，AC2AB4，BC422，CFBCBF22 2 334 333DEDFEF1 3 1233D9（2020·重庆 B 卷）如图垂直于水平面的 5G 信号塔 建在垂直与水平面的悬崖边 B 点处，某测量员从山脚 C 点出发沿水平方向前行 78 米到 D 点（点A,B,C 在同一条直线上），再沿斜坡DE 方向前行 78 米到 E 点（点A,B,C,D,E 在同一平面内），在点 E 处测得 5G 信号塔顶端 A 的仰角为 43°，悬崖 BC 的高为 144.5 米，斜坡的坡度（或坡比）解析本题考查了锐角三角函数的实际应用，如图，过点E 作 EFAC 于 E，作 EGCD 交 CD 的延长线于点 G，EG 5则四边形 EFCG 是矩形.在 RtDEG 中，DE 的坡度为 1:2.4，.设 EG=5k，DG=12k，则 DE=13k.DE=78，k=6，EG=30,DG=72，CF=30，EF=CG=72+78=150.在 RtAEF 中，AF=EF·tanAEF=150×0.93=139.5，AC=139.5+30=169.5（m），AB=169.5-144.5=25（m），因此本题选 D8（2020·天水）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE 测量建筑物的高度，已知标杆BE 高 1.5m，测得 AB）C16.5mD18m答案ABE AB解析由题意得 EBAC，DCAC，从而 EBDC，所以AEBADC，从而得到 ，即 CD AC CD 1 212 81.51.2，.3 10（2020·深圳）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200 米的 P、Q 两点分别测定对岸一棵树 T 的位置，T 在 P 的正北方向，且 T 在 Q 的北偏东 70°方向，则河宽（PT 的长）可以表示为（ ）200tan70°200sin70°A200tan70°米答案BB米C200sin70°米D米解析在 RtPQT 中，利用PQT 的度数，得到PTQ 的度数，进而由 PQ 的长根据三角函数即可求得 PT 的长在PQPTPQ200RtPQT 中，QPT90°，PQT90°70°20°，PTQ70°，tan70° ，PT，即tan70° tan70°200河宽米，此本题选 Btan70°6（2020·长沙）从一艘船上测得海岸上高为 42 米的灯塔顶部的仰角是 30 度，船离灯塔的水平距离为 （A42 3 米 B14 3 米 C21 米 D42 米答案A）3解析本题考查了三角函数的应用仰俯角问题，如图水平距离42÷tan30°42÷A42 3 ，因此本题选342米30°二、填空题16（2020·温州）如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AEl，BFl，点N，A，B在同一直线上在F点观DC测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现12测得EF15米，FM2米，MN8米，ANE45°，则场地的边AB为 米，BC为 米AB122答案15，202lEF M N解析本题考查了解直角三角形，根据题意可知EN15+2+825，又ANED2245°，得到AN25，AE25.又因为FN10，所以BN10，所以ABC2ANBN15；延长CB交l于点Q，显然 BQFBNF，QFBF10，A2BQ10，在Rt CPQ中，PQCP，由12，所以tan1B12M NlE QFP4 25 5 CP= =15 3 PM CP -10 - 2CP=22,所以CP30，所以CQ30，所以BC20.22因此本题答案为15，2014（2020·黔西南州）如图，在 RtABC 中，C90°，点 D 在线段 BC 上，且B30°，ADC60°，BC3 3 ，则 BD 的长度为_2 3答案解析本题考查了解直角三角形，含 30°角的直角三角形的性质（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边1的一半）因为C90°，ADC60°，所以DAC30°，所以 CD AD因为B30°，ADC60°，2所以BAD30°，所以 BDAD，所以 BD2CD因为 BC3 3 ，所以 CD2CD3 3 ，所以 CD 3 ，所以 DB 2 3 ，因此本题答案为2 3 15（2020·新疆）如图，在ABC 中，A90°，B60°，AB2，若 D 是 BC 上一动点，则 2ADDC 的最小值为_答案6解析本题考查了含 30°的直角三角形，垂线段最短如答图，作BCE30°，CE 与 AC在 BC 两侧，过点 D 作 DFCE 于 F过 点 A 作 AHCE 于点 H在 RtCDF 中，因为BCE112230°，所以DF CD，则由“垂线段最短”可知，ADDF 的最小值为线段 AH 的长，即 AD CD 的最小值为线段 AH 的长在 RtABC，因为B60°，所以ACB30°，因为 AB2，所以2 3ABC4，AC在 RtACH 中，ACHACBBCE30°30°60°，所11D222 33333C以CAH30°，所以 CH AC ×，AHCH×3，所以B11FH22EAD CD 的最小值为 3，因 为 2ADDC2(AD CD)，所 以 2ADDC 的最小值为 616（2020·枣庄）人字梯为现代家庭常用的工具（如图）若AB，AC 的长都为 2m，当 50°时，人字梯顶端离地面的高度 AD 是_m（结果精确到 0.1m，参考依据：sin50°0.77，cos50°0.64，tan50°1.19）答案1.5解析直接利用正弦求解在 RtADC 中，AC2，50°，ADAC则 sin50°，ADAC·sin50°2×0.771.516(2020 自贡)如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DCABBC 长 6 米，坡角 为 45°，AD的坡角 为 30°，则 AD 长为米（结果保留根号）5 15（2020·泰安）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地BCAD，BEAD，斜坡AB 长26m，斜坡AB 的坡比为 12：5为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造经地质人员勘测，当坡角不超过 50°时，可确保山体不滑坡，如果改造时保持坡脚A 不动，则坡顶B 沿BC 至少向右移_m 时，才能确保山体不滑坡（ 取 tan50°1.2）BCGAED（第 15 题）答案10解析本题考查了锐角三角函数的应用，因为斜坡AB 的坡比为 12：5，即 BE:AE=12：5设BE=12k，则AE=5k，AB=13k.因为斜坡AB 长 26m，所以 13k=26，所以 k=2，即：BE=24 m，则AE=10 m，设坡顶B 沿BC 至少向右移至点 G 处，过点 G 作 GHAD，垂足为点 H，且设 BG=x，则 GH：AHtan50°，即 24：AH1.2，所以 AH20，因为AE=10，所以 EH10，即坡顶B 沿BC 至少向右移 10 m 时，才能确保山体不滑坡，因此本题答案为1013（2020·乐山）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图自动扶梯AB 的倾斜角为 30°，在自动扶梯下方地面C 处测得扶梯顶端 B 的仰角为 60°，A、C 之间的距离为 4m，则自动扶梯的垂直高度BD_m（结果保留根号）答案2 3解析先由三角形外角的性质及等腰三角形的判定，得到 BCAC4，再解直角三角形 BCD 求 BDBACABCBCD60°，BAC30°，ABC30°，ABCBAC，BCAC4，在 RtBCD 中，BD6 3BC sin60°4× 2 3215（2020·乐山）把两个含 30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点 E 为 AD 的中点，连接 BE 交 AC 于AF点 F，则 _AC答案351解析连接 CE，根据直角三角形斜边上中线的性质，得到CE ，从而ECACAEBAC，从而CEAD AE24 33AF ABAB，所以ABFCEF，因而 ；设 AC2x，则 ABAC×cos30° 3x，ADACx，从而CEcos30°CF CE2 3333AF ABAFACx，因此 ，进而求得 25CF CE（2020·济宁）14.如图，小明在距离地面 30 米的 P 处测得 A 处的俯角为 15°， B 处的俯角为 60°.若斜面坡度3为 1：,则斜坡 AB 的长是_米.20 3答案解析由题意得：APB=60°-15°=45°，PH=30，在 P 处测得 B 处的俯角为 60°，PBH=60°，133, tanÐABC=又斜面 AB 坡度为 1：，3 3ABC=30°，ABP=90°，ABP 是等腰直角三角形，AB=PB.7 3030=203，PB=,32AB=（米）.13.（2020·达州）小明为测量校园里一颗大树 AB 的高度，在树底部 B 所在的水平面内，将测角仪 CD 竖直放在与.DCB答案11 米解析AB=18tan52°=18×1.28=11.2411（米）16（2020·南通）测高仪 CD 距离建筑物 AB 底部 5 m，测高仪D 处观测建筑物顶端的仰角为 50°，测高仪高度为1.5 m，则建筑物 AB 的高度为 m（精确到 0.1m，sin50°0.77，cos50°0.64，tan50°1.19）AD答案7.5解析过点 D 作 AB 的垂线，得矩形 BCDE 和 RtAED，可得 BE，DE 的长，在 RtAED 中求出 AE 的长，求出 ABA50°DECB8 AEDEtanÐADE =在 RtAED 中，AE = 5tan50° = 5´1.19= 5.95，ABAEBE1.55.957.5（m）14（2020·咸宁）如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从北小岛A出发，由西向东航行24nmile到达 处，这时测得灯塔 在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔 的BPPn mile3 »1.73）正南方，此时轮船与灯塔 的距离是_（结果保留一位小数，P答案20.8解析本题考查了解直角三角形的应用，如图，过P作PDAB于D，AB=24，PAB=90°-60°=30°，PBD=90°-30°=60°，BPD=30°，APB=30°，即PAB=APB，AB=BP=24，在直角 PBD中，3PD=BPsinPBD=24×=12 3 20.8，因此本题填20.82三、解答题18（2020·绍兴）如图，点 E 是ABCD 的边 CD 的中点，连结 AE 并延长，交 BC 的延长线于点 F（1）若 AD 的长为 2求 CF 的长（2）若BAF=90°，试添加一个条件，并写出F 的度数解析本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形中的三角函锐角互余在第（1）小题中，由平行四边形的性质得出ADCF，则数 或 是 两 DAE CFE，ADEFCE，由点 E 是 CD 的中点，得出 DECE，由 AAS 证得ADEFCE，即可得出结果；在第（2）小题中，若添加边的条件，如 AB=BC，可以利用三角函数求出F 的度数答案解：（1）四边形 ABCD 是平行四边形，ADCF，DAE=CFE，ADE=FCE，点 E 是 CD 的中点，DE=CE，ADEFCE（AAS），CF=AD=2.AB 1=2（2）添加一个条件：如当 AB=BC 时，CF=AD=BC，AB=BC，AB=BC=CF，又BAF=90°，sinF= BFF=30°（答案不唯一），21(2020·绍兴)如图 1 为搭建在地面上的遮阳棚，图 2、图 3 是遮阳棚支架的示意图遮阳棚支架由相同的菱形和9 相同的等腰三角形构成，滑块 E，H 可分别沿等长的立柱 AB，DC 上下移动，AFEFFG1m（1）若移动滑块使 AEEF，求AFE 的度数和棚宽 BC 的长（2）当AFE 由 60°变为 74°时，问棚宽 BC 是增加还是减少？增加或减少了多少？（结果精确到 0.1m参考数据： 3 1.73，sin37°0.60，cos37°0.80，tan37°0.75）解析本题考查了等边三角形的性质，菱形的性质，解直角三角形在第（1）小题中，可求出等边三角形 AFE 的高，进而可得菱形较长的一条对角线是这一高线的 2 倍，BC 长是较长对角线的 4 倍，从而得解；第（2）小题中，在等腰AFE 中，求出底边 AE 上的高，类比于上一题的解法求出 BC 长，通过比较得出结论答案解：（1）AE=EF=AF=1，AEF 是等边三角形，AFE=60°，延长菱形对角线 MF 交 AE 于点 K，则 FM=2FK，AEF 是等边三角形，132233（2）AFE=74°，AFK=37°，KF=AFcos37°0.80，FM=2FK=1.60，BC=4FM=6.406.92，6.926.40=0.5.答：当AFE 由 60°变为 74°时，棚宽 BC 是减少了，减少了 0.5m19.(2020·宁波)图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位.图2是其示意图，经测量，钢条ABAC50 cm，ABC47°.（1）求车位锁的底盒长BC（2）若一辆汽车的底盘高度为30 cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？(参考数据：sin47°0.73，cos47°0.68，tan47°l.07)解析本题考查了解直角三角形的实际应用（1）作 AHBC 于点 H，根据三角函数计算 BH，进而求得 BC；（2）由三角函数计算 AH 的长，从而作出判断答案19.解：（1）过点 A 作 AHBC 于点 H，ABAC，BHHC，在 RtABH 中，B47°，AB50，BHAB·cosB50cos47°50×0.6834，BC2BH68cm.（2）在 RtABH 中，AHAB·sinB50sin47°50×0.7336.5(cm)，36.5>30，当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位.10 19（2020 湖州）有一种升降熨烫台如图 1 所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度图2 是这种升降熨烫台的平面示意图AB 和 CD 是两根相同长度的活动支撑杆，点 O 是它们的连接点，OAOC，h（cm）表示熨烫台的高度（1）如图 21若 ABCD110cm，AOC120°，求 h 的值；（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为120cm 时，两根支撑杆的夹角AOC 是 74°（如图 22）求该熨烫台支撑杆 AB 的长度（结果精确到 1cm）（参考数据：sin37°0.6，cos37°0.8，sin53°0.8，cos53°0.6）180°120° =30°，根据三角【分析】（1）过点 B 作 BEAC 于 E，根据等腰三角形的性质得到OACOCA=2函数的定义即可得到结论；（2）过点 B 作 BEAC 于 E，根据等腰三角形的性质和三角函数的定义即可得到结论【解答】解：（1）过点 B 作 BEAC 于 E，OAOC，AOC120°，180°120° =30°，hBEABsin30°110× 1 =55；OACOCA=22（2）过点 B 作 BEAC 于 E，OAOC，AOC74°，180°74° =53°，ABBE÷sin53°120÷0.8150（cm），OACOCA=2即该熨烫台支撑杆 AB 的长度约为 150cm19（2020 台州）人字折叠梯完全打开后如图 1 所示，B，C 是折叠梯的两D 是折叠梯最高级踏板的固定点图 2 是它的示意图，ABAC，BDBAC40°，求点 D 离地面的高度 DE（结果精确到 0.1cm；参考数据0.94，cos70°0.34，sin20°0.34，cos20°0.94）个着地点，140cm，sin70 ° 【分析】过点 A 作 AFBC 于点 F，根据等腰三角形的三线合一性质得数，进而得BDE 的度数，再解直角三角形得结果BAF 的度BDEBAF，ABAC，BAC40°，BDEBAF20°，DEBDcos20°140×0.94131.6（cm）答：点 D 离地面的高度 DE 约为 131.6cm11 22（2020·铜仁）如图，一艘船由西向东航行，在A处测得北偏东60°方向上有一座灯塔C，再向东继续航行60km到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的周围礁，问这艘船继续向东航行是否安全？47km内有暗的大小即CD，与47答案解：如图所示：过点C作CDAB，垂足为D 根据题意可知BAC30°，DBC90°30°60°，DBC90°30°ACB+km. 在RtDBCBAC，BAC30°ACB，BCAB60，sin60°，CD60×sin60°60×30（km）47km，这艘船继续向东航行安全20（2020·新疆）如图，为测量建筑物CD 的高度，在A 点测得建筑物顶部为 22°，再向建筑物 CD 前进 30 米到达 B 点，测得建筑物顶部 D 的仰角为C 三点在一条直线上），求建筑物 CD 的高度（结果保留整数参考数据：sin22° » 0.37，cos22° » 0.93，tan22° » 0.40 ，sin58° » 0.85，cos58° » 0.53，tan58° »1.60 ）D 的 仰 角58（° A、B、解析本题考查了用锐角三角函数解决实际问题设 CD 的高度为 x 米，先利用直角三角形的边角关系表示出 BC和 AC 的长，再列方程求解CDBCCDxx5答案解：设 CDx 米.在 RtBCD 中，tanCBD，BC x在 RttanÐCBD tan58° 1.60 8CDACxx555ACD 中，tanCAD，AC xACBCAB， x x30，解得 x16答：tan 22°0.40228建筑物 CD 的高度 16 米19（2020·遵义）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门如图截面示意图，已知测温门 AD 的顶部 A 处距地面高为 2.2m，为了解自己的有效高 1.6m 的小聪做了如下实验:当他在地面 N 处时测温门开始显示额头温度，此处测得 A 的仰角为 18°在地面 M 处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头的仰角为 60°求小聪在地面的有效测温区间 MN 的长度(额头到地面的距离算精确到 01m， sin18°0.31， cos18°0.95， tan18°0.32)为该测温门测温区间身时在额头 BC 处测得 A以身高计计ACBDMN解析本题考查锐角三角函数的实际应用，根据锐角三角函数的意义及MNEC 列方程求解即可解题时要注意牢记特殊三角函数值，按要求取近似数答案解:延长 BC 交 AD 于点 E，则AEADDE0.6m根据题意，得MNEC，BC BE BC BEAECBAEAE即 MN1.8750.34615291.5（m）tan18°tan60°DMN答:小聪在地面的有效距离 MN 的长度约为 1.5m23（2020·常德）如图 1 是自动卸货汽车卸货时的状态图，图 2 是其示意图汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆的底部支撑点 在水平线B的下方， 与水平线AB之间的夹角是5°，BCADAD卸货时，车厢与水平线成60°，此时与支撑顶杆的夹角为45°，若= 2米，求 的长度(结果保留BCADABBC一位小数)12 (参考数据：° 0.91，° 0.42，° 2.14，° 0.94，° 0.34，° 2.75，2 1.41)解析本题考查了解直角三角形的应用直接过点C 作CF AB于点 F，构造直角三角形（构造直角三角形时不要破坏特殊角），利用锐角三角函数关系得出CF 的长，进而求出 BC 的长答案解：方法一：解：如图 1，过点 C 作CF AB于点 F，CF在Rt ACF中， sinCAB = sin(60° + 5°) = sin65° = ， CF = AC sin65° 2 × 0.91 = 1.82，AC在Rt BCF中， ABC = 45°， CF = BF， BC = 2CF = 1.41 × 1.82 = 2.5662 2.6，答：所求 BC 的长度约为2.6米方法二：解：如图 2，过点 A 作AE BC于点 E，在Rt ACE中， C = 180° 65° 45° = 70°， cosC = cos70° = CE，即CE = AC × cos70° 2 × 0.34 = 0.68，sinC = sin70° = AE，ACAC即AE = AC × sin70° 2 × 0.94 = 1.88，又在Rt AEB中，ABC = 45°， AE = BE， BC = BE + CE = 0.68 + 1.88 = 2.56 2.6，答：所求 BC 的长度约为2.6米18（2020·安徽）如图，山顶上有一个信号塔A C，已知信号塔高AC15米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角CBD36.9°，塔顶A的仰角ABD42.0°，求山高CD（点A，C，D在同一条竖直线上）. （参考数据：tan36.9°0.75，sin36.9°0.60，tan42.0°0.90.）解析在RtABD和RtBCD中，由正切 的定义分别用BD表示出AD与CD的长，进而求解.答案解:由题意，在RtABD与RtCBD中，ADBD·tanABD0.9BD，CDBD·tanCBD0.75BD.于是ACADCD0.15BD.因为AC15(米)，所以BD100(米).所以山高CD0.75BD75(米).23(2020·绥化)如图 8，热气球位于观测塔 P 的北偏西 50°方向，距离观测塔 100km 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔 P 的南偏西 37°方向的 B 处，这时，B 处距离观测塔 P 有多远？(结果保留整数，参考数据：sin37°0.60，cos37°0.80，tan37°0.75，sin50°0.77，cos50°0.64，tan50°1.19)13 北A5037PB图 8解析由 AB南北线，求得A，B然后利用正弦先求出 PC，再求出 PB答案解：由已知，得A50°，B37°，PA100PCPAPCPBPCsin37°在 RtPAC 中，sinA，PCPA·sin50°77在 RtPBC 中，sinB，PB128(千米)答：这时，B 处距离观测塔约为 128 千米25（2020·江苏徐州）小红和爸爸绕着小区广场锻炼.在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑.在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45方向，爸爸在小红的北偏东60方向，若小红到雕塑的距离PM=30m，求小红与爸爸的距离P Q.（结果精确到1m，参数数据，）6 » 2.452 » 1.413 » 1.73DCQPABM（第25题）解析先解直角三角形PAM求出AM的长，再求出AB的长，然后构造以PQ为边的直角三角形，然后解这个三角形可得PQ的长，最后再进行精确计算.222答案解：在RtPAM，PM=30m，AM=PM×sin45=30× =15 （m）,22AB=2AM=30 m.过点P作PHBC，得矩形PABH，PH=AB=30 m,PH30 2= 20 6DPQ=60，QPH=30,在RtPHQ中，PQ=»49（m）.cos30°32答：小红与爸爸的距离PQ约为49m.DCQPHABM22（2020·聊城）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼 AB 的高度进行测量先测得居民楼 AB 与 CD 之间的距离 AC 为 35m，后站在 M 点处测得居民楼 CD 的顶端 D 的仰角为 45°居民楼 AB 的顶端 B 的仰角为 55°已知居民楼 CD 的高度为 16.6m，小莹的观测点 N 距地面 1.6m求居民楼 AB 的高度（精确到14 1m）（参考数据：sin55°0.82，cos55°0.57，tan55°1.43）B55°45°AM解析过点 N 作出平行于 AC 的直线，即可构造两个直角三角形，通过解直角三角形求解，均属于“已知一边一角”解直角三角形类型ENEFNF351520在 RtBEN 中，tanBNE，ENBDN55°EACM24（2020·宿迁）如图，在一笔直的海岸线上有A，B 两个观测站，A 在 B 的正西方向，AB2 km，从观测站A 测得船 C 在北偏东 45°的方向，从观测站 A 测得船 C 在北偏西 30°的方向求船 C 离观测站 A 的距离C北东2km解析过点 C 作 CDAB 于点 D，设 ADCDx km，从而AC 2 x km，在RtBCD 中，由正切函数得到 x 的答案解：如答图，过点 C 作 CDAB 于点 D，则CADACD45°，从而 ADCDx km，AC 2 x km，DB(2x)km，CBD60° C北东DAB2kmxx在 Rt BCD 中，由 tanCBD，得 tan60°，即 3 ，解得 x3 3 ，经检验，x3 3是原方程的根，从而 ACkm 6 ) km答 ：船 离观测站 的距离为CA18（2020·河南）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一.某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16 m到达点N处，测得点A的仰角为45°.测角仪的高度为1.6 m.(1)